Zastosowanie dyskretnej transformaty Fouriera do analizy sygnałów dyskretnych.

Ćwiczenia laboratoryjne z przedmiotu:

„Cyfrowe przetwarzanie sygnałów”.

Ćwiczenie 2:

Zastosowanie dyskretnej transformaty Fouriera do analizy sygnałów dyskretnych.

Niezbędne wiadomości:

1. Szereg Fouriera.

Sygnał okresowy o okresie T spełniający warunki Dirichleta można przedstawić w postaci sumy sygnału stałego oraz sygnałów kosinusoidalnych i sinusoidalnych o okresach T, T/2, T/3 ....

∑

^∞

= 



 



 



 

 + 



 

 + 

=

1 0

sin 2 cos 2

) (

k

k

k

t

k T B

T t k A

A t

x π π

Wyrażenie po prawej stronie powyższego równania nosi nazwę trygonometrycznego szeregu Fouriera.

Wartości współczynników A0, Ak, Bk, wyznaczone metodą aproksymacji z najmniejszym średnim błędem kwadratowym (patrz ćwiczenie 1, p.5), określone są wzorami:

∫

= ^T

x t dt A T

0

0

1 ( )

,

t dt

k T t

T x A

T

k ⁼

∫

^_^{ }_^

0

cos 2 )

2 ( π

,

^B

^{k =}

_T ∫

^T

^{x t}

^_^

^k _T ^t

^_^

^dt

0

sin 2 )

2 ( π

.

Trygonometryczny szereg Fouriera można również przedstawić w następującej postaci:

∑

^∞

=

 

 



 +

+

=

1 0

sin 2 )

(

k

k

k

t

k T C

C t

x π ϕ

gdzie:

C

₀ =

A

₀,

^C

^{k =}

( ^A

^{k2 +}

^B

^k2

)

^,

k k

k

B

arctg A ϕ

=

Składowa

C

₀ nazywana jest składową stałą sygnału, składowe





 



 +

_k

k

t

k T

C ² π ϕ

sin

k-tymi

harmonicznymi sygnału, liczby Ck i ϕk odpowiednio amplitudą i fazą k-tej harmonicznej.

Funkcja Ck(k) nazywana jest charakterystyką amplitudową sygnału, zaś funkcję ϕk(k) charakterystyką fazową.

Stosując wzory Eulera:

cos 2

α

α

=

^e

^jα ⁺

^e

^−j ,

j e e

^{j j}

sin 2

α

α

= α ^{− −} , gdzie

j = − 1

można przedstawić szereg Fouriera w postaci wykładniczej:

∑

^∞

−∞

=

=

k

t T jk k

e a t

x

π 2

)

(

gdzie

^a

^{k =}

_T ∫

^T

^{x t e}

^−jkTt

^dt

0

2

)

1 (

^π

Współczynniki ak są liczbami zespolonymi. Dla sygnału rzeczywistego a-k jest liczbą sprzężoną do ak.

2. Zjawisko Gibbsa.

Często ze względów praktycznych istnieje konieczność aproksymacji sygnału skończoną liczbą składowych szeregu Fouriera (sumą częściową szeregu Fouriera):

∑

−

=

= ^M

M k

Tt jk k

e a t

x

π

^ 2

) (

Powyższy wzór można przedstawić również w następującej postaci:

∑

^∞

−∞

=

=

k

t T jk k k

a e w t

x

π

^ 2

) (

gdzie dodatkowe współczynniki wagowe wk są określone następująco:

k M

M k dla w

_k

dla

>

≤



=

0 1

Operacja odcięcia wyższych harmonicznych nazywa się okienkowaniem w dziedzinie częstotliwości, zaś współczynniki wk opisują w tym przypadku tzw. okno prostokątne.

Im więcej harmonicznych w przebiegu aproksymującym, tym lepiej opisuje on sygnał x(t). Jeśli sygnał x(t) posiada punkty nieciągłości, to w przebiegu aproksymującym pojawiają się w tych punktach

charakterystyczne oscylacje, których amplituda nie maleje ze wzrostem ilości czynników w szeregu Fouriera. Efekt ten nosi nazwę zjawiska (efektu) Gibbsa. Zjawisko to można częściowo wyeliminować poprzez modyfikację współczynników ak w szeregu Fouriera – pozostawiając bez zmian współczynniki dla niskich harmonicznych i zmniejszając stopniowo współczynniki dla harmonicznych wyższych tak, aby odcięcie wyższych składowych nie było gwałtowne. Okno prostokątne należy zamienić więc innym, nie powodującym nagłego zaniku wyższych harmonicznych. Najczęściej stosowane okna to:

okno Hanninga (von Hanna, podniesionego kosinusa):

M k

M k dla dla M

k w

_k

>

≤





 



 



 + +

=

0 cos 1 5 . 0 5 .

0 π

okno Bartletta (trójkątne):

M k

M k dla dla M w

_k

k

>

≤



 −

=

0

/ 1

okno Hamminga :

M k

M k dla dla M k w

_k

>

≤





 



 

 + 

=

0 cos 46 . 0 54 .

