Kontrola i ocena stochastycznej wiedzy ucznia jako nowy problem dydaktyki matematyki

SE R IA V : D Y D A K T Y K A M A T E M A T Y K I 15(1993)

Maciej M ajor i Adam Płocki

Kontrola i ocena stochastycznej wiedzy

ucznia jako nowy problem

dydaktyki matematyki

1

Wprowadzenie

Wraz z włączeniem do programów matematyki szkolnej elementów rachunku prawdopodobieństwa pojawił się problem kontroli i oceny stochastycznej wie­ dzy ucznia. W istocie powstał on wraz z wprowadzeniem treści stochastycznych do pisemnych i ustnych egzaminów wstępnych (zwłaszcza na studia, a w pew­ nym okresie i do szkoły średniej). Chodzi o odpowiedź na zasadnicze pytania:

Jaką w ie d z ę s to ch a s ty cz n ą m a m y o ce n ia ć? Jak t o r o b ić ? Podstawowym narzędziem sprawdzania wiadomości w matematyce są za­ dania. Spotyka się opinię, że posiąść wiedzę z danej dziedziny matematyki to umieć rozwiązywać zadania z tej dziedziny. Przy tym tradycyjne zadania ma­ tematyczne służące do ćwiczenia i kontroli wiedzy obejmują w zasadzie tylko dwie formy matematycznej aktywności: dedukcję i rachunki.

Matematyka to jednak nie tylko dedukcja i rachunki. W podręcznikach i zbiorach zadań matematycznych dla ucznia i nauczyciela brak w istocie za­ dań, których rozwiązywanie obejmowałoby takie ważne formy matematycznej działalności jak:

— odkrywanie, uzasadnianie i wykorzystywanie do matematycznych wniosko­ wań różnego typu analogii i izomorfizmów,

odkrywanie i uzasadnianie luk i błędów w rozumowaniach,

przekład pozamatematycznego problemu na język matematyki, a więc for­ mułowanie matematycznych zadań na tle pozamatematycznych sytuacji,

58

Te inne (niż rachunki i dedukcja) formy matematycznej aktywności stają się istotne w przypadku wiedzy stochastycznej. Stochastyka (rozumiana jako naturalna fuzja elementów rachunku prawdopodobieństwa i statystyki mate­ matycznej) wnosi do kształcenia matematycznego nowe, typowe tylko dla niej formy aktywności matematycznej. Należą do nich m. inn. :

'— konstrukcja modelu probabilistycznego. Dla każdej sytuacji ten model jest inny, a i dla danej sytuacji można skonstruować różne, nieizomorficzne modele, w zależności od przyjętej konwencji konstruowania przestrzeni wyników. Ka­ żde zadanie z rachunku prawdopodobieństwa rozwiązuje się w odpowiednim modelu probabilistycznym; w odróżnieniu od innych matematycznych zadań, pierwszym i istotnym etapem rozwiązywania probabilistycznego zadania jest więc konstrukcja tego modelu. Chodzi zatem o dobór narzędzi tej konstrukcji oraz środków argumentacji, że model jest właściwy;

— uzasadnianie na gruncie matematyki pewnych empirycznych faktów (np. zaskakujących symetrii odkrytych w danych statystycznych),

— zbieranie, porządkowanie i opracowywanie środkami matematycznymi da­ nych empirycznych (statystycznych), w tym także racjonalizacja tych czyn­ ności, przez symulację opartą na tablicach liczb losowych.

Na rachunek prawdopodobieństwa składają się nie tylko definicje i twier­ dzenia, ale także pewna metodologia. Chodzi tu o specyficzne wnioskowania, w których wykorzystuje się pojęcia i ich własności, a które przez wieki m o­ tywowały i inicjowały rozwój tej dziedziny matematyki. Bez tego kontekstu i tych wnioskowań rachunek prawdopodobieństwa staje się teorią pewnej szcze­ gólnej miary. W prowadzając rachunek prawdopodobieństwa do matematyki szkolnej — nie tę abstrakcyjną, oderwaną od owej metodologii (a więc i od ży­ cia) teorię miano na uwadze. Chodziło o oswojenie ucznia z nowym aspektem matematycznego myślenia, jakim stał się aspekt stochastyczny (Płocki, 1992, s. 241-243).

Problematykę stochastyczną trzeba dziś rozpatrywać jako nowy element powszechnego kształcenia matematycznego. Wzorce zadań z rachunku praw­ dopodobieństwa, które zostały rozpropagowane wśród uczniów i nauczycieli, muszą w tym kontekście skłaniać do wielu refleksji. ^

W yjdźm y od kilku typowych zadań, powielanych w zbiorach zadań i po­ wtarzanych w licznych zestawach pisemnych egzaminów.

1. Dziecko bawi się literami A, A, A, E, M, M, K, T , Y. Znaleźć prawdopo­ dobieństwo tego, że przypadkowo ułoży słowo M A TEM ATYKA . (Plucińska, 1978, s. 12).

(Zestawy zadań. . . , 1992, s. 6).

3. Sześcian, którego wszystkie ściany są, pomalowane, rozpiłowano tworząc tysiąc sześcianików jednakowej wielkości. Sześcianiki te wymieszano dokładnie. Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrany sześcianik będzie miał dwie ściany pomalowane. (Diner, 1975, s. 10).

4. Mamy 5 żarówek różnej mocy. Sporządzamy neon łącząc je szeregowo. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że łącząc losowo żarówki nie połączymy ich ani w kolejności wzrastającej mocy, ani w kolejności malejącej mocy, jeżeli każde połączenie jest jednakowo prawdopodobne? (Cegiełka, 1992, s. 33).

W zadaniach tych chodzi w istocie o obliczanie mocy pewnych zbiorów, a więc o problemy natury kombinatorycznej. Powodem wprowadzenia pole­ cenia: oblicz prawdopodobieństwo — wydaje się być jedynie to, aby zadanie dotyczyło rachunku prawdopodobieństwa.

Tego typu zadania kształtują niewątpliwie obraz rachunku prawdopodo­ bieństwa jako teorii zajmującej się prawdopodobieństwami takich (raczej oso­ bliwych) wydarzeń. Żadne z tych zadań nie pozwala nawet domyślać się, kto i w jakiej sytuacji mógł sformułować tego rodzaju zadania, komu i do czego są potrzebne ich rozwiązania. Z drugiej strony niezupełnie wiadomo, co te za­ dania rozwijają, jaki jest ich udział w matematycznej aktywizacji ucznia, jaka może być ich rola w kształceniu matematycznym.

Niniejsze rozważania dotyczą m.in. prób odpowiedzi na pytania: — Co sprawdzamy i oceniamy proponując uczniowi tego typu zadania? — Co powinno być przedmiotem kontroli i oceny wyników nauczania rachunku prawdopodobieństwa w szkole?

