WUHPDOQ\PL -HVW WR V]F]HJyOQLHLVWRWQHZRFHQLH U\]\ND ÄGXĪHM VWUDW\´ QS

0 $ 7 ( 0 $ 7 < . $  6 7 2 6 2 : $ 1 $       

3L R W U -D Z R U V N L

:DUV]DZD

$ V\ P S WR W\ N D  G Z X Z \ P LD UR Z \ FK  NRS XOL

 : SURZDG]HQLH &HOHPQLQLHMV]HJRRSUDFRZDQLDMHVW]DSR]QDQLHF]\

WHOQLNyZ]SRMĊFLDPLNRSXOLLMHMUR]ZLQLĊFLDDV\PSWRW\F]QHJRNWyUH]QDOD]á\

V]HURNLH]DVWRVRZDQLHZEDGDQLXLRSLVLH]DOHĪQRĞFLPLĊG]\]GDU]HQLDPLHNV

WUHPDOQ\PL -HVW WR V]F]HJyOQLHLVWRWQHZRFHQLH U\]\ND ÄGXĪHM VWUDW\´ QS

Z XEH]SLHF]HQLDFKF]\ LQZHVW\FMDFKILQDQVRZ\FK

3U]\SRPQLMP\ ĪH IXQNFMĊ

)XQNFMH NWyUH VSHáQLDMą RVWDWQL ZDUXQHN QD]\ZDP\ GZXQLHPDOHMąF\PL

'ODIXQNFMLGZXNURWQLHUyĪQLF]NRZDOQ\FKZDUXQHNWHQMHVWUyZQRZDĪQ\QLH

XMHPQRĞFLSRFKRGQHMPLHV]DQHM3RQDGWRMDNáDWZR]DXZDĪ\üIXQNFMD&MHVW

QLHPDOHMąFDZ]JOĊGHPNDĪGHJRDUJXPHQWXLFLąJáDDQDZHWOLSVFKLW]RZVND 1LHFK ;  L \  EĊGą ]PLHQQ\PL ORVRZ\PL RNUHĞORQ\PL QD WHM VDPHM SU]H

VWU]HQL SUREDELOLVW\F]QHM 'ZXZ\PLDURZąG\VWU\EXDQWĊ ) [\ PRĪHP\]DSL

VDü XĪ\ZDMąFRGSRZLHGQLHM NRSXOL & SDWU] >@ 7K 

JG]LH ) [ ) \  Vą G\VWU\EXDQWDPL ;  L \  =DXZDĪP\ ĪH ĞFLĞOH URVQąFH SU]H

NV]WDáFHQLD ]PLHQQ\FK ORVRZ\FK ;  L \  QLH Z\PDJDMą ]PLDQ\ NRSXOL 5]H

F]\ZLĞFLHMHĪHOL

&      A   ! QD]\ZDP\ NRSXOą áąF]QLNLHP SDWU] >@MHĪHOL

9XY H  &X ² &X 

9XX H   & OY  Y & X O X@

9© 89L9

9

& XLY &XY L  & XLYL&XY

) [\^[\  &)[ [)\\

[  I  [    \  J \ 

3UDFD E\áD F]ĊĞFLRZR ILQDQVRZDQDZ UDPDFK JUDQWX 3%=.%13

>@

Asymptotyka dwuwymiarowych kopuli 79

gdzie / i g są ściśle rosnące i odwracalne, to

Fx>y(x,y) ⁼ Fxy(f~

1

1

= C(Fx ,(x),Fy(y)).

Dlatego kopule są cennym narzędziem, gdy chcemy badać tylko zależność między zmiennymi losowymi, a nie ich łączny rozkład, tym bardziej że kopule są wyznaczone jednoznacznie dla wszystkich par (u, v) takich, że równania Fx(x) = u i Fy(y) = v posiadają rozwiązanie.

Dla każdej kopuli C istnieje kopula dualna, tak zwana kopula przetrwania (survival copula) C, określona w następujący sposób:

C : (0, l)2 —► (0,1), C(ii, v) = C(l — u, 1 — v) + u + v — 1.

