Wykaż, że dla x, y, z ∈ Z równanie (x2 + 1)(y2+ 1

Bajery

1.Wykaż, że spośród n-ka,tów wpisanych w okra,g najwie,ksze pole ma n-ka,t foremny.

2. Wykaż, że spośród wszystkich czworoka,tów opisanych na danym okre,gu najmniejszy obwód ma kwadrat.

3.(Punkt Toricelliego) Wykaż, że w trójka,cie ostroka,tnym z punktu o najmniejszej sumie odległości od wierzchołkow widać każdy z boków pod ka,tem 120^◦.

4.Niech P be,dzie punktem we wne,trzu czworościanu foremnego ABCD o boku 1. Udowod- nij, że |P A| + |P B| + |P C| + |P D| ¬ 3.

5. Wykaż, że dla x, y, z ∈ Z równanie (x² + 1)(y²+ 1) = (z² + 1) na nieskończenie wiele rozwia,zań.

6.Rozstrzygnij, czy w zbiorze liczb postaci 2x²+ 2x + 1, gdzie x ∈ N istnieje nieskończenie wiele kwadratów liczb naturalnych.

7.Wyznacz wszystkie cia,gi a¹ ¬ a² ¬ . . . ¬ aⁿ minimalnej długości takie, że^Pni=1ai = 25,

Pn

i=1(aⁱ)² = 33, ^Pni=1(aⁱ)³ = 49 oraz ^Pni=1(aⁱ)⁴ = 81.

8.Rozwia,ż układ równań w liczbach rzeczywistych a, b, c, d, e ¬ 3











a+ b + c + d + e = 3 a²+ b²+ c²+ d²+ e² = 39 a³+ b³+ c³+ d³+ e³ = 57

9.Wykaż, że dla dowolnego ε > 0 istnieja,takie liczby całkowite dodatnie x i y, że y³< x² < y³+ εy.