Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej Dystrybuanta σ-ciało generowane przez X

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta.

Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska

Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej Dystrybuanta σ-ciało generowane przez X

Wprowadzenie

Rozważmy eksperymenty

1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;

2 strzał Lolka do tarczy (każdy punkt tarczy równo prawdopodobny)

Znamy już naturalne przestrzenie probabilistyczne, które odpowiadają tym eksperymentom.

związanych z eksperymentem np. „rozkład prawdopodobieństw”

1 liczby żetonów wygranych przez Bolka;

2 liczby punktów uzyskanych przez Lolka;

3 odległości od środka tarczy wyniku strzału Lolka.

Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej Dystrybuanta σ-ciało generowane przez X

Wprowadzenie

A co jeślinieinteresują nas prawdopodobieństwa zbiorów wyników eksperymantu, ale„rozkład prawdopodobieństw” dla pewnych liczb związanych z eksperymentem np. „rozkład prawdopodobieństw”

1 liczby żetonów wygranych przez Bolka;

2 liczby punktów uzyskanych przez Lolka;

3 odległości od środka tarczy wyniku strzału Lolka.

Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej Dystrybuanta σ-ciało generowane przez X

Zmienna losowa

1 Liczba żetonów wygranych przez Bolka;

2 Liczba punktów uzyskanych przez Lolka;

3 Odległości od środka tarczy wyniku strzału Lolka;

jest wartością funkcji, która każdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowuje pewną wartość z R.

Niech (Ω, F , P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Dowolną funkcję X : Ω → R taką, że

dla dowolnego zbioru borelowskiego A ∈ B(R) X⁻¹(A) = {ω ∈ Ω : X (ω) ∈ A} ∈ F nazywamy zmienną losową.

Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej Dystrybuanta σ-ciało generowane przez X

Zmienna losowa

1 Liczba żetonów wygranych przez Bolka;

2 Liczba punktów uzyskanych przez Lolka;

3 Odległości od środka tarczy wyniku strzału Lolka;

jest wartością funkcji, która każdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowuje pewną wartość z R.

Definicja

Niech (Ω, F , P) będzie przestrzenią probabilistyczną.

Dowolną funkcję X : Ω → R taką, że

dla dowolnego zbioru borelowskiego A ∈ B(R) X⁻¹(A) = {ω ∈ Ω : X (ω) ∈ A} ∈ F nazywamy zmienną losową.

Szczypta teorii miary itp.

Zmienna losowa jest to po prostu dowolna funkcja z (Ω, F , P) do R mierzalna w sensie Lebesgue’a.

Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej Dystrybuanta σ-ciało generowane przez X

Przykład 1

Bolek postawił na „czerwone”;

Niech X : Ω → R będzie zmienną losową równą wygranej Bolka (w żetonach).

Prawdopodobieństwa jakich zdarzeń (w (Ω, F , P)) nas interesują?

Bolek przegrał jeden żeton {X = −1} = X⁻¹(−1) ∈ F . Bolek wygrał jeden żeton {X = 1} = X⁻¹(1) ∈ F Bolek nie wygrał żetonu

{X ¬ 0} = X⁻¹((−∞, 0]) ∈ F .

Ich prawdopodobieństwa w (Ω, F , P)

P (X = −1) = P (X ¬ 0) = ¹⁹₃₇,P (X = 1) = ¹⁸₃₇

Przykład 1

Bolek postawił na „czerwone”;

Niech X : Ω → R będzie zmienną losową równą wygranej Bolka (w żetonach).

Prawdopodobieństwa jakich zdarzeń (w (Ω, F , P)) nas interesują?

Bolek przegrał jeden żeton {X = −1} = X⁻¹(−1) ∈ F . Bolek wygrał jeden żeton {X = 1} = X⁻¹(1) ∈ F Bolek nie wygrał żetonu

{X ¬ 0} = X⁻¹((−∞, 0]) ∈ F . Ich prawdopodobieństwa w (Ω, F , P)

P (X = −1) = P (X ¬ 0) = ¹⁹₃₇,P (X = 1) = ¹⁸₃₇

Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej Dystrybuanta σ-ciało generowane przez X

Przykład 2

Lolek strzela do tarczy^∗;

Niech Y : Ω → R będzie zmienną losową równą liczbie uzyskanych punktów.

Prawdopodobieństwa jakich zdarzeń (w (Ω, F , P)) nas interesują?

Lolek dostał 10 punktów {Y = 10} = Y⁻¹(10) ∈ F .

Lolek dostał co najwyżej 5 punktów {Y ¬ 5} = Y⁻¹((−∞, 5]) ∈ F

Ich prawdopodobieństwa w (Ω, F , P) P (Y = 10) = ₁₀₀¹ ,P (Y ¬ 5) = ₁₀₀⁷⁵

∗Zakładamy, że Lolek za każdym razem trafia w tarczę, trafiony punkt jest losowy zgodnie z prawd. geometrycznym i że tarcza ma promień 10.

Przykład 2

Lolek strzela do tarczy^∗;

Niech Y : Ω → R będzie zmienną losową równą liczbie uzyskanych punktów.