2

Zadania z rachunku prawdopodobieństwa na eg­

zaminie wstępnym na I rok matematyki w kra­

kowskiej W S P

Kandydaci na I rok matematyki w krakowskiej WSP (rok akad. 1993/94) otrzymali wśród innych zadań pisemnych następujące zadanie 6:

1. Z urny o sześciu kulach ponumerowanych liczbami: 1, 2, 3, 4, 5, 6, losujemy jednocześnie dwie kule. Policz prawdopodobieństwo tego, że:

a) suma numerów wylosowanych kul będzie liczbą parzystą (zda­ rzenie A ),

2. W grze losuje się równocześnie dwie kule z powyższej urny. Przed losowaniem gracz skreśla na kuponie (rys. 1) jedną liczbę od 3 do 11. Jeśli suma numerów wylosowanych kul jest równa wcześniej skreślonej liczbie, to gracz zdobywa punkt. Czy taka gra przypomina Ci w czymś totolotka i dlaczego? Czym, według Ciebie, różni się ona od prawdziwego totolotka?

3. Postanowiłeś wziąć udział w tej grze. Jaką podejmiesz w tej sytuacji decyzję co do wypełniania kuponu?

3 4 5 6 7 8 9 10 11

Rys. 1

Zadanie nie jest typowe. Obok tradycyjnych rachunków (oblicz prawdopo­ dobieństwo) pojawia się w nim konieczność dostrzeżenia i uzasadnienia pew­ nych analogii i istotnych różnic, a także problem podejmowania decyzji.

Analizując zadanie 6 mówimy dalej o trzech jego częściach jako o trzech odrębnych zadaniach 1, 2 i 3.

Zadanie 1 — to tradycyjne zadanie na obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia związanego z doświadczeniem losowym o dającym się określić a priori modelu probabilistycznym. Doświadczenie to jest równoczesnym (a więc nie przebiegającym etapami) losowaniem dwu kul z pewnej urny. Jeśli wynik traktować jako zbiór dwu wylosowanych kul (kolejność nieistotna!), to prze­ strzeń D jest rodziną wszystkich dwuelementowych kombinacji zbioru L =

{ 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 } lub — co na jedno wychodzi — Ü jest zbiorem wszystkich odcinków łączących wierzchołki sześciokąta wypukłego o ponumerowanych wierzchołkach. Z oczywistych symetrii wynika, że każdy tak traktowany wy­ nik doświadczenia jest jednakowo prawdopodobny. Rys. 2 prezentuje w formie ikonicznej klasyczny model probabilistyczny wspomnianego losowania (por. Płocki 1992, s. 22-23).

Każdy odcinek reprezentuje inną dwuelementową kombinację zbioru sześciu kul, wszystkich wyników losowania jest zatem tyle, ile wspomnianych odcinków, a więc

tj. 15.

Zdarzenie B jest w tym podejściu do modelu zbiorem tych odcinków, które łączą wierzchołek „nieparzysty” z „parzystym” . Jest takich odcinków 3 x 3 , a więc 9 jest mocą zbioru B. Model jest klasyczny, a zatem P{ B) — ^ = |. Zdarzenie A jest w tym modelu zbiorem pozostałych odcinków. A \ B — to zdarzenia przeciwne, a więc P( A) = 1 — P( B) = 1 — | = |.

Jest to jedno z najprostszych, obejmujących także konstrukcję modelu pro­ babilistycznego, rozwiązań zadania 1. To zadanie miało, w zamierzeniach au­ torów, kontrolować sprawności rachunkowe (w tym sposób konstrukcji samego modelu), a także i język, którym opisywana jest konstrukcja owego modelu, wreszcie prowadzone w nim rachunki.

W zadaniu 2 chodziło o dostrzeganie tego, co z punktu widzenia mate­ matyki jest istotne, i o odrzucanie nieistotnych aspektów (schematyzacja jako faza procesu konstruowania matematycznego modelu realnej sytuacji). W obu grach przeprowadza się doświadczenie losowe. Zanim to jednak nastąpi, gracz staw ia na wynik tego doświadczenia (bądź — jeśli sytuację gracza opisywać w innym modelu — na pewne zdarzenie związane z tym doświadczeniem). W obu grach wygrana jest zmienną losową (zależną od wyniku lub od zdarzenia, na które gracz postawił).

Wygrana gracza jest w opisanej grze i w totolotku zmienną losową, je­ śli ją rozpatrywać w odpowiednim momencie, a mianowicie po wypełnieniu kuponu, ale przed ujawnieniem wyniku doświadczenia losowego przeprowa­ dzanego w grze. Zadania 2 i 3 ukazują rolę czasu jako ważnego parametru w stochastycznych analizach tej sytuacji. Proponowane zadania miały także na celu sprawdzenie, czy kandydat na studia matematyczne dostrzega ten fakt.

Obie gry są więc podobne, jeśli brać pod uwagę powyższą ich „struk­ turę” . Różni je możliwość wpływania na szanse wygrania. W totolotku nie ma racjonalnej strategii (wygrana grającego w totolotku jest zmienną lo­ sową, której rozkład nie zależy od tego, jakie liczby skreślił on na kuponie). W przypadku gry opisanej w zadaniu 2 taka racjonalna strategia istnieje. W kontekście procesu podejmowania decyzji liczby na kuponie z rys. 1 są tzw. sta n am i św iata z e w n ę trzn e g o ; wygrana— to tzw. k o rz y ś ci (Sadow­ ski, 1977). W zadaniu 3 należało dla każdej z tych liczb obliczyć prawdopo­ dobieństwo jej uzyskania w omawianym doświadczeniu losowym. Funkcja, o której tu mowa, nazywa się ro z k ła d e m p r a w d o p o d o b ie ń s tw a na z b io rz e

S = {3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,1 0 ,1 1 }; w teorii podejmowania decyzji nazywa się ją r o z ­ k ła d em sta n ó w św iata ze w n ę trzn e g o . Optymalną decyzją jest ta, której odpowiadają maksymalne średnie korzyści. Taki jest tok rozwiązywania zada­ nia 3 z punktu widzenia teorii podejmowania decyzji. Wygrana (k o r z y ś c i)

ona wartość 1. Skreślanie liczby najbardziej prawdopodobnej (jako stawianie na wynik najbardziej prawdopodobny) jest tu optymalną decyzją, bo decyzją, której odpowiadają maksymalne średnie korzyści.

