Zad 3. Wyznaczyć macierz X spełniającą równanie.

Zestaw 1B.

Zad 1.

z liczby argument

i moduł tzn.

z arg i czyć Wyzna )

3 i (1

z  ⁷ z

Wskazówka. Przedstaw liczbę 1i 3 w postaci trygonometrycznej i do obliczenia wartości

z

zastosuj wzór de Moivre'a

Zad 2. Znaleźć zbiór rozwiązań w ciele liczb zespolonych.

2 2 2 3 ) 1 2

( i z  i iz

Zad 3. Wyznaczyć macierz X spełniającą równanie.

 

 



 

 7 3

5 2 gdzie A A

A

AX ^T

Wskazówka. Najpierw pomnożyć strony równania z lewej strony przez A^1 i dokonać przekształceń maksymalnie upraszczając. Następnie wyznaczyć A^1.

Zad 4. Czy zbiór R z działaniem

^a^b



^{3 a3 b}



³

jest grupą.

Zad 5. Przedstawić wielomian

^{f(X) X416}

w postaci nierozkładalnych czynników rzeczywistych.

Wskazówka. Wyznaczyć wszystkie pierwiastki zespolone ⁴ 16 i zapisać wielomian f( X) w postaci iloczynu wielomianów stopnia 1. Odpowiednie czynniki mnożymy aby uzyskać wielomiany o współczynnikach rzeczywistych

.

Zad 6. Wyznaczyć w grupie permutacji

^S9

wyznaczyć sgn gdzie 

 

 



 

7 6 9 4 2 8 5 1 3

9 8 7 6 5 4 3

 2 1 ^.

Rozwiązania zadań.

Ad zad 1.

Zad 1.

z liczby argument

i moduł tzn.

z arg i czyć Wyzna )

3 i (1

z  ⁷ z

Wskazówka. Przedstaw liczbę 1i 3 w postaci trygonometrycznej i do obliczenia wartości

z

zastosuj wzór de Moivre'a

Rozwiązanie

Niech

^{w1i 3xyi}

. Wtedy

^{w 1i 3  12}

 

^{32 2}

. To dla   arg

w

mamy

^{cos } _w^{x  1}₂ ^{, sin } _w^{y } ₂^{3 }

3

 







 



 





 sin 3

cos3 2 3

1  

i i

w

 

_^



 



 



 

 





 

 





 



 



 



 



 



 





 ^{1 i 37 2(cos}₃ ^isin₃ ⁷



^{27 cos7}₃^{ isin7}₃^{ 128 cos }₃ ^{2 isin }₃ ^2

z

twMoivrea



 



 

sin3 cos3

128  

i

. Z jednoznaczności przedstawienia trygonometrycznego liczby zespolonej mamy

3

128 



 Argz

z

.

Ad zad 2.

Zad 2. Znaleźć zbiór rozwiązań w ciele liczb zespolonych.

2 2 2 3 ) 1 2

( i z  i iz

Rozwiązanie

































 z i iz i z iz i i i z i

i 1 ) 3 2 2 2 ( 2 1 ) 2 2 3 2 ( 2 1 2 ) 5 2

2 (

i z

i

z52  52



.

Ad zad 3.

Zad 3. Wyznaczyć macierz X spełniającą równanie.

 

 



 

 7 3

5 2 gdzie A A

A

AX ^T

Wskazówka. Najpierw pomnożyć strony równania z lewej strony przez A^1 i dokonać przekształceń maksymalnie upraszczając. Następnie wyznaczyć A^1.

Rozwiązanie

Ponieważ

detA1

to

A istnieje. Zatem^1

) (

)

( ¹

1 AX A A AT

A^  ^ 

AT

A A A X A

A ¹ ) ^{1 1}

( ^  ^  ^

Wykorzystaliśmy łączność mnożenia i rozdzielność względem dodawania.

AT

A J X

J₂  ₂  ^1 AT

A J

X  ₂  ^1

 _



 







 



 









 





 









 



2 3 5 7 2 5 3 7 1 1 2 5 3 7 1 1 det

1 1

TT

A TD

A A

 

 





 



 





 



 



 



 



 



 







 



 



 

4 4 14 12 5 4 14 11 1 0 0 1 7 5 3 2 2 3 5 7 1 0 X 0 1

Ad zad 4.

Zad 4. Czy zbiór R z działaniem ^a^b



^{3 a3 b}



³ jest grupą.

Rozwiązanie

1^o Działanie jest łączne ponieważ: dla ^a,b,cR

   

 ^

 

^



^



^



^



^

 

^



 



  





 ^{3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3}

)

(ab c a b c a b c a b c a b c

 

³



^{3 3}



^{3 ( )}

3 3 3 3

3 a b c   a bc a bc



 



  

2^o Działanie ma element neutralny e0 ponieważ ^a^ea^0



^{3 a3 0}



^3a



^a



^a

a a

e 0   ³ 0^{3 3}  .

3^o Działanie ma element odwrotny a^1 a ponieważ



^{a a}

 

^a

 

^a



^e

a a a

a ^1 ( ) ³ ³  ³  ³  ^{3 3} 0



^{a a}



^e

a a a

a^1 ( )  ³  ^{3 3}0 .

Trzy aksjomaty grupy są spełnione a więc ten zbiór z tym działaniem jest grupą.

Ad zad 5.

Zad 5. Przedstawić wielomian f(X) X⁴16 w postaci nierozkładalnych czynników rzeczywistych.

Wskazówka. Wyznaczyć wszystkie pierwiastki zespolone ⁴ 16 i zapisać wielomian f( X) w postaci iloczynu wielomianów stopnia 1. Odpowiednie czynniki mnożymy aby uzyskać wielomiany o współczynnikach rzeczywistych.