Zauważmy, że jeżeli C określa łączny rozkład X i y , to C określa łączny rozkład —X i ~ y .

Powiemy, że dwuwymiarowa kopula ma jednorodne rozwinięcie „dolnego ogona”, jeżeli dla argumentów bliskich zeru może być jednostajnie przybli- żona przez jednorodną funkcję pierwszego stopnia.

De f i n i c j a.

Kopula

C : (0, l)2 —► (0,1)

ma jednorodne rozwinięcie dolnego ogona, jeżeli istnieje funkcja jednorodna L : R+ —> R, > 0 L(tu,tv) = tL(u,v),

i funkcja ograniczona

R : (0, l)2 —> R, (u,v)-+(0,0) lim R(u,v) = 0, takie, że

Vtt, v G (0,1) C(u, v) — L(ut v) + R(u, v)(u + v).

Aby opisać asymptotykę dla argumentów bliskich 1, odwołamy się do kopuli dualnej. Powiemy, że dwuwymiarowa kopula C ma jednorodne roz- winięcie górnego ogona, jeżeli dualna kopula C ma jednorodne rozwinięcie dolnego ogona.

Funkcję L będziemy nazywali częścią główną rozwinięcia, a w przypadku, gdy jest ona równa zeru, będziemy mówić o rozwinięciu trywialnym.

Przytoczone powyżej warunki definicyjne są trochę silniejsze niż te roz- ważane przez P. Embrechtsa ([1]) i innych autorów, niemniej są one spełnione przez większość kopuli spotykanych w literaturze.

W rozdziale 2 omawiamy podstawowe własności części głównej i opi-

sujemy jej ogólną postać. Rozdział 3 zawiera przykłady kopuł i ich części

głównych. Między innymi dowodzimy, że kopule gaussowskie (opisujące roz-

kład normalny) mają trywialną asymptotykę. W rozdziale 4 pokazujemy

praktyczne zastosowania asymptotyki kopuł do oceny ryzyka inwestycji fi- nansowych.

2. Własności części głównej L. Niech L(u, v) będzie częścią główną jednorodnego rozwinięcia kopuli C(u, v).

Tw ie r d z e n ie

1. Funkcja L(u,v) jest dwu-niemalejąca:

u i < u 2 f\v i< v2 =>• L(

,

2) + L(

2,

) < L(ui,vi) + L(

2,

2), nieujemna i ograniczona przez mniejszy ze swoich argumentów, tzn.

0 < L{u,v) < min(u,v).

Dowód. Jak wiadomo, wszystkie kopule spełniają następujące oszacowa- nie ([4], Th. 2.2.3):

0 < C(u, v) < min(n, v).

Dlatego dla 0 < t < 1 mamy nierówności

0 < — ^ = L(u, v) -f (u + v)R(tu, tv) < min(r/, u).

Przechodząc do granicy (t —> 0), otrzymujemy 0 < L{u,v) < min(ii, v).

W podobny sposób pokażemy dwu-monotoniczność. Niech u\ < u2 i v\ < v2. Kopule są dwu-niemalejące, zatem dla każdego t, 0 < t < 1,

0 > C(tu\,tv2) + C{tu2,tv\) — C(tui,tv\) — C(tu2,tv2)

= tL(u\, v2) + tL(u2, vi) - tL(u\,vi) - tL(u2, v2) + tR(tui,tv2)(ui + v2) + tR(tu2) tvi)(u2 + vi) - tR(tui,tvi)(ui + vi) - tR{tu2, tv2)(u2 + v2).

Po podzieleniu przez t i przejściu do granicy otrzymujemy 0 > L(ui, v2) +

- L(ui,vi) - L(u2,

Z powyższego twierdzenia i jednorodności wynikają dalsze własności L.