Jeśli zagadnienie racjonalnej strategii rozpatrywać w klasycznym modelu probabilistycznym przedstawionym na rys. 2 (ten model traktujemy jako parę (ft,p ), gdzie p(io) — Y5 dla każdego u> G ft), to w opisanej w zadaniu 2 grze

gracz stawia na jedno ze zdarzeń Cji suma numerów wylosowanych kul będzie ró w n a j ( j = 3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,1 0 ,1 1 ). Należy zatem rozstrzygnąć, które z tych zdarzeń jest najbardziej prawdopodobne. Jest to jedno podejście do rozwiązy­ wania zadania 3. Ale zadanie 3 można rozwiązywać w nowym modelu pro­ babilistycznym (ft*,/»*), gdzie ft* = S, zaś p*(j) = P{ Cj ) dla j G S (p* jest tu wspomnianym wyżej rozkładem stanów świata zewnętrznego). Ten drugi model powstaje z modelu (ft,/>) poprzez klasyfikację przypadków jednakowo prawdopodobnych (Płocki, 1992, s. 23).

Dalsze rozważania poświęcone są pewnej (dydaktycznej) refleksji nad roz­ wiązaniami powyższych zadań z rachunku prawdopodobieństwa przez 224 kan­ dydatów na I rok matematyki w krakowskiej WSP. W szczególności chodzi o: — analizę i klasyfikację sposobów konstrukcji modelu probabilistycznego w zadaniu 1 (i ewentualnie w zadaniu 3),

— o ocenę doboru narzędzi tej konstrukcji i środków argumentacji, że model jest właściwy,

— o klasyfikację błędów, jakie towarzyszą drodze od doświadczenia do jego modelu, a więc o refleksję nad organizacją procesu matematyzacji,

— o kontrolę pewnych wiadomości, o ocenę dyspozycyjności (czy absolwent dostrzega w opisanej sytuacji zdarzenia przeciwne i czy potrafi zastosować od ­ powiednie twierdzenie do racjonalizacji rachunków).

Chodzi także o język, którym opisywane są prowadzone konstrukcje i rachunki, w tym także o rodzaje błędów natury terminologicznej.

63 mnie organizować (i jak to robi) wszystkie trzy fazy procesu stosowania ma­ tematyki, jakie przy tym dobiera środki matematyzacji i argumentacji oraz jakie popełnia błędy.

3

Analiza rozwiązania zadania na obliczanie praw­

dopodobieństwa zdarzenia

Zadanie 1 rozwiązało lub próbowało rozwiązać 190 osób, pozostałe 34 osoby (15% liczby wszystkich zdających) oddały puste kartki. Prace zawierające ja ­ kiekolwiek próby rozwiązywania zadania 1 analizowane były pod kątem spo­ sobu konstrukcji modelu probabilistycznego. W trzech pracach nie ma żad­ nych prób opisu tego modelu; w dwu podano jedynie gotową odpowiedź (i to błędną), w trzeciej pracy znajdują się niezrozumiale obliczenia.

Analiza pozostałych 1.37 prac pozwala wyróżnić dwie grupy:

p i e r w s z ą stanowią prace, w których do konstrukcji modelu wykorzystuje się drzewo (11 prac),

d r u g ą te prace, w których model konstruuje się metodami kombinatoryczno- mnogościowymi (176 prac).

Drzewo jako środek konstrukcji modelu

W pracach zaliczonych do pierwszej grupy równoczesne losowanie dwóch kul zastąpiono dwuetapowym losowaniem bez zwracania jednej kuli.

Należy podkreślić rozmaitość podejść do konstrukcji drzewa. Rys. 3 prezen­ tuje jedno podejście. Powtarza się ono w dziewięciu pracach. W trzech pracach z tak skonstruowanego drzewa odczytuje się prawdopodobieństwo zdarzenia A

64

4 bo

SOioou^e

q } £ Usoodoujuie

Jjzlą/^z£aa,\j&, Ą

ło Su-lo^e» ^

b e o b t i e

to Situno. i^oddc '

IC c/ zfo

65 Jeszcze inne rozwiązanie oparte na drzewie prezentuje rys. 5. Jest to jed­ nak rozwiązanie błędne (przy obliczaniu prawdopodobieństwa zdarzenia A nie uwzględniono faktu, że suma dwu liczb nieparzystych jest liczbą parzystą).

ICH ) io 9 O ió)CU±Ł._____cLi

c ...ö'& m &.&cQwe. V\AAs

.Cr .

i

c dMc

P

tu

düûi IjoC ou & C fiiQ vù ï ’

- £ - i î ' S ~ 4 0 5

^ ^ vam . i ^u/tlco ^U.UWX . . . . '

pwvxt^^eJk...fecsJb ... eXcu e ^

Jj^uc&e

I p a Æ i S ^ v \ .. < * % i n ' e c U r

i /Tvu! AoBtO&Df

W )^ (/îL j C*À£) ^

icr

66

Model konstruowany środkami nauki o zbiorach i kombinatoryki

W pracach, w których model konstruuje się metodami kombinatoryczno- mnogościowymi, przestrzeń traktowana jest bądź jako zbiór dwuwyrazo- wych wariacji bez powtórzeń zbioru L, bądź jako rodzina dwuelementowych kombinacji tego zbioru. W obydwu przypadkach zbiór Ü zapisywano w formie symbolicznej, albo poprzez wyszczególnienie wszystkich jego elementów. Daje się tu odczuć wyraźną nieporadność kandydatów w zapisie warunku należenia elementu do określanego zbioru Ü. Ilustruje to rys. 6.

A '

a

w SWń

Rys. 6

Same rachunki w każdym z tych przypadków prowadzone są w oparciu o twierdzenie klasyczne („definicję klasyczną” prawdopodobieństwa), a więc przez obliczanie m ocy przestrzeni D i zdarzeń A i B. W wielu pracach tej grupy do liczenia prawdopodobieństwa zdarzenia B zastosowano twierdzenie o prawdopodobieństwie zdarzeń przeciwnych.

W opisanej grupie aż 17 osób uznaje za przestrzeń Ù 36-elementowy zbiór wszystkich dwu wyrazowy cli wariacji zbioru L, co prowadzi do błędnej odpo­ wiedzi.

f _

IrT ’ K? $■ !L

Rys. 7

W czterech pracach z tej grupy z powodu błędów w rachunkach uzyskano większą, od 1 wartość prawdopodobieństwa zdarzenia.Oto cytaty z tych prac:

68

3>Ovi&:

~ AmiUcl. lAcunxA CÜUvit^^vA^O,

CA C uV «. « 1 * ^ * * ^ ,

Ä i ^ ' y UEX * W i-v ; & 9 M [U,(j {%<) [çiV l w u ; v ;

Rys. 8b

W omawianej grupie znajduje się także rozwiązanie zaprezentowane na rysunku 9.

W pracach, w których nie ma jawnego określenia zbioru fi, są jedynie obliczenia jego mocy i mocy zbioru A (lub zbiorów A i B), czasem błędne. Brak także jakiegokolwiek komentarza do tych rachunków. Niektórzy popełniają błędy w obliczaniu mocy zbioru A, bądź zbioru fi ( w trzech przypadkach moc zbioru fi to iloczyn 6 X 6). Przykład tego typu rozwiązania przedstawia rys. 10

.