Prawdopodobieństwa jakich zdarzeń (w (Ω, F , P)) nas interesują?

Lolek dostał 10 punktów {Y = 10} = Y⁻¹(10) ∈ F .

Lolek dostał co najwyżej 5 punktów {Y ¬ 5} = Y⁻¹((−∞, 5]) ∈ F Ich prawdopodobieństwa w (Ω, F , P) P (Y = 10) = ₁₀₀¹ ,P (Y ¬ 5) = ₁₀₀⁷⁵

∗Zakładamy, że Lolek za każdym razem trafia w tarczę, trafiony punkt jest losowy zgodnie z prawd. geometrycznym i że tarcza ma promień 10.

Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej Dystrybuanta σ-ciało generowane przez X

Trochę oszukana definicja

Rozkład zmiennej losowejto informacja o tym, jakie wartości ta zmienna losowa może przyjmować i jakie są prawdopodobieństwa tych wartości.

Rozkład zmiennej losowej jest miarą probabilistyczną na B(R).

Z punktu widzenia praktycznego:

rozkład zmiennej losowej niesie mniej informacji niż zmienna losowa, i czasem dobrze jest pozbyć się nadmiaru informacji, a czasem pozbywanie się informacji nie jest mądre.

Trochę oszukana definicja

Rozkład zmiennej losowejto informacja o tym, jakie wartości ta zmienna losowa może przyjmować i jakie są prawdopodobieństwa tych wartości.

Rozkład zmiennej losowej jest miarą probabilistyczną na B(R).

Z punktu widzenia praktycznego:

rozkład zmiennej losowej niesie mniej informacji niż zmienna losowa, i czasem dobrze jest pozbyć się nadmiaru informacji, a czasem pozbywanie się informacji nie jest mądre.

Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej Dystrybuanta σ-ciało generowane przez X

Definicja

Rozkładem (prawdopodobieństwa) zmiennej losowej X nazywamy miarę probabilistyczną PX (funkcję prawd. PX) na prostej R wyposażonej w σ-ciało zbiorów borelowskich B(R) zadaną wzorem

PX(A) := P



ω ∈ Ω : X (ω) ∈ A



= P X⁻¹(A)
= P(X ∈ A) dla dowolnego borelowskiego zbioru A ∈ B(R)

Przypomnienie

Dowolną funkcję X : Ω → R taką, że

dla dowolnego zbioru borelowskiego A ∈ B(R) X⁻¹(A) = {ω ∈ Ω : X (ω) ∈ A} ∈ F nazywamyzmienną losową.

Definicja

Rozkładem (prawdopodobieństwa) zmiennej losowej X nazywamy miarę probabilistyczną PX (funkcję prawd. PX) na prostej R wyposażonej w σ-ciało zbiorów borelowskich B(R) zadaną wzorem

PX(A) := P



ω ∈ Ω : X (ω) ∈ A



= P X⁻¹(A)
= P(X ∈ A) dla dowolnego borelowskiego zbioru A ∈ B(R)

Definicja - bardziej ogólnie

Rozkładem prawdopodobieństwana R nazywamy każdą miarę probabilistyczną na B(R).

Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej Dystrybuanta σ-ciało generowane przez X

Uwaga dotycząca oznaczeń

Niebawem poznamy wiele słynnych rozkładów

prawdopodobieństwa (czyli miar probabilistycznych na B(R)) Fakt, że zmienna losowa X ma rozkład PX będziemy oznaczać

X ∼ PX

.

Uwaga dotycząca oznaczeń

PX(A) = P



ω ∈ Ω : X (ω) ∈ A



= P X⁻¹(A)
=P(X ∈ A) Dla szczególnych zbiorów np. A = (a, b), A = {c}

PX((a, b)) = P



ω ∈ Ω : a < X (ω) < b



= P X⁻¹((a, b))

=P(a < X < b) PX({c}) = P



ω ∈ Ω : X (ω) = c



= P X⁻¹({c})

=P(X = c )

Zazwyczaj będziemy wykorzystywać ostatnią, najkrótszą notację.

Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej Dystrybuanta σ-ciało generowane przez X

Uwaga

Dowolna zmienna losowa X : Ω → R wyznacza nową przestrzeń probabilistyczną (R, B(R), PX).

W konkretnych przypadkach (a tylko takie będziemy rozpatrywać) podanie rozkładu zmiennej losowej X jest o wiele prostsze niż podawanie miary dla każdego zbioru borelowskego.

Przykład 3

W przypadku wygranej Bolka (zmiennej losowej X ) wystarczy podać

PX({−1}) = P(X = −1) = ¹⁹₃₇, PX({1}) = P(X = 1) = ¹⁸₃₇. Dlaczego?

Trochę nazewnictwa

Trochę nazewnictwa

Mówimy, że zmienna losowa X jest skupiona nazbiorze A ⊆ R, gdy P (X ∈ A) = P X⁻¹(A)
= 1

(wybieramy zwykle jak najmniejszy lub „ jak najładniejszy” taki zbiór).