0 π

3. Transformata Fouriera.

Jeśli funkcja x(t) spełnia warunki Dirichleta i dodatkowo zbieżna jest całka niewłaściwa:

^∞

∫ < ∞

∞

−

dt t x ) (

to dla każdego t prawdziwa jest równość:

∫

^+∞

∫

∞

− +∞ −

∞

−

= ω τ τ

π ^e

^ω

^{d x e}

^ωτ

^d t

x

^{j t}

( )

^j

2 ) 1

(

(i)

( twierdzenie Fouriera, wzór całkowy Fouriera w postaci zespolonej).

Jeśli wprowadzi się oznaczenie:

∫

^∞

∞

−

∞

= x t e

−

dt j

X ( ω ) ( )

^{j t (ii)}

to wzór całkowy Fouriera można zapisać następująco:

^+∞

∫

∞

−

⋅

= ω ω

π ^{X j e}

^ω

^d t

x ( )

^{j t}

2 ) 1

(

(iii)

Wzór (ii) nazywa się prostym przekształceniem Fouriera (transformatą Fouriera). Przyporządkowuje ono funkcji x(t) zmiennej rzeczywistej t funkcję X(jω) zmiennej urojonej jω. Jeśli x(t) jest funkcją opisującą przebieg sygnału w czasie, to X(jω) opisuje ten sygnał w dziedzinie częstotliwości.

Wzór (iii) nazywa się odwrotnym przekształceniem Fouriera (odwrotną transformatą Fouriera). Pozwala on opisać przebieg x(t) w czasie na podstawie jego opisu w dziedzinie częstotliwości.

Często do oznaczenia transformaty Fouriera stosuje się symbol F:

X(jω)=F[x(t)]

oraz

x(t)= F^-1[X(jω)]

Funkcję X(jω) można przedstawić następująco:

^{X ( j} ω ⁾

=

^{X ( j} ω ^{) e}

^jϕ

Moduł tego wyrażenia

^X ( ^j ω )

nosi nazwę gęstości widmowej amplitudy (widma amplitudowego), zaś faza

ϕ

nazywana jest gęstością widmową fazy (widmem fazowym).

4. Transformata Fouriera sygnałów dyskretnych.

Z matematycznego punktu widzenia sygnał dyskretny, uzyskany w wyniku próbkowania równomiernego, należy potraktować jako szereg impulsów Diraca, przesuniętych względem siebie o okres próbkowania Ts i przemnożonych przez wartość sygnału w chwili próbkowania.

) (

) ( )

( ) ( )

*

(

s n

s n

s

x nT t nT

nT t t

x t

x = ∑ − = ∑

^∞

−

−∞

=

∞

−∞

=

δ δ

Korzystając z twierdzenia o splocie (widmo iloczynu dwóch sygnałów jest równe splotowi ich widm) można wykazać, że widmo sygnału dyskretnego powstaje z widma sygnału ciągłego x(t) przez powielenie w dziedzinie częstotliwości o całkowitą wielokrotność częstotliwości próbkowania i przemnożenie przez częstotliwość próbkowania. Widmo sygnału dyskretnego jest okresowe.

∑

^∞

( )

−∞

=

−

=

k

s

s

X j k

f j

X

^*

( ω ) ( ω ω )

^gdzie

s

s

T

f 1

=

^,

ω

s =

² π f

s

5. Dyskretna transformata Fouriera (DTF).

Widmo sygnału dyskretnego x(n), powstałego w wyniku próbkowania sygnału ciągłego x(t) można obliczyć zgodnie ze wzorem:

^{jn Ts}

n t j s n

e n x dt

e nT t n x j

X ω

^∞

δ

^{ω − ω}

∞

−

∞

−∞

=

∞ −

−∞

=

∫ ∑

∑ ^{− =}

= ( ) ( ) ( )

)

*

(

W praktyce czas trwania analizowanego sygnału jest ograniczony. Powyższy wzór dla sygnału zawierającego N niezerowych próbek przyjmuje postać skończonej sumy:

∑

⁻

=

=

¹ − 0

*

( ) ( )

N

n

T jn _s

e n x j

X ω

^ω

Jeżeli poprzestaniemy na wyznaczeniu widma dla określonych częstotliwości ωk , rozmieszczonych

równomiernie wzdłuż przedziału

2 ) , 0

T

s

〈 π

, przy czym:

N

k T

_s

k

= π ⋅

ω ²

, k=0,1,2...N-1

to wzór przyjmie postać:

∑

⁻

=

= −

= ¹

0

2

*

( ) ( )

) (

N

n

N jk n

k

x n e

j X k X

ω

π

Wzór ten definiuje dyskretną transformatę Fouriera (DTF – Discrete Fourier Transform).