Poniższa tabela prezentuje zestawienie wyników rozwiązania zadania 1. Drzewo Model kombinatoryczny Pozostałe

rozwiązania

Puste kartki Popr. Niepopr. Z konstrukcją P Bez konstrukcji f2

popr. niepopr. popr. niepopr.

9 1 101 24 44 8 3 34

Tab. 1 Zestawienie wyników rozwiązania zadania 1

\..f -ii on * * ••

...£ + 4 4

J I - - £ 2 , 3.

jż

/ «

4 r4xr4‘ !

pUßA -

- - ^

* t"**;

• 3 - f a . r . ^ r V

^>

- 3 ^ i»J= ^

O l * -1 Ji UiłJ, 3 0 d i*— C^A'

U

5 - c

?(wV= §

iL

Prawie w połowie rozwiązań zadania 1 nie uwzględniono faktu, że kule są losowane równocześnie, a nie etapami. Powód tego może tkwić w fakcie, że środki konstrukcji modelu dla równoczesnego losowania dwu kul (a więc w istocie pojęcia teorii mnogości i kombinatoryki) są trudniejsze w stosowa­ niu niż drzewo (jako pewien środek ideograficzny). Korzystanie z drzewa sto­ chastycznego w omawianych pracach potwierdza jednak tezę, że absolwenci szkoły średniej nie mają świadomości, do określania czego (prócz przestrzeni fi) służy drzewo. Chodzi o tzw. regułę mnożenia do określania prawdopodo­ bieństwa zdarzeń prostych (jednoelcmentowych podzbiorów przestrzeni fi, por. twierdzenie 2.1 w Szlenk, 1987, s. 31—32), tj. do określania rozkładu prawdo­ podobieństwa na przestrzeni fi jako pewnej funkcji, za pomocą której daje się określić prawdopodobieństwo (Płocki 1988, s. 67)

Należy tu zaznaczyć, że aktualne podręczniki (por. Anusiak, 1990; Walat, 1992) nie precyzują jasno roli drzewa stochastycznego przy rozwiązywaniu zadań na obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia.

4

Analiza rozwiązania zadań 2 i 3

Rozwiązanie zadania 2 uznane zostało za poprawne, jeśli wskazano i choć­ by częściowo uzasadniono podobieństwa obu gier (chodzi o istotne analogie, o których wspomniano w ustępie 2 niniejszej pracy) oraz wskazano istotne różnice pomiędzy nimi (jedna losowa, druga strategiczno-losowa). Zadanie 2 rozwiązały poprawnie tylko 42 osoby.

mi trochę totolotka” , lub też „ta gra jest podobna do totolotka” . Z dalszych wypowiedzi można jednak wnioskować, że to podobieństwo rozumiane jest tak, iż w obu grach najpierw typuje się liczby a następnie oczekuje na wynik losowania. W czterech pracach wyraźnie stwierdzono, że „ta gra w niczym nie przypomina mi totolotka” , a w ośmiu w ogóle nie wypowiedziano się w tej kwestii, stwierdzając np.:

Z powodu nieznajomości zasad gry w totolotka nie mogę odpowiedzieć na to pytanie.

Niestety nigdy nie grałam w totolotka.

Obawiam się, że nie będę mogła dać wyczerpującej odpowiedzi na te pytania, bo nie bardzo się orientuję w totolotku.

Oto cytaty z częściowo poprawnymi odpowiedziami:

W tej grze, podobnie jak w totolotku, o wygranej decyduje przypadek. Na pewno przypomina, bo wynik sukcesu lub porażki zależy ściśle od przypadku i nie jest możliwe „przepowiedzenie” wyniku.

Ta gra przypomina częściowo totolotka, bo gracz w obydwu grach nie wie, jakie będą wylosowane liczby i czy będą się zgadzały z tymi, które skreślił.

Ta gra przypomina mi totolotka w skreślaniu (typowaniu) liczb.

Gra przypomina totolotka — typujemy liczby, skreślamy na kuponie, a następnie losujemy kule.

Gra ta przypomina mi totolotka, ponieważ tutaj też skreśla się najpierw cyfry i potem czeka na wynik losowania.

Pozostałe odpowiedzi można uznać za poprawne. Podkreśla się w nich fakt, że w obydwu grach typuje się liczby przed losowaniem, a następnie przeprowa­ dza się losowanie i oczekuje na jego wynik, który zależy jedynie od przypadku, zaś wygrana zależy i od tego wyniku i od tego, na co się typowało.

Oto odpowiedź w pełni poprawna:

Gra ta przypomina totolotka, ponieważ tak jak i w totolotku skreślamy na kuponie — typujemy — pewne liczby, po czym maszyna cyfrowa przedstawia wylosowane przez siebie liczby. Jeżeli nasze propozycje będą zgodne z numarami wytypowanymi przez maszynę — wygrywamy.

Odpowiedzi Liczba odpowiedzi

Odpowiedź pełna 97

Odpowiedź niepełna 20

Brak odpowiedzi (nieznajomość totolotka) 8 Brak odpowiedzi (wymienianie tylko różnic) 22

W niczym nie przypomina 2

Tab. 2 Wskazanie podobieństw dwóch gier

Napytanie o różnice pomiędzy wspomnianymi grami poprawną odpowiedź podano w 49 pracach. W większości prac wskazywano na inne, mniej istotne, bądź z matematycznego punktu widzenia nieistotne różnice, jak np:

— w totolotku typujemy na liczby, w tej grze na ich sumę (34 prace z taką odpowiedzią),

— tu się skreśla jedną liczbę, a w totolotku 6 liczb (38 prac z taką odpowie­ dzią),

— w totolotku są mniejsze szanse wygranej niż w tej grze (48 prac), — tu jest tylko 11 liczb, a w totolotku 49,

— tu dostaje się punkt, a w totolotku pieniądze. Oto kilka cytatów:

Gra ta od totolotka różni się sposobem losowania kul.

Różni się tym, że grając w tę grę z zadania 6 nie stracę na pewno pienię­ dzy.

W tej grze nie ma żadnej szansy chociażby na częściową wygraną, bo skreślamy tylko jedną liczbę, natomiast w totolotku możemy uzyskać częściową wygraną poprzez skreślenie np. 3 prawidłowych liczb.

Wygrana w totolotku zależy również od ilości prawidłowo skreślonych numerów1.

Zasadniczą różnicą wydaje się ilość możliwości wygrania punktu, czy w przypadku totolotka wygranej pieniężnej, a mianowicie chodzi o możliwo­ ści „nagięcia” losu na moją korzyść. W tej grze wysyłając 9 różnych ku­ ponów mamy pewność wygranej, w przypadku totolotka, gdzie liczba ku­ ponów byłaby równa ilości kombinacji 6-elementowych ze zbioru 49-ele- mentowego, byłaby to nieopłacalna inwestycja.