W^{n io s e k}

1. Część główna L(u,v) spełnia następujące warunki:

1. Dla dowolnych nieujemnych u i v, L(0,v) = L(u, 0) = 0.

2. L{u, v) jest niemalejąca ze względu na 'oba argumenty.

3. L(u,v) jest lipschitzowska dla dowolnych nieujemnych u,u\,v,v\:

|L(u, v) — L(u\,vi)\ < \u — ui \ + \v — v\\.

4. L(u, v) jest ciągła.

Dowód. Pierwszy warunek jest oczywisty. Ponieważ

0 < L(0, v) < min(0, v) = 0,

więc L(Q,v) = 0. Podobnie pokazujemy, że L(u, 0) = 0.

Asymptotyka dwuwymiarowych kopuli 81

Aby pokazać monotoniczność, należy skorzystać z dwu-monotoniczności z jednym argumentem równym 0. Rzeczywiście, dla u\ < U

i u > 0 otrzy- mujemy

0 < L(u\,0) -i- L(

,

) — L(ui,v) — L(u2,0) = L(u

,u) - L(ui,u).

Podobnie dla v\ < V

i u > 0 otrzymujemy

0 < L(0, ui) + L(u, v2) - L{0, V

) - L(u, v\) = L(u, V

) - L(u, ui).

Lipschitzowskość wynika z jednorodności. Mianowicie, dla 0 < u\ <

i v > 0 mamy

L(

,

) - L(ui,v) < L(

,

) - L (

, — ^ ) = L(

,

) - — L(

,

)

V U2 / U2

= ( l - ^ ^ L ( u 2,v) < ( l - ^ j u2 ^ u2 ~ uV Podobnie dla 0 < u i < U 2 i u > 0 pokazujemy, że 0 < L(u,u

) — L(u,u

) <

r

— ui. Zatem

|L(u,u) - L(ui,ui)| = |L(u,u) - L(u,ui) + L(u,ui) - L(m,ui)|

< |L(u,u) - L(u,ui)| + |L(u,ui) - L(ui,ui)| < |u — ui| + \u - u\\.

Ciągłość wynika z lipschitzowskości.

Następna ważna własność L to wklęsłość. Okazuje się, że dla funkcji jed- norodnych pierwszego stopnia dwu-monotoniczność jest równoważna wklę- słości.

Tw ie r d z e n ie 2.

Niech H (u,v) będzie funkcją dodatnio jednorodną stopnia 1 określoną dla u, v > 0,

Vt > 0 H(tu,tv) = tH(u,v).

Wówczas następujące warunki są równoważne:

1. H jest dwu-niemalejąca.

2. H jest wklęsła.

Dowód. Ograniczymy się do przypadku, gdy H ma ciągłe drugie po- chodne. Wówczas jednorodność H implikuje następujące równości:

u u

d2H ,

d2H , . n

M (u’v ) + v d ^ {u’v) = 0’

d2H , (u>v) + vl ^ ( uiv) = °-

d2 H

dudvK~' ' ' dv2

(Należy zróżniczkować obie strony równości H (tu,tv) = tH (u,v) po u lub

u i po t, a następnie podstawić t = 1.) Wynika z nich, że macierz drugich

pochodnych ma wyznacznik zero. Rzeczywiście,

d

2

w - ( u>v) & Ł ( u’v)

m £ ( u’v) i $ ( u’v) £ £ (« .» ) - ; £ £ ( « . » ) / Zatem det D2H = 0. Ponadto, ponieważ znak pierwszego minora przekątnio- wego jest przeciwny niż znak pochodnej mieszanej (u, v > 0), nieujemność pochodnej mieszanej jest równoważna niedodatniości całej macierzy. Z tego wynika, że warunki 1 i 2 są równoważne.

W^{n io s e k} 2.

L{u,v

jest nadaddytywna, tzn.

L{u\

u2, vi -I- v2)

L(ui,vi)

W^{ni o s e k} 3.

L(u,v

można zapisać w postaci L{u, «) = (« + v)l \u + v j ,

gdzie l : (0,1) —> R jest funkcją wklęsłą i spełnia oszacowanie 0 < l(x) < min(a?, 1 — x).

