( )
( )
( )
( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x
t
t
dt
b
x
( )
t
t
dW
( )
t
a
dx
t
dW
dt
t
dt
t
t
t
x
b
dt
t
t
x
a
dx
t
t
t
t
t
t
t
x
b
t
t
x
a
dt
dx
,
,
,
,
,
,
,
,
+
=
+
=
−
=
+
=
Stochastyczne równania różniczkowe
Równanie Langevina
Równanie Langevina formalnie można przepisać w postaci:
proces Wienera
( ) ( )
=
+
( )
+
( )
t t t tdW
t
t
x
b
dt
t
t
x
a
t
x
t
x
0 0,
,
0 Formalne rozwiązanieStochastyczne równanie różniczkowe
całka stochastyczna Jednoznaczne rozwiązanie równania stochastycznego istnieje, jeżeli
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2( )
2( )
2 0 01
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
x
K
t
x
b
t
x
a
t
t
t
x
K
y
x
K
t
y
b
t
x
b
t
y
a
t
x
a
t
t
t
y
x
K
+
+
−
−
+
−
warunek Lipschitzaproces o przyrostach niezależnych
Całka stochastyczna nie jest zwykłą całką, tylko zmienną losową. Obliczania całek stochastycznych będziemy się uczyć na tym wykładzie.
Całka stochastyczna (w sensie Ito)
Zbieżność ciągu zmiennych losowych w sensie średniokwadratowym
( )
( )
(
)
lim
( ) ( )
( )
0
lim
lim
,
2 2=
−
=
−
=
−
=
=
→ → →
X
X
p
d
X
X
X
X
ms
X
X
X
X
n n n n n n n nprzestrzeń zdarzeń losowych
zmienne losowe
Definicja ta jest równoważna następującej granicy ciągu sum cząstkowych
( ) ( )
( ) ( )
( )
−
−
=
= − − → n i i i i n t tt
W
t
W
t
G
ms
t
dW
t
G
1 1 1lim
0( ) ( )
( )
lim
( ) ( )
0
2 1 1 1 0=
−
−
→ = − − t t n n n i i i i nG
t
W
t
W
t
S
G
t
dW
t
S
( )
( )
t
i−1W
( )
t
i−
W
( )
t
i−1G
t
G
W powyższych definicjachfunkcja spełniająca zasadę przyczynowości nie zależy od
Całka stochastyczna jest zmienną losową, będącą granicą pewnego ciągu zmiennych losowych. Dla konkretnej realizacji procesu Wienera całkę stochastyczną można obliczyć, otrzymując konkretną liczbę. Jednak dla innej realizacji procesu Wienera liczba ta w
ogólności będzie inna. Całka stochastyczna jako zmienna losowa podlega więc pewnemu rozkładowi prawdopodobieństwa.
Jeden z rodzajów zbieżności ciągu zmiennych losowych, znany z 2. roku z wykładu Probabilistyka
( )
( )
( )
( )
b
( )
x
t
p
x
p
t
x
a
x
t
p
t
dW
t
t
x
b
dt
t
t
x
a
dx
,
2
1
,
,
,
2 2 2
+
−
=
+
=
Równoważność równania stochastycznego Ito i równania Fokkera-Plancka
Równanie stochastyczne w sensie Ito jest równoważne równaniu Fokkera-Plancka
W przypadku
wielowymiarowym
Równanie Kramersa (cząstka Browna w potencjale, w jednym wymiarze)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
p
p
(
x
v
t
)
v
p
m
T
k
p
v
x
V
v
m
vp
x
t
p
dW
m
T
k
dt
v
x
V
m
dv
vdt
dx
t
m
T
k
v
m
m
x
V
dt
dv
v
dt
dx
t
T
k
dt
dx
x
V
dt
x
d
m
B B B B,
,
,
1
2
1
2
2
2 2 2 2 2=
+
+
+
−
=
+
+
−
=
=
+
−
−
=
=
+
−
−
=
Równanie Langevina dla jednowymiarowej cząstki Browna jest równoważne równaniuFokkera-Plancka zw. równaniem Kramersa Przykład
( )
(
x
y
z
v
v
v
t
)
p
p
p
v
v
m
T
k
v
x
x
V
v
m
v
x
t
p