Zadanie 2 poprawnie rozwiązały 42 osoby. Ich odpowiedź zawierała za­ równo uzasadnienie podobieństwa tych dwu gier, jak i wskazanie istotnych różnic.

Oto kilka odpowiedzi na pytanie o różnice:

W totolotku prawdopodobieństwo, że wypadnie liczba np. 25 lub np. 34 jest takie samo, natomiast w tej grze prawdopodobieństwo, że wypadnie

liczba 3, jest mniejsze niż prawdopodobieństwo, że wypadnie liczba 7. Różni się od prawdziwego totolotka tym, że w totolotku prawdopodo­ bieństwo wylosowania (czy też trafienia) jest jednakowe, a tu nie. Wytypowanie jakiejś liczby w totolotku jest trudniejsze, bo dla każdej z nich jest jednakowo prawdopodobne wylosowanie tej liczby. W naszej grze wytypowanie jest łatwiejsze, gdyż suma kilku liczb jest taka sama, np. 1 + 4 = 5 i 2 + 3 = 5.

Gra ta nie przypomina mi totolotka, gdyż w totolotku prawdopodobień­ stwo zgadnięcia poszczególnej liczby jest jednakowe, natomiast w tej grze prawdopodobieństwo tego, że będzie liczba 7 jest większe od prawdopo­ dobieństwa np. liczby 3.

Ta gra przypomina totolotka, bowiem totolotek jest również grą losową, ponadto w totolotku najpierw skreśla się wybrane przez siebie liczby na kuponie, a potem oczekuje losowania liczb. Ta gra różni się od prawdzi­ wego totolotka tym, że tutaj skreśla się 1 liczbę spośród liczb od 3 do 11, a nie jak w totolotku. Ponadto w totolotku nie sumuje się numerów wy­ losowanych kul, ani gracz nie zdobywa punktu. Totolotek, według mnie, jest grą zbiorową. Uczestniczyć w niej może bardzo dużo graczy. Nato­ miast gra zaproponowana tutaj jest świetną zabawą, myślę dla grona przyjaciół, rodziny.

W rozwiązaniach zadania 3 można wyróżnić 6 strategii.

1. Kandydaci konstruowali nowy model probabilistyczny, traktując teraz wy­ nik losowania dwu kul jako sumę ich numerów. Tę koncepcję dobrze oddaje cytat z rys. Tl. Chodzi tu o wspomnianą już klasyfikację przypadków jedna­ kowo prawdopodobnych.

M M A P 74 5

{ (

U ,

)J

_{= fr}

t M (

,

) ł

=

i

W kilku przypadkach wspomnianą klasyfikację przypadków jednakowo pra­ wdopodobnych (prowadzącą do prawdopodobieństw uzyskiwania sum, na któ­ re można w grze stawiać, tj. do określenia rozkładu stanów świata zewnętrz­ nego) odnoszono do przestrzeni = L x L, tj. do zbioru wyników dwukrotnego losowania ze zwracaniem kuli.

2. W wielu pracach wyczuwa się, że kandydat zdaje sobie sprawę z tego, iż liczby, na które można stawiać w grze, nie są jednakowo prawdopodobne. Brak jednak jakichkolwiek prób uzasadniania tego faktu. W tych pracach wskazano najczęściej jedną (w kilku przypadkach dwie) z liczb: 5, 6, 8 i 9 jako także godne typowania, uzasadniając decyzję tym, że dla każdej z tych liczb są dwa wyniki (losowania kul), które prowadzą do tej sumy. W kilku pracach podkre­ ślono, że w grze nie warto stawiać na 3 i 11, bo tylko jeden wynik prowadzi do ich uzyskania.

3. W 28 pracach znajdujemy próby wykorzystania rozwiązania zadania 1 do sformułowania odpowiedzi na pytanie postawione w zadaniu 3. Oto typowe odpowiedzi tej grupy:

Stawiam na liczbę nieparzystą, bo z zadania 1 wynika, że prawdopodo­ bieństwo wylosowania liczby nieparzystej jest większe od prawdopodo­ bieństwa wylosowania liczby parzystej.

8

W

) (?,

)$

U?;

) M

to

IM ) i

Większe prawdopodobieństwo jest że suma cyfr wylosowanych dwóch kul będzie nieparzysta (yb > y^), w związku z tym moim typem będzie dowolna liczba spośród nieparzystych.

Skreślę liczbę nieparzystą, gdyż jej prawdopodobieństwo wylosowania jest większe niż liczby parzystej.

W kilku pracach po stwierdzeniu, że lepiej opłaca się stawiać na liczbę nieparzystą, dodano równocześnie, że jednak spośród liczb nieparzystych liczby 5, 7 i 9 wydają się lepsze do typowania. Oto podobny wniosek:

W kuponie skreśliłabym liczbę nieparzystą, ponieważ — jak wcześniej obliczyłam — prawdopodobieństwo wylosowania sumy nieparzystej jest większe i byłaby to suma 7 - ponieważ jest to suma najczęściej powta­ rzająca się w sumach nieparzystych.

W dwóch pracach podano, że „w grze lepiej stawiać na liczbę parzystą” . Ta odpowiedź pozostaje w sprzeczności z poprawnym (w tych pracach) roz­ wiązaniem zadania 1, a więc jest prawdopodobnie rezultatem pomyłki.

Ta spora część prac ujawnia, że prawdopodobnie źle został zrozumiany regulamin gry. Jeśli mieć na uwadze stawianie na zdarzenia, to regulamin gry zezwala jedynie stawiać na opisane w ustępie 2 zdarzenia Cj związane z losowaniem dwu kul z urny, nie zaś na dowolne zdarzenia związane z tym doświadczeniem (a więc na rozpatrywane w zadaniu 1 zdarzenia A i B).

W badaniach prowadzonych przez A. Tversky’ego i D. Kahnemana nad psychologicznym podłożeni błędnych zachowań, błędnych ocen i błędnych in­ tuicji (głównie natury kombinatorycznej i stochastycznej) wyróżniono pewne reguły heurystyczne jako strategie, którymi posługujemy się we wnioskowa­ niach (Tversky, 1973). Wśród nich wymienia się regułę zakotwiczenia (ancho­ ring) jako strategię C, której istotą jest tendencja do wiązania ze sobą dwu kolejno po sobie otrzymanych informacji (por. Płocki 1992, s. 413-421). Za­ skakujące powiązanie rozwiązania zadania 3 z wynikiem uzyskanym w zadaniu 1 zdaje się mieć także wytłumaczenie na gruncie tych reguł heurystycznych (i być zarazem ilustracją reguły zakotwiczenia).

4. Wśród rozwiązań można wyróżnić i takie, w których źle zinterpretowano regulamin gry (wolno stawiać tylko na jedną liczbę), bądź w których rozstrzyga się nie sformułowany w zadaniu problem powiększania wygranej, bądź problem pewności jej uzyskania. Ilustrują to poniższe cytaty:

76 M M A P Wypełnię 9 kuponów, na każdym skreślę inną liczbę i będę pewna wy­ granej.

W tej grze wysyłając 9 różnych kuponów mamy pewność wygranej.