2.1. Kopule z zadaną częścią główną L. W tym rozdziale pokażemy, że twierdzenie 1 charakteryzuje wszystkie możliwe części główne.

Tw i e r d z e n i e

3. Niech L

M2

K będzie dwu-niemalejącą funkcją jednorodną stopnia 1 taką, że

v 0 < L(u, v) < min(u, v).

Wówczas funkcja

C{u, v) = max(L(u, v),u + v — 1) ograniczona do kwadratu jednostkowego (0, l)2 jest kopulą.

Dowód. Dla dowolnego u € (0,1) zachodzą następujące równości:

(7(0, v) = max(L(0, u), 0 + v — 1) = max(0, v — 1) = 0, (7(1, u) = max(L(l, u), 1 + v — 1) = max(l,u) = v.

Podobnie dla dowolnego u

(0,1), C(u,0) = 0 i C(u, 1) = u.

Następnie wybieramy u \,u 2,v\,v2 takie, że u\ < u2 i v\ < v2. W zależ- ności od tego, który z dwóch argumentów funkcji maksimum jest większy, mamy cztery przypadki do rozpatrzenia. Pokażemy, że w każdym z nich C jest dwu-nierosnąca.

(i) C{u\,v2) + C(u2, vi) = (ui + v2 - 1) + (u2 + ui - 1)

= (m + vi - 1) + (u2 + v2 - 1) < C(ui,v{) + C(u

, u2);

Asymptotyka dwuwymiarowych kopuli 83

(ii) C(ui, u2) + C(u2, vi) = (ui + v2 - 1) + L(

,

>

)

< (ui + v2 - 1) + (L(ui,vi) + U2 - Ul)

= L(ui,Vi) +U 2+V

C(ui,Vi) + C (u 2,V2)]

(iii) C(u\, v2) + C{u2, ui) = L(ui, v2) + (u2 + ui — 1)

< (L(ui, ui) + u2 - ui) + (u2 + ui - 1)

= L(m ,vi) + u2 + u2 - 1 < C(ui,vi) + C(u2,v2);

(iv) C(U

,V

) + C(U

,Vi) = L{

\ ,

2) + L(

2, Ul)

< ^ (u i, Vi) + L(u2,u2) < C (u i, Ul) + C(tt2, V2).

Zauważmy, że dla każdego nieujemnego L i dla 0 < u 4- u < 1, C(u, u) = max(L(u,u), u + u — 1) = L(u, u).

Zatem L jest nie tylko aproksymacją dolnego ogona C, ale po prostu tym ogonem.

Wni o s e k 4.

Dla dowolnej funkcji wklęsłej l :

takiej, że

jest częścią główną rozwinięcia pewnej kopuli dwuwymiarowej.

3. Przykłady kopuli i ich części głównych

3.1. Kopula zmiennych losowych niezależnych. Załóżmy, że X i y są niezależne. Wówczas kopula ma prostą postać

W tym przypadku L{u, u) = 0 i R(u, u) = uv/(u + u) < (u + u)/2.

Zauważmy, że kopula dualna C pokrywa się z kopulą wyjściową:

C(u, u) = (7(1 — u, 1 — u)+ u+ u — 1 = (1 —u)(l —u)+u+u —1 = uv = C(u, u), zatem to samo dotyczy rozwinięcia górnego ogona.

3.2. Kopule zmiennych losowych doskonale zależnych. Załóżmy, że y = X. Wówczas kopula ma postać

0 < l(x) < min(a:, 1 — x), funkcja

C(u, u) = uv.

Wynika to z równości dystrybuant:

Fxy{x,y) - Fx (x)Fy (y).

C(u, u) = min(u, u).

Wynika to z następującej równości:

Fxy(x, y) = F(X < x A y <y) = F(X < x A X < y) = F(X < min(a;, y))

= Fx (mm(x,y)) = min(Fx (x), Fy{y)).

W tym przypadku L(u,v) = min(u, u) i R(u,v) = 0.

