Analiza II, ISIM Lista zada« nr 7 1. Oblicz caªki niewªa±ciwe∫ ∞
1
dx x4,
∫ ∞
0
xe−x2dx,
∫ ∞
0
dx 1 + x3,
∫ ∞
−∞
dx x2+ 2x + 2 2. Oblicz obj¦to±¢ (nieograniczonej) bryªy powstaªej przez obrót krzywej y =√
xe−x, dla x ≥ 0, dookoªa osi OX.
3. Oblicz obj¦to±¢ elipsoidy
x2 a2 +y2
b2 +z2 c2 = 1.
4. Udowodnij nierówno±¢
−π 4 ≤
∫ ∞
0
cos 2x
4 + x2 dx≤ π 4
5. Rozwa»my obszar ograniczony przez wykres y = f(x), y = 0, x = a, x = b, dla f(x) > 0. Wy- prowad¹, ze wszystkimi szczegóªami, wzór na obj¦to±¢ bryªy powstaªej przez obrót powierzchni wobec osi OY :
V = 2π
∫ b
a
xf (x)dx.
6. Oblicz caªk¦∫1
0 4
1+x2dx, a nast¦pnie znajd¹ jej przybli»on¡ warto±¢ stosuj¡c: a) metod¦ tra- pezów dla n = 6; b) metod¦ Simpsona dla n = 4.
7. Znajd¹ przybli»on¡ warto±¢ caªki ∫π2
0
√1 + cos xdx stosuj¡c metode Simpsona dla n = 2.
Nast¦pnie oblicz jej dokªadn¡ warto±¢ i porównaj wyniki.
8. Poka», »e suma pojawiaj¡ca si¦ w metodzie trapezów jest sum¡ caªkow¡ Riemanna, tzn. ma posta¢
∑n i=1
f (ti)∆xi.
9. Oblicz caªk¦ ∫ 1
0
ex2dx z dokªadno±ci¡ 0,001.
10. Wska» punkty osobliwe i zbadaj zbie»no±¢ caªek niewªa±ciwych
∫ 1
0
√ dx
x(1− x),
∫ ∞
1
dx x2lnx,
∫ 1
−∞
dx x2+ 4x + 10,
∫ ∞
−1
xdx 2x3+ x2+ 1,
∫ ∞
1
exdx x100,
∫ 1
0
dx e√x− 1,
∫ 1
0
xdx ex− 1,
∫ ∞
2
dx lnx,
∫ ∞
0
dx 2x3+ x2+√3
x,
∫ ∞
0
dx x4+ x3+√
x,
∫ ∞
−∞
x4+ 1 x6+ 3x2+ 5dx,
∫ 1
0
dx ex− e−x
∫ 1
0
x3/2dx ex2− e−x2,
∫ π
0
dx sin x,
∫ π
0
√x(π− x) tgx dx,
∫ 1
−1
(x2− 1)dx
√2 + x + 2x2− x3,
∫ 1
0
dx x− sin x,
∫ ∞
−∞e−x2lnx2dx,
∫ ∞
0
lnxdx x3/2+ x + 1.
11. Zbadaj zbie»no±¢ caªek niewªa±ciwych
∫ ∞
0
xαe−x2dx,
∫ 1
0
cos x
√x dx,
∫ 1
0
(1− xa)−b (a, b > 0),
∫ ∞
0
cos x 1 + x2dx,
∫ 1
0
ex− e−x x√
x dx,
∫ ∞
1
x
x2+ k2 sin axdx (k > 0),
∫ ∞
2
dx xklnx,
∫ ∞
2
dx x(lnx)k,
∫ ∞
0
sin2x x dx,
∫ ∞
0
dx xp+ xq,
∫ ∞
0
cos axdx 1 + xn ,
∫ ∞
0
sin x xa dx.