5. W kilku pracach zaproponowano rozmaite, godne uwagi, choć z punktu widzenia teorii podejmowania decyzji pozbawione racji, strategie związane z racjonalnym udziałem w grze. Oto kilka takich decyzji:

Rzuciłabym dwiema kostkami i zdecydowałabym się na taką cyfrę, jaką byłaby suma oczek na obydwu kostkach. Gdyby wypadły dwie jedynki lub dwie szóstki, powtórzyłabym doświadczenie.

Decyduję się na cyfrę 5, bo do tej pory była ona dla mnie „szczęśliwą” cyfrą.

6. Do jeszcze innej grupy zaliczone zostały prace, w których jako kryterium optymalnej decyzji podano wartość oczekiwaną. W czterech pracach znale­ ziono wartość oczekiwaną sumy numerów wylosowanych kul. To, że jest ona równa 7, wynika natychmiast z symetrii znalezionego w trakcie rozwiązania zadania 3 rozkładu prawdopodobieństwa na zbiorze {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. Nikt z autorów wspomnianej metody nie wykorzystuje tego faktu, co p o­ twierdza, że szkoła raczej kładzie nacisk na rachunki, a nie na odkrywanie sposobów ich racjonalizacji. W żadnej z tych prac nie uzasadniano, dlaczego wykorzystano tu wartość oczekiwaną jako narzędzie wyłaniania optymalnej decyzji.

Poniższa tabela zawiera zestawienie zbiorcze rozwiązań zadania 3.

Odpowiedź Liczba odpowiedzi

7 z pełnym uzasadnieniem 50

7 z częściowym uzasadnieniem 46*

Nieparzystą 30**

Losowo wybraną 9

9 kuponów i 9 różnych skreśleń 2 * jedna osoba wskazała 8, ale był to wynik pomyłki.

** dwie osoby wskazały liczbę parzystą, ale był to wynik ewidentnej pomyłki przy korzysta­ niu z wyniku zadania 1.

Tab. 3 Rozwiązanie zadania 3

ZADANIA Ilość osób która podjęła próbę rozwiązania zadań 1 190 1 i 3 154 1 i 2 141 1, 2 i 3 134

Tab. 4 Rozwiązania zadań 1, 2, 3

5

Błędy w opisach i rachunkach

Opisywanie w poprawnym języku obiektów i faktów natury stochastycznej, przekład na język matematyki powstałych problemów nie należą do łatwych. Język, którym opisuje się doświadczenia losowe i ich matematyczną obróbkę (w tym również konstrukcję modelu) jest specyficzny, bo szczególna jest natura tych obiektów oraz towarzyszących im stosunków ilościowych i jakościowych. Jest ona zasadniczo różna od natury obiektów i relacji, które poddawane są matematyzacji np. na lekcjach geometrii.

W stochastycznych analizach istotną rolę odgrywają opisy specyficznych czynności (losowanie, rzucanie, mieszanie, dzielenie, powtarzanie pewnych czynności w takich samych lub zmienianych warunkach — losowanie kuli bez lub ze zwracaniem, schemat Bernoullego, oczekiwanie na pierwszy sukces, gra planszowa, losowanie próbki). Wiele z tych doświadczeń to procesy stocha­ styczne, w opisie których istotnym parametrem jest czas. W procesie decyzyj­ nym analizowane są korzyści w momencie przed ukonstytuowaniem się stanu świata zewnętrznego ale po podjęciu jednej z dopuszczalnych decyzji. W tym momencie korzyść jest bowiem zmienną losową. Pytanie o prawdopodobień­ stwo ma w istocie sens, jeśli odnosimy je do czasu przyszłego (w niektórych zadaniach polecenie „policz prawdopodobieństwo” mylnie odnoszone jest do tego, co się już wydarzyło). Szkolne ujęcia stochastyki na ogół pomijają ten fakt, skupiając uwagę ucznia głównie na rachunkach. Wspomniane wyżej uwagi dotyczą także tego, co stanowi metodologię stochastyki.

78

A — zdarzenie elementarne polegające na tym, że suma numerów wylo­ sowanych kul jest liczbą parzystą.

An — zbiór wszystkich możliwych zdarzeń (zbiór wariacji clwuelemento- wych bez powtórzeń ze zbioru sześcioelementowego).

71,4 — liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A .

Zdarzeniu A sprzyjają następujące doświadczenia losowe.

Wszystkie zdarzenia ze zbioru fi są jednakowo prawdopodobne — Roz­ pisuję przestrzeń zdarzeń dla zdarzenia A .

# f i — liczba wszystkich zdarzeń.

fi = zbiór zdarzeń elementarnych polegających na tym, że z urny o sześciu kulach losujemy jednocześnie dwie kule.

Gdy skreśli 3, to zdarzeniami sprzyjającymi wygranej są (1 ,2) i (2, 1). Prawdopodobieństwo, że suma 2 wylosowanych kul będzie równa 3 jest równe yjr, ponieważ takich zdarzeń w fi jest tylko 1 na 15.

Cytaty pochodzą z nielicznych prac, w których w ogóle komentuje się wy­ pisywane wyrażenia (litery, liczby i symbole działań). W większości prac nie są opisywane szczegółowo prowadzone rachunki (w zasadzie wypisane są je ­ dynie zbiory, ich moce i działania na tych mocach oraz odpowiedź). Słowne opisy i komentarze są bardzo oszczędne. Można stąd wnosić, że na istotny komentarz, który tłumaczy tok rozumowania i który pozwalałby kontrolować matematyczny język ucznia, nie zwraca się w szkole uwagi przy ocenie wypra- cowań pisemnych. W miarę szczegółowy komentarz do rozwiązywania zadania 1 znalazł się zaledwie w 15 pracach (to 8% ogółu prac z rozwiązanym zadaniem

Warto byłoby dociec, co mieli na myśli autorzy poniższych cytatów, jak — w bezpośredniej rozmowie — wyjaśniliby swe intencje.

Totolotek jest sześcioelementową wariacją bez powtórzeń w zbiorze 4 2 - elementowym.

Z punktu widzenia kombinatoryki jest to kombinacja dwuelementowa spośród 6 elementów2. Totolotek jest również kombinacją (k-elementową spośród danych n elementów).

Skreślenie to nasze prawdopodobieństwo, a liczby losowane to prawdo­ podobieństwo, które nie jest od nas zależne.

W rozwiązaniach zadań 1 i 3 wystąpiły także liczne błędy rachunkowe, związane ze złym skracaniem ułamków, z niewłaściwym obliczaniem mocy zbiorów.

