Cwiczenie 2. Dany wielomian ´ P n

ALGEBRA I R

Dodatkowe zadania Javier de Lucas

Cwiczenie 1. Udowodnij, ˙ze suma wszystkich pierwiastk´ ´ ow z wielomianu f n (X) = X ⁿ , gdzie n ∈ N, jest r´owna zeru.

Cwiczenie 2. Dany wielomian ´ P n

k=0 a _k X ⁿ o wsp´ o lczynnikich w ciele (F, +, ·, 1, 0) z pierwiastkami x 1 , . . . , x n . Udowodnij, ˙ze

n

X

k=1

x _k = − a _n−1 a _n ,

n

X

k<k

=1

x _k x _k

= a _n−2 a _n ,

n

X

k<k

<k

=1

x _k x _k

x _k

= − a _n−3 a _n ,

n

Y

k=1

x _k = (−1) ⁿ a ₀ a _n . Te wzory to cz¸e´s´ c tzw wzor´ ow Viete’a.

Cwiczenie 3. Oblicz reszt¸e z dzielenia nast¸epuj¸ ´ acych wielomian´ ow:

• f ₁ (X) = X ⁷ −4X ⁶ +X ⁵ +5X ⁴ +5X ³ −5X ² +10X−7 przez f ₂ (X) = X ³ −6X ² +11X−6.

• f ₁ (X) = X ⁹ − 8X ⁸ + 15X ⁷ + 5X ⁴ + 9X − 16 przez f ₂ (X) = X ³ − 9X ² + 23X − 15.

• f ₁ (X) = X ⁸ − 9X ⁷ + 24X ⁶ − 24X ⁵ + 24X ⁴ − 24X ³ + 24X ² − 22X + 16 przez f ₂ (X) = X ² − 8X + 15.

Cwiczenie 4. Ustal a, b i c aby wielomian o wsp´ ´ o lczynnikach w R dany wzorem f ₁ (X) = X ⁷ − (a + b + c)X ⁶ + X ⁵ (3 + ab + ac + bc) − (3a + 3b + 3c − abc)X ⁴

+ (2 + 3ab + 3ac + 3bc)X ³ − (2a + 2b + 2c + 3abc)X ² + 2(ab + bc + ac)X − 2abc (4.1) aby by l podzielny przez f ₂ (X) = X ³ − 6X ² + 11X − 6.

Cwiczenie 5. Ustal n aby wielomian o wsp´ ´ o lczynnikach w Z ⁵ dany wzorem

f _n (X) =

n

X

k=0

X ^k

aby by l podzielny przez f 2 (X) = X ² + 1.

1

ALGEBRA I R

Cwiczenie 6. Oblicz za pomoc¸ ´ a algorytmu Euklidesa najwi¸ekszy wsp´ olny dzielnik mi¸edzy

• f ₁ (X) = X ⁵ + 2X ⁴ − 22X ³ − 8X ² + 117X − 90, f ₂ (X) = X ⁵ + 14X ⁴ + 74X ³ + 184X ² + 213X + 90.

• f ₁ (X) = X ⁵ + 8X ⁴ + 8X ³ − 62X ² − 153X − 90, f ₂ (X) = 4 + 8X + 5X ² + X ³ . Cwiczenie ´ ^? 7. Dane wielomiany

P (X) = X ⁴ + aX ³ + bX ² + cX + 1, Q(X) = X ⁴ + cX ³ + bX ² + aX + 1

Znajd´ z warunki dla liczb a, b i c, gdzie a 6= c, aby zagwarantowa´ c, ˙ze P (X) i Q(X) maj¸ a dwa wsp´ olne pierwiastki. W takim przypadku, oblicz rozwi¸ azania P (X) = 0 i Q(X) = 0.

Cwiczenie ´ ^? 8. Niech a, b, c b¸ed¸ a liczbami rzeczywistymi r´ o˙znymi od zera takimi, ˙ze a + b + c 6= 0 i

1 a + 1

b + 1

c = 1

a + b + c . Udowodnij, ˙ze

1

a ²⁰¹³ + 1

b ²⁰¹³ + 1

c ²⁰¹³ = 1

a ²⁰¹³ + b ²⁰¹³ + c ²⁰¹³ . Cwiczenie 9. Niech H b¸edzie zbiorem element´ow postaci ´

q = x + yi + zj + tk, x, y, z, t, ∈ R.