Zauważmy, że kopula dualna <7 pokrywa się z kopulą wyjściową:

(7(u, u) = (7(1 — u, 1 — u) + u + u — 1 = min(l — u, 1 — v) + u + v — 1

= min(u, u) = C(u,v),

zatem to samo dotyczy rozwinięcia górnego ogona.

Załóżmy, że 3^ = — A7 Wówczas kopula ma postać C(u, u) = max(0, u + v — 1).

Wynika to z następującej równości:

Fxy(x, ^/) = P(A’ < x A y < y) — < x A X > —y)

= max(0, - Fx (-y)) = max(0, Fx {x) - (1 - Fy(y))).

W tym przypadku L(u, u) = 0 i dla u + v < 1 również J?(u, u) = 0.

Zauważmy, że podobnie jak wyżej kopula dualna C pokrywa się z kopulą wyjściową:

(7(u, v) = (7(1 — u, 1 — v) -\-u-ł-v — 1

= max(0, (1 — u) + (1 — v) — 1) + u + v — 1

= max(0,1 — u — v) + u + v — 1 = max(u + u — 1,0) = (7(u, u), zatem to samo dotyczy rozwinięcia górnego ogona.

3.3. Kopule gaussowskie. Załóżmy, że X i y mają ten sam rozkład normalny standardowy 7V(0,1) i ich łączny rozkład jest normalny N (0, U).

Wówczas kopula (zwana gaussowską) ma postać

CN(u,v)

F x y iF - ^ u lF - 'iv ) ) ,

gdzie F jest dystrybuantą rozkładu N (0,1). •

L^{e m a t} 1.

Kopule gaussowskie mają trywialną asymptotykę obu ogonów.

Dowód. Zauważmy, że zmienna losowa Z = X + y ma rozkład normalny, w którym

E (2) = 0, D2(Z) = 2 + 2c < 4,

gdzie c = cov(X, ^). W dalszym ciągu będziemy korzystali z faktu, że X i y

są unormowane i — 1 < c < 1.

Asymptotyka dwuwymiarowych kopuli 85

Przyjmijmy, że u = F(x) i v = F(y) oraz x < y < 0. Wówczas

CN{u,v) Fx y (x,y)

u + v F(x) + F(y) F(x) + F(y) < x

y < y) P(A' + y < x + y) F(x) + F{y)

2y_\

F(x) + F(y) - F(y)

Następnie skorzystamy z oszacowania ogona standardowego rozkładu normalnego (patrz [3], str. 119). Dla dowolnego x < 0 mamy

Y I-I

/ —2 \ i 1 / ■

y/2n 1 +X2 exp( _ ^ ) < F W < _ L jl exp( _ £ .) . Zatem

, %/2+2c _A

J

Hv) ^< H exp ( - i ś )

i ^ exp ( - £ ) < 2exp (G

Ponieważ c jest mniejsze od 1, więc argument funkcji wykładniczej jest ujemny oraz

lim exp ( ( \ — ———l?/2! = 0.

y

-*-oo \\2 1 + c/

W ten sposób, korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach, pokazujemy, że L(u, v) = 0, co kończy dowód dla dolnego ogona. W przypadku górnego ogona dowód przebiega analogicznie.

3.4.

Kopule BEV.

bivariate extreme value copulas,

Ca(u,v) =

exp

+ 1„(,))

( h^ ^ m ) ) ,

A

max(x, 1 —

x) < A{x) <

Le ma t 2.

Jeśli A(x)

x), to 1. asymptotyka dolnego ogona jest trywialna,

2. część główna rozwinięcia dla górnego ogona wynosi

Dowód.

A(x)

x)

m

A[x)

x) =

XG(0,1) XG(0,1> 2

Zatem dla u + v < 1,

C

(

,

) < exp(mln(uv)) = (uv)m < (u + v)(uv)m~0'5.

2. Rozwiniemy kopulę dualną C

szereg Taylora w punkcie (0,0):

CA(u,v)=exp ((ln(l - ^) + ln(l - v ) ) A ^{_ ^ +~} _ v)) ) + “ +

= exp ^(—u — v )A ^ ~- ^ +

^ +u + v — 1

= l - ( u + v)A[ U- ) + O

+ W + V -I

\u + ^ /

= ( u + » ) ( l - y l ( ^ ) ) + 0 2.