z y x i j i j B i i i i,
,
,
,
,
,
,
1
3 1 3 1 2 2=
+
+
−
+
−
=
= =
Podobnie, równanie Langevina dla cząstki Browna w trzech wymiarach jest równoważne równaniu równaniu Kramersa w postaci
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2 2 22
1
2
,
2
1
,
,
2
2
2
1
0
0
0
,
x
p
D
kxp
x
t
p
T
k
D
x
k
x
V
t
x
p
p
x
p
T
k
p
x
V
x
t
p
dW
T
k
dt
x
V
dx
t
T
k
x
V
dt
dx
v
dt
dx
t
T
k
x
V
v
dt
dv
const
v
dt
dv
m
B B B B B
+
=
=
=
=
+
=
+
−
=
+
−
=
=
−
−
=
=
→
→
→
→
Równanie Smoluchowskiego (przetłumiona cząstka Browna w potencjale, w jednym wymiarze)
Przyjmujemy, że prędkość cząstki szybko osiąga wartość stacjonarną, i traktujemy ją jako stałą
Równanie Langevina dla Brownowskiej cząstki
przetłumionej jest równoważn równaniu Fokkera-Plancka zw.
równaniem Smoluchowskiego
W szczególności dla cząstki w potencjale oscylatora harmonicznego równanie Smoluchowskiego ma postać jak dla procesu Ornsteina-Uhlenbecka
związek Einsteina
( ) ( )
( )
( ) (
)
( )
( ) ( )
(
)
( )
( )
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
( )
(
)
( )
( ) (
)
= = − → = → → − − − − − − − − − = − − − = − = − = = = = − − = − = − → − − − − = − − = − → = − − − − − − + − = = − − − − + − = = − + − − − − + − = = − + − − − − − + − = = − − − = − − − − = − − + = = − = − − − − = n i n i i i n n i i n n i i j j j i i i i i i j i j j i i i i i j i j j i i i i i n i i i j i j j i i n i i i n i i i n i i n i i n i i n i i i i n i i i n n i i i n t t i i i i i t t t t t W t W W W ms t t W ms t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t W W t t W W W W W W t t W W t t W W t W t W W W W W W W S W W ms t dW t W W W W W t W t t t W t W t dW t W 1 0 2 0 2 1 1 0 1 2 2 0 1 0 1 2 1 2 0 , 1 1 2 1 2 0 2 0 1 1 2 1 2 0 1 2 1 0 2 1 2 1 1 4 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 2 0 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 0 2 0 2 2 1 lim lim 0 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 lim , 2 1 0 0Przykład obliczania całki stochastycznej w sensie Ito
Ważny wynik:
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
( )
)
( )
( ) (
) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
− − + = − + = = − + = = = = − → = = − − + − = = − − + − = = − = − = = − + + − − = − + − → − → → − − − − − − − − − → t t n n n t t n n n n r r r n n n n n i i i n i i i n n i i i j i i i j j j i i i i i j i i i j j j i i i i i i i i i t t i i i n t t t d t W n t W t W n t dW t W dt t W n n t dW t nW t dW t W r n t W t dW t W t W d dt t dW n t dW t G W G ms t G t W t W G G t W G t W t W G G t W G t W G t d t G W G ms t dW t G dt t dW 0 0 0 0 1 1 0 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 0 ; 1 , 0 lim lim 0 2 2 2 limPodobnie można wykazać, że Całkowanie wielomianów
Wartość średnia całki
( ) ( )
0, bo 0 1 1 0 = = =
− − i i i i i i t t W G W G t dW t G( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
