Transformaty Fouriera funkcji i dystrybucji.

Zadania domowe z Analizy III Seria 4 16.01.2012

Dystrybucje: pochodne, granice ciągów, równania różniczkowe.

Transformaty Fouriera funkcji i dystrybucji.

1. Które z poniższych funkcji: są gładkie, mają zwarty nośnik (podaj nośnik funkcji), są funkcjami Schwartza, zadają dystrybucję regularną, zadają regularną dystrybucję temperowaną?

a(x) =

( 1 : |x| ¬ 1

0 : |x| > 1 ; b(x) =

( x : x < 5

x ² − 20 : x ­ 5 ; c(x) =

( exp ^ _(x−2) ⁹

−9

 : |x − 2| < 3

0 : |x − 2| ­ 3 ;

d(x) = |x| ⁴ ; e(x) = e ^x ; f (x) = e ^−|x| cos x; g(x) = x ²⁰¹² e ^−x

; h(x) = e ^{− sin x}

1 + x ² ; i(x) = e ⁻

; 2. Oblicz n-tą (n ∈ Z + ) pochodną dystrybucji regularnych zadanych przez funkcje:

a(x) = max{1−|x|, 0}; b(x) = ln |x|; c(x) = θ(x)x ^m ; d(x) = θ(x)e ^ax ; e(x) = θ(x) sin(ax);

gdzie: m ∈ Z + , a ∈ R \ {0}, θ(x) =

( 1 : x ­ 0 0 : x < 0

3. Znajdź wszystkie dystrybucje T ∈ D ^∗ (R) spełniające równanie:

a) (x − 1)(x ² − 9)T = T _x , gdzie < T _x , ϕ >= ^R _−∞ ^∞ xϕ(x) dx;

b) sinh(x)T = T _sinh(x) , gdzie < T _{sinh x} , ϕ >= ^R _−∞ ^∞ sinh(x)ϕ(x) dx;

c) T ⁰⁰ = P _x ¹ , gdzie < P ¹ _x , ϕ >= lim _→0

^{ R} _−∞ ^− + ^R _ ^{∞  1} _x ϕ(x) dx;

d) T ⁰ − xT = δ ₀ , gdzie < δ ₀ , ϕ >= ϕ(0) dx.

4. Czy poniższe funkcje mają transformaty Fouriera? Jeśli tak oblicz je. Czy funkcje zadają regularne dystrybucje temperowane? Jeśli tak oblicz ich transformaty Fouriera.

a(x) = x ⁿ ; b(x) = e ^−ax ; c(x) = e ^iax ; d(x) = e ^−ax θ(x); e(x) = e ^−a|x| ; f (x) = θ(2 − x)θ(x); g(x) = sgn x; h(x) = sin x

1 + x ⁴ ; i(x) = e ^bx 1 + e ^x ; gdzie: n ∈ Z + , a ∈ R + , b ∈]0, 1[, θ(x) =

( 1 : x ­ 0 0 : x < 0

5. Niech x, k ∈ R ³ . Niech E, B : R ⁴ → R ³ będą funkcjami klasy C ¹ , takimi że dla każdego t ∈ R:

funkcje E t , B t : R ³ → R ³ zdefiniowane przez E t (x) := E(t, x), B t (x) := B(t, x) są całkowalne.

Niech ˆ E _t , ˆ B _t oznaczają transformaty Fouriera funkcji E _t , B _t .

Niech ˆ E, ˆ B będą funkcjami: R ⁴ → R ³ t. że ˆ E(t, k) := ˆ E _t (k), ˆ B(t, k) := ˆ B _t (k).

Niech ρ : R ³ → R, j : R ³ → R ³ , będą całkowalne, a ˆ ρ, ˆj będą ich transformatami Fouriera.

Dowiedź, że:

a) divB = 0 ⇔ ik · ˆ B = 0 b) rotE + ∂ _t B = 0 ⇔ ik × ˆ E + ∂ _t B = 0 ˆ c) divE = ρ ⇔ ik · ˆ E = ˆ ρ d) rotB − ∂ t E = j ⇔ ik × ˆ B − ∂ t E = ˆj ˆ

*6. Oblicz granicę ciągu dystrybucji regularnych zadanych przez funkcje f _n : a) f _n (x) = _n

x ⁿ

+1 b) f _n (x) = _n ^{1  sin(nx)} _x ^{ 2}

c) f _n (x) = n ³ xe ^−n|x| d) f _n (x) = _n

x

+(nx+1) ⁿ

− _n

x

+(nx−1) ⁿ

e) f _n (x) = ng(nx) gdzie: g jest dowolną funkcją t. że ^R _−∞ ^∞ g(x)dx = 1

Wskazówka: T _{n −−−→ n→∞} T ⇔ T _n ^{0 −−−→} _n→∞ T ⁰ .