Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 1. Zmienne losowe
Ćw. 1.1 Wybieramy jedną kartę z 32 (od siódemki do asa). Niech X będzie zmienną losową przyjmującą wartość karty zgodnie z zasadami w brydżu (A=4, K=3, D=2, V=1, pozosta- łe=0).
1. Wyznacz rozkład zmiennej X.
2. Wyznacz i narysuj dystrybuantę zmiennej X.
3. Oblicz P (X ¬ 2).
4. Wyznacz EX i V arX.
Ćw. 1.2 Wykaż, że rozkład geometryczny ma własność braku pamięci (zwaną także własnością Markowa), tzn. jeśli X jest zmienną losową o danym rozkładzie, to
P (X > t + s|X > t) = P (X > s), gdzie t, s ∈ N ∪ {0}.
Ćw. 1.3 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie Poissona. Oblicz EX i V arX oraz dla λ = 10 oblicz P (8 ¬ X ¬ 10).
Ćw. 1.4 Niech X będzie zmienną losową o gęstości
f (t) =
0, t /∈ [−1, 1], λ(1 − t2), t ∈ [−1, 1].
1. Wyznacz λ i narysuj wykres f .
2. Wyznacz dystrybuantę zmiennej X i narysuj jej wykres.
3. Wyznacz P (X > 0, 5 ∨ X < −0, 5).
4. Oblicz EX, V arX.
Ćw. 1.5 Zmienna losowa X ma gęstość f (x) = 4a3x1I(0,3)(x). Wyznacz parametr a oraz oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej (X − 2)2.
Ćw. 1.6 Dany jest sześcian, którego krawędź X ma losową długość z przedziału [1, 2] o rozkładzie jednostajnym. Oblicz wartości oczekiwane objętości i pola powierzchni tego sześcianu.
Ćw. 1.7 Czas (w minutach) pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami abonentów pewnej centrali telefo- nicznej jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ = 2. Oblicz średni czas pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami oraz prawdopodobieństwo, że przed upływem 3 minut nastąpi zgłoszenie.
Ćw. 1.8 Udowodnij regułę trzech sigm: Jeżeli zmienna losowa ma rozkład normalny, to war- tość bezwzględna odchylenia tej zmiennej od wartości oczekiwanej nie przekracza potrojonego odchylenia standardowego.
Ćw. 1.9 Niech X ma rozkład N (1, 4). Oblicz P (X < 0); P (X < 1); P (X > −1).
Ćw. 1.10 Dobierz stałe A i B tak, aby funkcja określona dla x ∈ R wzorem F (x) = A + B arctgx
była dystrybuantą zmiennej losowej. Wyznacz gęstość zmiennej losowej X.