Aby na podstawie X(k) wyznaczyć sygnał x(n) należy posłużyć się odwrotną dyskretną transformatą Fouriera, określoną wzorem:

∑

⁻

=

= ¹

0

2

) 1 (

) (

N

k

N jk n

e k N X

n x

π

Odmianą DTF jest tzw. szybkie przekształcenie Fouriera (FFT - Fast Fourier Transform). Jest to algorytm, który znacznie zmniejsza ilość operacji matematycznych (mnożeń liczb zespolonych), potrzebnych do wyliczenia wartości wyjściowych transformaty. Warunkiem użycia algorytmu FFT jest, aby liczba próbek sygnału wejściowego była równa potędze 2:

N=2^m

W języku MATLAB zaimplementowano funkcję fft(x) wyliczającą N-punktową, dyskretną transformatę Fouriera dla sygnału dyskretnego x(n), zawierającego N próbek. Odwrotne działanie tj. wyznaczenie sygnału x(n) na podstawie jego transformaty X(n) umożliwia funkcja ifft(X).

6. Przeciek DTF.

Należy zwrócić uwagę, że wartości DTF odpowiadają współczynnikom szeregu Fouriera dla sygnału dyskretnego przy rozwinięciu tego sygnału wokół częstotliwości

N kf

_s

, gdzie: N – ilość próbek sygnału poddanego DTF, fs – częstotliwość próbkowania, k=0,1,2...,N-1.

Związek pomiędzy DTF, a współczynnikami szeregu Fouriera jest następujący:

N

k a

_k

= X ( )

Jeśli sygnał wejściowy zawiera składowe o częstotliwościach różnych od

N kf

_s

, to ujawnią się one w pewnym stopniu przy wszystkich wyjściowych wartościach DTF. To zjawisko nosi nazwę przecieku DTF.

Można je w pewnym stopniu ograniczyć przez przemnożenie kolejnych próbek sygnału przez odpowiednio dobrane współczynniki wagowe – jest to tzw. okienkowanie w czasie (patrz p.2 – okienkowanie w

dziedzinie częstotliwości – można stosować ten sam kształt okien).

Zadanie 1.

Wyznaczyć DTF sygnału sinusoidalnego, opisanego wzorem:





 



=  n

n N

x ² π

sin ) (

a) wygenerować wektor zawierający N=2⁵ elementów (próbek), b) wygenerować wykres z widmem amplitudowym sygnału,

c) wygenerować wykres z widmem fazowym sygnału,

d) sprawdzić, jak zmienią się wykresy dla sygnału określonego wzorami:

 

 



 +

= 2 0 , 5 sin

)

( n

n N

x π

,





 

 + 

= n

n N

x ² π

sin 1 ) (

e) sprawdzić, jak wyglądają wykresy dla sygnału określonego wzorem:

 

 



 +

+

 

 



 −

+

 

 



 +

+

 

 

 + 

= 8 1

sin 5 , 6 0

sin 5 , 4 0

2 sin sin 1 )

( n

n N n N

n N n N

x π π π π

Zadanie 2.

Wyznaczyć DTF sygnału sinusoidalnego, opisanego wzorem:





 



 +

= n

n N

x 2 0 , 2

sin )

( π

a) wygenerować wektor zawierający N=2⁵ elementów (próbek), b) wygenerować wykres z widmem amplitudowym sygnału,

c) wyjaśnić, skąd pojawiły się dodatkowe harmoniczne w widmie sygnału sinusoidalnego?

Zadanie 3.

Wyznaczyć DTF sygnału opisanego wzorem:

x ( n ) = 1

dla n=1,2...N

a) wygenerować wektor zawierający N=2⁵ elementów (próbek), b) wygenerować wykres z widmem amplitudowym sygnału.

Zadanie 4.

Wyznaczyć DTF sygnału opisanego wzorem:



=

= =

N n

n dla n dla

x 2 , 3 ..

1 0

) 1 (

a) wygenerować wektor zawierający N=2⁵ elementów (próbek), b) wygenerować wykres z widmem amplitudowym sygnału,

Zadanie 5.

Uruchomić skrypt c2z5.m demonstrujący rozkład na harmoniczne sygnału prostokątnego.

a) zinterpretować wygląd widma amplitudowego i fazowego sygnału, b) porównać wygląd kilku harmonicznych sygnału,

c) obejrzeć sygnał będący sumą częściową szeregu Fouriera, zwrócić uwagę na kształt zboczy w uzyskanym sygnale w zależności od ilości składników sumy częściowej.

d) obejrzeć sygnał będący sumą częściową szeregu Fouriera po operacji okienkowania (okno van Hanna).

Pytania sprawdzające:

1. Podać wzór na współczynniki rozwinięcia funkcji okresowej w trygonometryczny szereg Fouriera.

2. Podać wzór na współczynniki rozwinięcia funkcji okresowej w wykładniczy szereg Fouriera.

3. Co to jest harmoniczna sygnału okresowego?

4. Co to jest widmo amplitudowe i fazowe sygnału?

5. Na czym polega efekt Gibbsa.

6. Podać definicję transformaty Fouriera i odwrotnej transformaty Fouriera.

7. Podać definicję dyskretnej transformaty Fouriera i odwrotnej dyskretnej transformaty Fouriera.

8. Jaka jest przyczyna powstawania przecieku DTF.