Rozwiązanie

Każdy pierwiastek zespolony ⁴ 16 jest pierwiastkiem wielomianu ^{f(X) X416}.

Pierwiastki zespolone z określonej liczby obliczamy z wzoru mając postać trygonometryczną tej liczby lub znając jeden pierwiastek do obliczenia pozostałych korzystamy z pierwiastków z jedynki.

) sin (cos

16

16  i 

 postać trygonometryczna.

3 , 2 , 1 , 0 4

sin 2 4

cos 2

416  



 



 

 

 k k

k i

z_k    

wszystkie pierwiastki.

2 2 2

2 2

2 2 sin 4 cos4

2

0 z₀ i i i

k  





 





 



 



  

2 2 2

2 2

2 2 4 sin3 4 cos3 4 2

sin 2 4

cos 2 2

1 z₁ i i i i

k  







 





 



 





 



 

 



      

2 2 2

2 2

2 2 4 sin5 4 cos5 4 2

sin 4 4

cos 4 2

2 z₂ i i i i

k  





 





 



 





 



   



      

2 2 2

2 2

2 2 4 sin7 4 cos7 4 2

sin 6 4

cos 6 2

3 z₃ i i i i

k  







 





 



 





 



   



      

Zatem ^{f(X)X416}



^X



^{ 2i 2}

   

^{X  2i 2}

   

^{X 2i 2}

   

^{X  2i 2}

 

Czynniki stopnia 1 mają wyrazy wolne, które nie są liczbami rzeczywistymi, a więc nie tworzą rozkład na czynniki których współczynniki są liczbami rzeczywistymi.

Mnożąc dwa pierwsze czynniki i dwa ostatnie czynniki otrzymamy wielomiany o żądanym rozkładzie ^{f(X) X416}



^{X22 2X4}



^{X22 2X4}



^.

W uzupełnieniu istotnych informacji tych zagadnień dobrze wiedzieć:

a). Można pokazać wykorzystując własności liczb sprzężonych /które łatwo wyrachować/ :

n

n a

a b a b a b a

ab ,    ,  , że jeżeli liczba zespolona

a

jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych to a jest również pierwiastkiem tego wielomianu:

dla f(X)b_nXⁿb_n1X^n1....b₁X b₀ b_n,b_n1,...,b₁,b₀R i f(a)0 mamy ) ( ...

...

) ( 0

0  f a b_naⁿ b_{n 1}aⁿ¹ b₁ab₀ b_naⁿb_n₁a^n1 b₁ab₀  f a



ponieważ dla liczb rzeczywistych b b.

b). Podstawowe twierdzenie algebry

Każdy wielomian stopnia co najmniej 1 o współczynnikach zespolonych ma przynajmniej jeden pierwiastek z ciała liczb zespolonych. Jest to równoważne własności: Każdy wielomian stopnia co najmniej 1 o współczynnikach zespolonych można przedstawić w postaci



X z



X z

 

X z



n stf X a z z z C a

X

f( )  ₁  ₂ ...  _n  ( ) , ₁, ₂,..., _n _. Z własności a). b). wynika: Twierdzenie.

Wielomian

^{f X b X b X b X b b}n ^bn ^{b b R}

n n n

n     

 _1 ^1 .... _{1 0} , _1,..., ₁, ₀ )

(

można

przedstawić w postaci

r lj

j j l

k r k

k

n X x X x X x X p X q X p X q

a X

f( ) (  ₁) ¹(  ₂) ²...(  ) ( ² ₁  ₁)¹...( ²  )

gdzie

r

n R x x x

a  , ₁, ₂,.,,

pierwiastki rzeczywiste wielomianu

^ki ^{N i}1...^r j

i N l q

p R q

p_i, _i , _i²4 _i 0 , _i , 1...

.

Ponieważ: w rozkładzie w punktu b). jeżeli ^zi^C i ^zi^R to z punktu a). mamy 0

) (z_i 

f f(z_i)0. Wtedy (Xz_i)(X z_i) X²(z_iz_i)X (z_iz_i), ^zi^zi , ^zi^zi^R jest czynnikiem rozkładu wielomianu w którym nie ma pierwiastków rzeczywistych czyli delta jest ujemna. Parując takie pierwiastki uzyskamy wszystkie wielomiany stopnia 2. Zostaną tylko pierwiastki rzeczywiste.

Wniosek: Jeżeli wielomian f( X) o współczynnikach rzeczywistych jest stopnia nieparzystego to ma on pierwiastek będący liczbą rzeczywistą.

Ad zad 6.

Zad 6. Wyznaczyć w grupie permutacji

S9

wyznaczyć sgn gdzie 

 

 



 

7 6 9 4 2 8 5 1 3

9 8 7 6 5 4 3

 2 1 ^.

)9,7)(8,4)(6,4)(3,1)(5, 1)(2,1()9,7)(6,8,4)(

2,5,3,1(

7 6 9 4 2 8 5 1 3 9 8 7 6 5 4 3 2 1

 



 



 

 ^Stąd sgn =1 gdyż mamy rozkład permutacji na 6 transpozycji czyli na ^ liczbę transpozycji parzystą, co zapisujemy wartością 1. Inny rozkład na transpozycje tej permutacji będzie miał też parzystą liczbę transpozycji. Wykorzystaliśmy łatwy sposób rozkładu permutacji na cykle i wzór rozkładu cykli na transpozycje:

) , )...(

, )(

, ( ) ,..., ,

(k₁ k₂ k_n  k₁ k_n k₁ k_n1 k₁ k₂