W skrajnym przypadku, gdy A(x) = max(rr, 1 — x), mamy CU(it, u) = min(u, v) i tyle samo wynoszą obie części główne.

4. Zastosowania: Ryzyko podwójnej straty. W rozdziale tym po- każemy korzyści płynące z zastosowania jednorodnego rozwinięcia w mode- lowaniu ryzyka dużej straty dla portfela zawierającego dwa papiery. Skon- centrujemy się na następującym prostym przykładzie.

Inwestor zainwestował w akcje dwóch spółek odpowiednio x\ i X

PLN, X\ , X

> 0. Następnie ustalił pewien poziom bezpieczeństwa c, 0 < c < 1.

Aby oszacować ryzyko związane z przeprowadzoną inwestycją, jest on zain- teresowany wyznaczeniem następujących wielkości:

• prawdopodobieństwa tego, że na koniec okresu inwestycyjnego wartość jego portfela będzie mniejsza niż c(x

+ X

);

• warunkowego prawdopodobieństwa tego, że na koniec okresu inwesty- cyjnego wartość akcji jednej spółki będzie mniejsza niż c razy wartość po- czątkowa, pod warunkiem że zdarzyło się to z akcjami drugiej spółki;

• warunkowego prawdopodobieństwa tego, że na koniec okresu inwesty- cyjnego wartość akcji obu spółek będzie mniejsza niż c razy ich wartość początkowa, pod warunkiem że zdarzyło się to z akcjami jednej z nich;

• warunkowej wartości oczekiwanej liczby spółek wartość akcji, których spadła poniżej poprzeczki, pod warunkiem że zdarzyło się to z akcjami jednej z nich.

Niech i <S

,

będą cenami akcji na początku i na końcu okresu in- westycyjnego. Wówczas wartość portfela na koniec okresu inwestycyjnego wynosi

Sl,l , 52,1

Asymptotyka dwuwymiarowych kopuli 87

Załóżmy, że zwroty z obu akcji mają „tłuste ogony”, z tym samym in- deksem a > 0 (patrz [6], §9.2 i §9.5):

P(ln(5i)i) — \n(Sito) < z) ~ aj(—z)_a dla z < 0

i ponadto ich łączny rozkład jest określony przez kopulę mającą niezerową część główną L.

Niech F(c) będzie prawdopodobieństwem „porażki”:

F(c) = P(Wi < c{x\ + £

)),

i niech U(c) i V (c) będą prawdopodobieństwami tego, że wartość pierwszego lub drugiego papieru spadła poniżej poprzeczki:

U{c) = p ( | r ^ < c) ~ a i(-ln (c ))“a,

V(ć) = P ( ^ t ~ C) ~ a2(_ ln (c))_Q- Zatem dla odpowiednio małych c zachodzą nierówności

(ln(max(a:i, X

)) — ln(c(xi + £

)) + ln2) QL(ai,<Z

)

< F(c) < l (u ^c{xi + x 2)\ yfc(x 1 + X 2) Xi / \ X 2

< (ln(min(a:i,a:

)) - ln(c(xi + X

)))~aL(ai,

).

Ponieważ

(ln(max(a:i,

X

)

X

))

X

)))~a

ln2 + |lna;2 — lnxi|

= l 1 +

w 1 — a

ln(min(xi,a:2)) - ln(c(a;i + 2:2))

ln2 + |ln2:2 — ln2:i|

ln(min(a:i, 2:2)) — ln(2;i + X2) — lnc’

więc przedział

jest relatywnie mały. Zatem możemy w miarę dokładnie oszacować prawdo- podobieństwo porażki.

Odpowiedź na pozostałe pytania otrzymamy, korzystając z klasycznego

wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe:

r ( S v ^ .