Przykład 4

Na jakim zbiorze skupiona jest zmienna losowa X równa wygranej Bolka w ruletkę?

Y równa liczbie punktów Lolka w rzucie do tarczy?

Z równa odległości strzału Lolka od środka tarczy?

Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej Dystrybuanta σ-ciało generowane przez X

Dystrybuanta

Dladowolnejzmiennej losowej można określić dystrybuantę.

Definicja

Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F : R → R daną wzorem

F (a) =P (X ¬ a)= P^X⁻¹((−∞, a])^= PX((−∞, a]).

Przypomnijmy, że dla dowolnej liczby a ∈ R zbiór

{X ¬ a} = X⁻¹((−∞, a]) ∈ F jest zdarzeniem w przestrzeni (Ω, F , P), na której jest określona X .

Przykład 5

Bolek postawił na „czerwone”;

Niech X : Ω → R będzie zmienną losową równą wygranej Bolka.

Podaj dystrybuantę zmiennej losowej X .

Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej Dystrybuanta σ-ciało generowane przez X

Wprowadzenie

Przykład 6

Lolek strzela jeden raz do tarczy^∗. Niech Z : Ω → R będzie zmienną losową równąodległości strzału od środka.

Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej Z.

∗Zakładamy, że Lolek za każdym razem trafia w tarczę, trafiony punkt jest losowy zgodnie z prawdopodobieństwem geometrycznym i że tarcza ma promień 10.

Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej Dystrybuanta σ-ciało generowane przez X

Własności dystrybuanty

Twierdzenie

Dystrybuanta F zmiennej losowej ma następujące własności:

1 jest niemalejąca;

2 F (−∞) = lim_t→−∞F (t) = 0,

3 F (∞) = lim_t→∞F (t) = 1;

4 jest prawostronnie ciągła, tzn. F (t) = lim_s→t⁺F (s) Dowód:

Twierdzenie

Dowolna funkcja F : R → R, która ma własności 1-4 jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej.

Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej Dystrybuanta σ-ciało generowane przez X

Własności dystrybuanty

Twierdzenie

Dystrybuanta F zmiennej losowej ma następujące własności:

1 jest niemalejąca;

2 F (−∞) = lim_t→−∞F (t) = 0,

3 F (∞) = lim_t→∞F (t) = 1;

4 jest prawostronnie ciągła, tzn. F (t) = lim_s→t⁺F (s) Dowód:

Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne.

Twierdzenie

Dowolna funkcja F : R → R, która ma własności 1-4 jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej.

Własności dystrybuanty

Przykład 7

Które z poniższych obrazków pokazują wykres dystrybuanty pewnej zmiennej losowej?

1. 2. 3.

4. 5. 6.

Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej Dystrybuanta σ-ciało generowane przez X

Własności dystrybuanty

Inne przydatne własności

P (X < t) = lim

s→t⁻F (s).

P (X = t) = F (t) − lim

s→t⁻F (s).

Dowód:

To wiemy

P (X ¬ t) = F (t), P (X < t) = lim

s→t⁻F (s).

Przykład 8

Zmienna losowa ma dystrybuantę

F (x ) =















0 dla x < 0;

1

5 dla 0 ¬ x < 1;

1

5x + ¹₅ dla 1 ¬ x < 3;

1 dla x ­ 3.

Wyznacz:

P (X = 2), P (X = 3), P (X ¬ 3), P (X < 3), P (2 < X < 3).

Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej Dystrybuanta σ-ciało generowane przez X

Przeciwobraz X : Ω → R – ważne własności

Wybrane własności przeciwobrazu dla A, B, An⊆ R X⁻¹(R) = Ω, X⁻¹(∅) = ∅,

X⁻¹(R \ A) = Ω \ X⁻¹(A), czyli X⁻¹(A⁰) = (X⁻¹(A))⁰, X⁻¹(B \ A) = X⁻¹(B) \ X⁻¹(A),

X⁻¹(^S∞_n=1A_n) =^S∞_n=1X⁻¹(A_n), X⁻¹(^T∞_n=1An) =^T∞_n=1X⁻¹(An).

Przeciwobrazy i σ–ciała JeśliF jest σ–ciałem w R, to

X⁻¹(F ) = {X⁻¹(A) : A ∈ F } jest σ–ciałem w Ω.

Jeśli A jest niepustą rodziną podzbiorów zbioru R, to σ(X⁻¹(A)) = X⁻¹(σ(A)).

X jest zmienną losową na (Ω, F , P) Definicja

σ–ciałem generowanym przez zmienną losową X (ozn. σ(X )) nazywamy najmniejsze σ–ciało podzbiorów Ω, względem których X jest mierzalna.

σ(X ) = X⁻¹(B(R)) = {X⁻¹(B) : B ∈ B(R)}

Przykład 5

Bolek postawił na „czerwone” w ruletkę.

Niech X : Ω → R będzie zmienną losową równą wygranej Bolka.

Wyznacz σ(X ).

Przypomnienie: rozkład zmiennej losowej niesie mniej informacji niż zmienna losowa.