W dwu pracach przestrzeń fi rozpatrywana jest jako zbiór o 15 elemen­ tach, natomiast zdarzenia A i B jako podzbiory przestrzeni 30-elementowej, w jednej pracy na odwrót. We wspomnianych rozwiązaniach nie konstruuje się zbioru fi i nie określa się zdarzeń A i B jako podzbiorów, a jedynie znajduje się moce tych zbiorów.

W kilku pracach z powodu błędów rachunkowych suma prawdopodobień­ stw zdarzeń A i B jest różna od 1. W 4 pracach uzyskano większe od 1 wartości prawdopodobieństwa zdarzenia. Wymowny musi tu być brak jakiejkolwiek re­ fleksji nad takim wynikiem.

6

Wnioski końcowe

Analiza zadań z rachunku prawdopodobieństwa proponowanych od szeregu lat na egzaminach maturalnych i wstępnych na wyższe uczelnie w Polsce skłania do wielu refleksji. Z treści i formy tych zadań wynika, że główny nacisk przy kontroli wiedzy położony jest na sprawdzanie technik rachunkowych opartych na wzorach kombinatorycznych z pominięciem bazy intuicyjnej pojęć proba­ bilistycznych oraz ich związku z działalnością człowieka. We wspomnianych zadaniach pojęcie prawdopodobieństwa jest więc oderwane od jego empirycz­ nego rodowodu, od jego natury i jego zastosowań. We wspomnianych zada­ niach pomijane są tym samym wnioskowania ukazujące istotę stochastycznego aspektu matematyki. Można przypuszczać, że nauczanie rachunku prawdopo­ dobieństwa zostaje ukierunkowane na tę „filozofię” zadań (bo z rozwiązywania takich zadań uczeń bywa później rozliczany)3. Forma i problematyka zadań probabilistycznych w aktualnych podręcznikach dla szkół średnich nie daje podstaw do kwestionowania tego przypuszczenia.

2W tej wypowiedzi chodzi o grę z zadania 2.

Wyniki przeprowadzonej analizy rozwiązań zadania 6 zaproponowanego na omawianym tu egzaminie wstępnym pozwalają na sformułowanie poniższych konkluzji, w tym także konkluzji potwierdzających powyższe uwagi.

Wielu kandydatów otwarcie wyznaje, iż w ogóle nie zna reguł gry w toto­ lotka. Z formy rozwiązywania zadania 6 wynika, że pozostali także o totolotku raczej na lekcji matematyki nie słyszeli. Ten fakt nie może nie skłaniać do refleksji nad tym, jak uczymy dziś rachunku prawdopodobieństwa w szkole. Gry losowe (w tym także totolotek i inne tego typu gry znane młodzieży z licznych salonów gier), różne loterie fantowe i zakłady — to naturalny „su­ rowiec” do działalności matematycznej, efektem której może być odkrywanie zarówno pojęć, jak i metod stochastycznych. Gry, o których tu mowa, mogą być źródłem autentycznych zadań z rachunku prawdopodobieństwa (Płocki, 1992). Gra strategiczno-losowa jest prostą ilustracją procesu podejmowania decyzji (jej model jest w istocie modelem zachowania człowieka jako rozumnej istoty, która stale racjonalizuje swoje postępowanie — (por. Berne, 1987)). Mówiąc o szkolnym rachunku prawdopodobieństwa jako o nowym i ważnym elemencie kształcenia matematycznego i ogólnego nie powinno się o tych fak­ tach zapominać.

Niniejsze rozważania są tym samym głosem w dyskusji nad formą i pro­ blematyką szkolnych zadań z rachunku prawdopodobieństwa, nad ich rolą w matematycznej aktywizacji ucznia oraz nad ich miejscem w kształceniu mate­ matycznym i ogólnym.

Podsumowując rozwiązanie analizowanego tu zadania 6 można stwierdzić, że praktycznie wszystkie osoby rozwiązywały zadanie 1 i 3 w klasycznym m o­ delu probabilistycznym (bez podania argumentów przemawiających za wybo­ rem takiego modelu). Prawie połowa z nich zamiast równoczesnego losowania dwu kid rozpatrywała dwukrotne losowanie po jednej kuli (także i ze zwra­ caniem), nie komentując wyboru takiego właśnie schematu losowego. Przy rozwiązywaniu zadań 2 i 3 nie dostrzegano na ogół ich związku z zadaniem 1. Około 10% osób, które rozwiązały zadanie 1, nie podjęło w ogóle prób rozwi­ ązywania zadań 2 i 3.

Na podstawie przeanalizowanych rozwiązań zadania 6 można przypusz­ czać, że absolwenci szkoły średniej nie mają świadomości, iż:

— każde zadanie z rachunku prawdopodobieństwa rozwiązuje się w odpowied­ nim modelu probabilistycznym, na który składa się nie tylko zbiór możliwych wyników danego doświadczenia losowego (ten zbiór jest na ogół w pracach konstruowany), ale również funkcja, która każdemu wynikowi przypisuje jego prawdopodobieństwo (tej funkcji się w pracach nie określa),

— fakt ten (równe prawdopodobieństwo wszystkich wyników) wynika z pew­ nych symetrii owych sytuacji.

To przypuszczenie potwierdza powszechny brak (w analizowanych pracach) refleksji nad przyjmowanym bezkrytycznie postulatem, że każdy wynik jest jednakowo prawdopodobny. Sam zbiór wyników konstruowany jest w pracach w zasadzie jedynie po to, by znaleźć jego moc i moc zdarzenia.

Analizowane prace uświadamiają, pewien paradoks. Przy rozwiązywaniu zadań z rachunku prawdopodobieństwa w szkole kładzie się przede wszystkim nacisk na formalne rachunki (co potwierdzają przykłady zadań rozwiązywa­ nych w podręcznikach i zbiorach zadań adresowanych do ucznia; w zadaniach wyraźnie zaniedbuje się to, co — poza rachunkami — stanowi matematykę). Mimo to w owych rachunkach (a więc przy rozwiązywaniu zadania 1) pope­ łniane są zasadnicze błędy. Raczej pozytywnie trzeba natomiast ocenić sposób atakowania i rozwiązywania zadań 2 i 3, choć tego typu zadań szkolny ra­ chunek prawdopodobieństwa nie obejmuje (nie ma takich zadań w aktualnych podręcznikach, brak takich zadań w zbiorach zadań oraz w zestawach zadań maturalnych i egzaminacyjnych). Podkreślić więc należy raczej zadowalającą organizację fazy interpretacji i doboru środków argumentacji, że dana decyzja jest optymalna, gorzej natomiast wypada w ocenie obliczanie prawdopodo­ bieństwa, a więc to, co stanowi wyłączną treść typowych szkolnych zadań probabilistycznych.