52ll „ \ P( t ^ cA t ^ c)

U i,o - S2,o -

p ( | i < c) "

Zatem dla odpowiednio małych c,

f

( S

< c 52,

. \ ^ L{U(c),V(c)) , « z / —,

52,

) V(c) 'yV(c)’ ) \a 2

Podobnie pokazujemy, że

< c Sl-1 < c) « L(U(c),V(c)) ,

V 52)

5i,o “ ) U(c) 'k 'U(c)J V CLI Wzór na prawdopodobieństwo zajścia dwóch porażek pod warunkiem, że zaszła przynajmniej jedna, jest niewiele bardziej skomplikowany:

p2n =

p ( Ę r < c W1,0

<->2,0

P ( f ^ < c A | ^ < e ) pffM- < c V ^ i < c) Zatem dla odpowiednio małych c,

L(U(c),V(c))

5i,i < c V 52,

. < c

i,o

C(U{c\V(c))

U(c) + V(c)-C (U (c),V(c)Y

2|1

L(ai,

)

U(c) + V(c) — L{U(c),V(c)) a\ + a2 - L (ai,a2) *

Natomiast wartość oczekiwana liczby porażek r pod warunkiem, że za- szła przynajmniej jedna, wynosi

E(t

I

> 1) = 2 • P2|i + 1 • (1 — P2|i) = 1 + P2|i

_ U{c) + V(c) _ ai + a2

“ U{c) + V{c) - C{U{c),V(c)) ** ai + a

- L ( a i , a 2) ’ Jak widać, dla małych c powyższe prawdopodobieństwa warunkowe i wartość oczekiwana się stabilizują i oszacowania asymptotyczne nie zależą od parametru c.

W praktycznych zastosowaniach należy określić, jakie c jest dostatecznie małe. W tym celu można np. sprawdzić za pomocą danych empirycznych, dla jakich c widoczna jest opisana powyżej stabilizacja. Okazuje się, że dla długich pozycji w USD i EUR (tzn. na przykład, gdy inwestor posiada te waluty), dla jedniodniowych zmian kursów walutowych może to być nawet 0.99.

Na wykresie przedstawione są wyniki dla dolnego ogona dziennych zmian

fbdngów i kursów średnich NBP dla USD i EUR (a wcześniej ECU) wzglę-

dem PLN. Dane obejmują okres od stycznia 1995 do lutego 2003 (2056

obserwacji).

Asymptotyka dwuwymiarowych kopuli 89

30-

20-

10-

T 10 20 30 40 50 60 70 80- *

Wykres 1. Liczby dużych spadków notowań. Źródło: opracowanie własne.

Punkty na wykresie przedstawiają następujące dane:

• pierwsza współrzędna to liczba przypadków, gdy kurs USD w danym dniu spadł poniżej c razy kurs poprzedni;

• druga współrzędna oznacza liczbę przypadków, gdy zarówno kurs USD, jak i kurs EUR spadły poniżej c razy kurs poprzedni.

Widoczna na wykresie liniowa zależność punktów odpowiadających róż- nym c (mniejszym od 0.99) potwierdza hipotezę o stabilizacji prawdopodo- bieństwa warunkowego, a zatem również hipotezę o nietrywialnej asympto- tyce dolnego ogona.

Literatura

[1] P. Embrechts, L. de Haan, X. Huang, Modelling multivariate extremes, w: P. Em- brechts (red.), Extremes and Integrated Risk Management, Risk Waters Group, 2000^.

[2] W. Hiirlimann, Hutchinson-Lai’s conjecture for bivariate extreme value copulas, Statist. Probab. Lett. 61 (2003), 191-198.

[3] J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, SCRIPT, War- szawa, 2000."

[4] R. B. Nelsen, An Introduction to Copulas, Springer, 1999.

[5] R. T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton Univ. Press, Princeton, 1970.

[6] A. Weron, R. Weron, Inżynieria finansowa, WNT, Warszawa, 1999.

Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski ul. Banacha 2

02-097 Warszawa

E-mail: jwptxa@mimuw.edu.pl