Na tym zbiorze zdefiniujemy dodawanie

q + q ⁰ = (x + x ⁰ ) + (y + y ⁰ )i + (z + z ⁰ )j + (t + t ⁰ )k, q ⁰ = x ⁰ + y ⁰ i + z ⁰ j + t ⁰ k ∈ H i mno˙zenie kt´ ore jest l¸ aczne i rozdzielne wzgl¸edem dodawania. Ponadto, mno˙zenie spe lnia, ˙ze

i · j = −i · j = k, j · k = −k · j = i, k · i = −i · k = j, i ² = j ² = k ² = −1, 1i = i1 = i, 1 · j = j ˙1 = j, 1k = k1 = k.

Udowodnij, ˙ze (H, +, ·, 1, 0) jest cia lem nieprzemiennym, czyli spe lnia wszystkie w la´sciwo´sci cia la, ale mno˙zenie jest nieprzemienne. To nieprzemienne cia lo jest znane jako zbi´ or kwa- ternion´ ow.

2

ALGEBRA I R

Cwiczenie 10. Udowodnij, ˙ze zbi´ ´ or liczb postaci: a + b √

2, gzie a, b s¸ a liczbami wymiernymi, jest cia lem liczbowym. Oznaczamy je Q( √

2). Natomiast, udowodnij, ˙ze zbi´ or liczb postaci a+b √

2, gdzie a, b s¸ a liczbami wymiernymi, nie jest cia lem liczbowym.

Pokazuj, ˙ze zbi´ or liczb postaci a + b √

2 + c √

4, gdzie a, b, c s¸ a liczbami ymiernymi, jest ju˙z cia lem liczbowym.

Cwiczenie ´ ^? 11. Zbuduj wszystkie cia la z pi¸ecioma elementami.

Cwiczenie ´ ^? 12. Niech a b¸edzie liczb¸ a wymiern¸ a i niech n b¸edzie dodatni¸ a liczb¸ a ca lkowit¸ a. Udowodnij, ˙ze wielomian o wsp´ o lczynnikach wymiernych

X ²

(X + a) ²

+ 1 jest nierozk ladalny.

Cwiczenie ´ ^? 13. Dane trzy liczby zespolone z ₁ , z ₂ , z ₃ ∈ C nie na jednej linii, znajd´z z ₀ ∈ C taki, ˙ze f(z 0 ) ≤ f (z) dla dowolnego z ∈ C, gdzie

f (z) = |z ₁ − z| ² + |z ₂ − z| ² + |z ₃ − z| ² . Cwiczenie 14. Znajd´ ´ z odwrotno´s´ c liczb zespolonych:

b) 1 + i

1 − i − (1 + 2i)(2 + 2i) + 3 − i 1 + i + ( √

2 + i)( √

2 − i) − i ³ , c) 2i(i − 1) + √

3 + i  3

+ (1 + i)(1 + i) .

Cwiczenie 15. Obliczy´ ´ c wyra˙zenie 1. cos ^π ₃ − i sin ^π ₃
1410

,

2. h 2  ^√

3

2 + ¹ ₂ i  

1 2 +

√ 3 2 i 

+ 2i ¹ ₂ − i
+ i ¹⁰¹ i 1993

.

3. (2 − 3i) ³ − (1 + i) ² (5 − i) (4 − 3i) ² − i(1 + 2i) ³ ,

3

ALGEBRA I R

Cwiczenie 16. Znajd´ ´ z wszystkie pierwiastki wielomianu nad cia lem C 1. −z ³ + (7 + i)z ² − (12 + 7i)z + 12i,

2. z ⁴ − 2z ³ + +(2 − i)z ² + 2iz − 2i, 3. z ⁶ − z ⁴ + z ² − 1.

Cwiczenie 17. Rozwi¸ ´ aza´ c r´ ownania:

1. z ¯ z + (z − ¯ z) = 3 + 2i, 2. i(z + ¯ z) + i(z − ¯ z) = 2i − 3,

Cwiczenie ´ ^? 18. Niech z b¸edzie liczb¸ a zespolon¸ a tak¸ a, ˙ze |z + 1| > 2. Udowodnij, ˙ze

|z ³ + 1| > 1.

Cwiczenie ´ ^? 19. Niech k b¸edzie dodatni¸ a liczb a ca lkowit¸ a. Niech f (X) = P n

k=0 a _k X ^k b¸edzie wielomian taki, ˙ze a _k ∈ {−1, 0, 1} i podzielny przez (X−1) ^k . Niech q b¸edzie liczb¸ a pierwsz¸ a tak¸ a, ˙ze _log(q) ^q < _log(n+1) ^k Udowodnij, ˙ze ka˙zda liczba w ∈ C taka, ˙ze w ^q = 1, jest pierwiatkiem wielomianu f (X).

4