W pewnym sensie udane próby organizacji fazy interpretacji w analizowa­ nych pracach dają podstawy aby sądzić, że ten etap procesu stosowania mate­ matyki (jako etap rozwiązywania autentycznych zadań stochastycznych) jest w zasięgu możliwości ucznia. Można przypuszczać, że gdyby zmienić proble­ matykę szkolnych zadań z rachunku prawdopodobieństwa (czyniąc ją bliższą praktyki), to fazę matematyzacji, a także fazę rachunków, uczniowie organi­ zowaliby sprawniej i poprawniej.

Spotykając tradycyjne zadanie na obliczanie prawdopodobieństwa uczeń od razu rachuje, nie analizując wcześniej sytuacji, która by te rachunki inspi­ rowała i motywowała. Jedną z konkluzji omawianych tu badań jest więc teza, że przez uwzględnienie w nauczaniu rachunku prawdopodobieństwa wspomnia­ nego metodologicznego aspektu zadań stochastycznych (chodzi o zastosowania prawdopodobieństwa do specyficznych wnioskowań) te formalne rachunki, na które dziś zwraca się jedynie uwagę (i z którymi uczniowie nie bardzo sobie radzą) byłyby prowadzone poprawniej, bo z pełniejszą świadomością natury sytuacji, do której one się odnoszą, z pełnym odczuciem, co i po co obliczamy.

Warte głębszej analizy jest to,

— czy lekcje matematyki uczą odróżniać fakty istotne od drugorzędnych, nie­ istotnych z matematycznego punktu widzenia.

Przedmiotem kontroli i oceny wiedzy z rachunku prawdopodobieństwa w szkole powinny być nie tylko techniki rachunkowe, ale przede wszystkim zdol­ ność wykorzystywania rezultatów owych rachunków do specyficznych wniosko­ wań. Przedmiotem tej kontroli może i powinna być także zdolność formułowa­ nia racjonalnych problemów na tle pozamatematycznych sytuacji i ich prze­ kładu na język matematyki, zdolność organizowania procesu matematyzacji oraz fazy interpretacji. Chodzi tu o ocenę nie tylko sprawności rachunkowych, ale i pewnej kultury ogólnomatematycznej, w tym przede wszystkim kultury stochastycznej. Tradycyjne, spopularyzowane do tej pory wśród uczniów i na­ uczycieli zadania z rachunku prawdopodobieństwa nie spełniają tej roli. Po­ wody tego tkwią przede wszystkim w formie i problematyce tych zadań.

Kontrola sprawności rachunkowych (i to związanych z ideami kombina- torycznymi, bo sprowadzona do zadań na obliczanie prawdopodobieństwa w modelach klasycznych) nie może być kontrolą istotnych kompetencji w zakresie stochastyki. Tej kontroli powinny być poddawane nie tylko zdolności do obli­ czania prawdopodobieństwa takich czy innych zdarzeń, ale przede wszystkim pewne zdolności w zakresie formułowania wniosków dotyczących prognozowa­ nia tzw. stanów świata zewnętrznego, podejmowania decyzji, wyodrębniania racjonalnych strategii, weryfikacji pewnych hipotez metodami matematycz­ nymi (chodzi np. o rozstrzyganie na gruncie rachunku prawdopodobieństwa, czy dany fakt jest rezultatem wiedzy, talentu i innych nielosowych czynników, czy też przypadku). Stochastyczna kultura człowieka — a jej kształcenie po­ winno być przede wszystkim celem nauczania rachunku prawdopodobieństwa w szkole — przejawia się nie tyle w możliwościach obliczania prawdopodo­ bieństwa takich czy innych zdarzeń, lecz w zdolnościach do wykorzystywania owych prawdopodobieństw przy formułowaniu poprawnych wniosków natury stochastycznej, w tym także wniosków dotyczących racjonalizacji postępowa­ nia w sytuacjach, gdy mamy do czynienia z niepewnościami co do stanów świata zewnętrznego (choćby np. w grze strategic.zno-losowej).

Literatura

A n u s i a k J.: 1990, Matematyka — Podręcznik uzupełniający dla klasy III i IV liceum ogóhiokształcąccgo. Projil matematyno-fizyczny (wydanie drugie),

Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszwa.

B e l l A.: 1993, Principles for the Design of Teaching, Educational Studies in Mathematics, 24, 1, 5-35.

C e g i e ł k a K. , P r z y j e m s k i J., S z y m a ń s k i K.: 1992,

Matematyka — Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego i technikum klasa IV i V (wydanie trzecie), Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa. C i o s e k M.: 1992, Błędy popełniane przez uczących się matematyki i ich hipotetyczne przyczyny, Dydaktyka Matematyki 13, 65-161.

D i n e r I.J., i in.: 1975, Rachunek prawdopodobieństwa w zadaniach i problemach, PWN, Warszawa.

K r y g o w s k a Z.: 1986, Elementy aktywności matematycznej, które powinny odgrywać znaczącą rolę w matematyce dla wszystkich, Dydaktyka Matematyki 6, 25-41.

P l u c i ń s k a A. , P l u c i ń s k i E.: 1978 Zadania z rachunku praw­ dopodobieństwa i statystyki matematycznej dla studentów politechnik, PWN, Warszawa.

P ł o c k i A.: 1992, Propedeutyka rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej dla nauczycieli, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. P ł o c k i A.: 1988, Rachunek prawdopodobieństwa dla szkoły średniej (wy­ danie piąte), Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa.

S a d o w s k i W .: 1977, Decyzje i prognozy, Państwowe Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa.

S k e m p R.R.: 1979, Intelligence, Learning, and Action, John Wiley h Sons, Chichester, New York, Brisbane, Toronto.

S z 1 e n k W .: 1987, Rachunek prawdopodobieństwa dla klasy IV liceeum ogólnokształcącego i technikum (wydanie osiemnste), Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa.

T r e l i ń s k i G.: 1982, Stosowanie matematyki jako problem dydaktyki matematyki, Wydawnictwo Naukowe WSP, Kraków.

T v e r s k y A., K a h n e m a n D.: 1973, Availability: A heuristic for judging frequency and probability, Cognitive Psychology 5, 207-223.

W a l a t A. , Z a w a d o w s k i W .: 1992, Matematyka IV — Pod­ ręcznik dla liceum ogólnokształcącego i liceum zawodowego (wydanie drugie),

Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa.

W a l t e r II.: 1983, Heuristische Strategien und Fehlvorstellungen in sto­ chastischen Situationen, Der Matheinatikunterricht, 1, 11-23.

The assessment of students’ stochastic competence

as a new problem in mathematics didactics

S u m m a r y

First the content and format is discussed of problems used currently to assess and grade students’ competence in the probability theory. Those problems merely cover the calculation phase of a solution, leaving aside the reasonings characteristic for prob­ ability and thus neglecting the domain’s methodology. Then results of an analysis of solving strategies of a non-standard probability problem are presented; that problem was solved by candidates to the Cracow Pedagogical University during the entrance examination.