− − − − − − − − − − − − = + = = + = = = j i i i i i i j j i i i i i j i i j j i i i i i j j j i i i t t t t t t t H G W W H G W H G W W H G W H G W H W G t d t H t G t dW t H t dW t G 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 0 0 0 Funkcja korelacjiWzór Ito
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
=
+
−
=
=
+
=
+
=
=
+
+
=
=
+
+
=
+
+
=
=
+
=
−
+
=
t
x
p
t
x
dxf
x
f
t
x
p
t
x
b
x
t
x
p
t
x
a
x
dx
t
x
p
x
f
t
x
b
x
f
t
x
a
dx
x
f
t
x
b
x
f
t
x
a
t
x
f
t
x
b
x
f
t
x
b
x
f
t
x
a
dt
df
t
x
f
dt
d
dW
x
f
t
x
b
dt
x
f
t
x
b
x
f
t
x
a
t
x
df
dW
t
x
f
t
x
b
dW
t
x
b
dt
t
x
a
t
x
f
t
dx
t
x
f
t
dx
t
x
f
t
x
f
t
dx
t
x
f
t
x
df
,
,
,
2
1
,
,
,
,
2
1
,
,
2
1
,
,
,
2
1
,
,
,
2
1
,
,
2
1
,
,
2
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( )
x
t
t
dt
b
x
( )
t
t
dW
( )
t
a
dx
=
,
+
,
Jeżeli x spełnia stochastyczne równanie różniczkowe
Stąd wynika podany wcześniej związek równania Ito z równaniem Fokkera-Plancka; Rozpatrzmy ewolucję czasową średniej dowolnej funkcji f(x)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
=
+
−
=
=
+
=
+
=
=
+
+
=
=
+
+
=
+
+
=
=
+
=
−
+
=
t
x
p
t
x
dxf
x
f
t
x
p
t
x
b
x
t
x
p
t
x
a
x
dx
t
x
p
x
f
t
x
b
x
f
t
x
a
dx
x
f
t
x
b
x
f
t
x
a
t
x
f
t
x
b
x
f
t
x
b
x
f
t
x
a
dt
df
t
x
f
dt
d
dW
x
f
t
x
b
dt
x
f
t
x
b
x
f
t
x
a
t
x
df
dW
t
x
f
t
x
b
dW
t
x
b
dt
t
x
a
t
x
f
t
dx
t
x
f
t
dx
t
x
f
t
x
f
t
dx
t
x
f
t
x
df
,
,
,
2
1
,
,
,
,
2
1
,
,
2
1
,
,
,
2
1
,
,
,
2
1
,
,
2
1
,
,
2
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Ze wzoru Ito wynika podany wcześniej związek równania stochastycznego w sensie Ito z równaniem Fokkera-Plancka;
Rozpatrzmy ewolucję czasową średniej dowolnej funkcji f(x)
Całka stochastyczna (w sensie Stratonowicza)
( )
(
) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
(
) ( )
( ) ( )
( )
( )
dW
dt
x
dx
dW
dt
dx
bdW
dt
x
b
b
a
dx
bdW
adt
dx
t
W
t
W
t
dW
t
W
S
t
dW
t
t
x
G
S
t
W
t
W
t
t
x
t
x
G
ms
t
dW
t
t
x
G
S
t t t t n i i i i i i n t t
+
+
=
+
=
+
−
=
+
=
−
=
−
+
−
=
= − − − →2
1
4
2
1
3
2
1
2
0
,
1
,
2
lim
,
0 0 2 0 2 0 0 1 1 1 1 0 0 0 WłaściwościWłaściwość bardzo przykra, ale…
Właściwość bardzo przyjemna. Równanie stochastyczne w formie Ito (po lewej) jest równoważne równaniu stochastycznemu w formie Stratonowicza (po prawej)
Równanie stochastyczne w
formie Stratonowicza (po lewej) jest równoważne równaniu
stochastycznemu w formie Ito (po prawej)
Jest to inna definicja całki stochastycznej, prowadząca do nieco innego formalizmu. Czytając prace nt. stochastycznych równań różniczkowych należy zawsze zwracać uwagę, czy całka stochastyczna zdefiniowana jest w sensie Ito, czy Stratonowicza.. Używając tej definicji, trudniej jednak jest wykonywać
Numeryczne rozwiązywanie stochastycznych równań różniczkowych
Równania jednowymiarowe