12. Funkcja ϕ(x) jest ci¡gªa na przedziale [a, b] i ró»niczkowalna w sposób ci¡gªy na (a, b], przy czym ϕ′(x)jest nieograniczona w pobli»u punktu a. Funkcja f(u) jest ci¡gªa na przedziale zawieraj¡cym wszystkie warto±ci funkcji ϕ(x). Poka», »e caªka∫b
af (ϕ(x))ϕ′(x)dxjest zbie»na do
∫ϕ(b)
ϕ(a) f (u)du.
13. Sformuªuj i udowodnij twierdzenie podobne to wyniku poprzedniego zadania tak, aby w tezie otrzyma¢ wzór ∫ ∞
a
f (ϕ(x))ϕ′(x)dx =
∫ L
ϕ(a)
f (u)du,
gdzie L = limx→∞ϕ(x).
14. Poka», »e ∫ 1
0
cos x2dx = 1 2
∫ 1
0
cos x
√x dx.
15. Poka», »e ∫ ∞
0
cos x2dx = 1 2
∫ ∞
0
cos x
√x dx.
16. Oblicz caªki niewªa±ciwe
∫ 1
−1
√ dx 1− x2,
∫ ∞
0
dx 1 + x3,
∫ ∞
0
xlnx (1 + x2)2dx,
∫ ∞
0
e−xcos bxdx,
∫ ∞
1
dx (1 + x)√
x. 17. Korzystaj¡c ze wzorów rekurencyjnych oblicz nast¦puj¡ce caªki
∫ ∞
0
xne−xdx,
∫ ∞
1
1
x(x + 1)...(x + n)dx,
∫ 1
0
xndx
√(1− x)(1 + x). 18. Zbadaj zbie»no±¢ zwykª¡ i bezwzgl¦dn¡ caªek
∫ ∞
0
sin x
√x dx,
∫ ∞
0
cos x
√x(1 + x)dx,
∫ ∞
π
cos x x + sin 2xdx.
19. Zbadaj zbie»no±¢ caªek
∫ ∞
0
sin x
xα , (α > 0),
∫ ∞
0
cos x
xα , (α > 0),
∫ ∞
0
xβsin 1 xβdx, 20. Udowodnij, »e dla p > 0 mamy
∫ ∞
0
f (xp+ x−p)log xdx x = 0,
∫ ∞
0
f (xp+ x−p)log x dx 1 + x2 = 0, je»eli tylko caªki s¡ zbie»ne.
21. Czy mo»na zbie»n¡ caªk¦ niewªa±ciw¡∫b
af (x)dxz funkcji nieograniczonej f(x), rozpatrywa¢
jako granic¦ sumy caªkowej?
22. Poka», »e je»eli∫∞
a f (x)jest zbie»na i f(x) jest funkcj¡ monotoniczn¡, to xf(x) jest funkcj¡
ograniczon¡.
23∗.Poka», »e warto±¢ caªki ∫ ∞
0
dx (1 + x2)(1 + xα) nie zale»y od parametru α.
24∗.Zbadaj zbie»no±¢ caªek
∫ ∞
0
dx 1 + x4cos2x,
∫ ∞
0
dx 1 + xαsin2x. 25∗. Podaj przykªad funkcji f : (1, ∞) → R dla której caªka ∫∞
1 f (x)dxistnieje, ale funkcja nie zbiega do 0.
26∗.Podaj przykªad funkcji f : (1, ∞) → R dla której caªka∫∞
1 f (x)dxistnieje, ale funkcja jest nieograniczona.
27∗.Poka», »e ∫ π/2
0
log sin xdx =−π 2log 2
28∗.Poka», »e ∫ 1
0
log x
√1− x2dx =−π 2 log 2 29∗.Zbadaj zbie»no±¢ caªki ∫ ∞
0
( e−
( 1 + 1
x )x)
dx
30∗.Zaªó»my, »e funkcja f jest caªkowalna na (0, ∞) i jednostajnie ci¡gªa. Poka», »e limx→∞f (x) = 0.
