23.6.2020, kl 2b Wakacje!
Proszę, rozwiążcie zadania ze sprawdzianów z klasy 2A, 2018/19:
zadania
{www.mimuw.edu.pl/~pbechler/staszic_3a/klasa_2/}
Zadanie 1. Rozwiąż równanie sin(x +5π
2 ) + 2 sin(2x + π
2) = cos(3x + π).
Zadanie 2. Rozwiąż nieróność
log25(6 − x) + 2 log1/√5(6 − x) + log327 0.
Zadanie 3. Znajdź wszystkie wartości a ∈ R, przy których równanie
|1 − ax| = 1 + (1 − 2a)x + ax2 ma dokładnie jeden pierwiastek.
Zadanie 4. Znajdź długość okresu w zapisie dziesiętnym liczby 1/221. Na przykład, dla 2568799900 = 0.257127127127 . . . = 0.25(712) długość okresu wy- nosi 3.
Zadanie 5. Udowodnij, że jeżeli wielomian f (x) = x6+ ax3+ bx2+ cx + d ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste, to a = b = c = d = 0
Zadanie 6. Udowodnij, ze nie istnieją liczby naturalne m, n > 1 takie, że 1021991+ 1031991= mn.
Zadanie 7. Dla jakich dodatnich liczb a prawdziwe jest twierdzenie: dla każ- dej funkcji f , określonej na odcinku [0, 1], ciągłej i takiej, że f (0) = f (1) = 0, równanie f (x + a) = f (x) ma rozwiązanie?
(a) Rozwiąż najpierw przypadek a = 1/2.
(b) Uzasadnij, ze dla a = 1/n, gdzie n ∈ N powyższe twierdzenie jest prawdziwe.
(c) Uzasadnij, ze dla pozostałych a powyższe twierdzenie jest fałszywe.
Zadanie 8. Udowodnij, że 1
1!+ 1 2!+ 1
3!+ 1
4!+ . . . = [1; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, . . .]
([a0; a1, a2, a3, . . .] = a0+a 1
1+ 1
a2+ 1 a3+...
oznacza rozwinięcie w ułamek łań- cuchowy.)
Zadanie 9. Udowodnij, że liczba e nie jest pierwiastkiem równania kwadra- towego o współczynnikach całkowitych.
Zadanie 10. Dla każdego pokolorowania liczb naturalnych w (a) dwa kolory, (b) kilka kolorów znajdą się trzy liczby tego samego koloru, z których jedna jest równa sumie dwóch pozostałych.
Zadanie 11. Ciąg (an) jest określony następująco: a1 = a2 = 1, an+2 = 14an+1− an − 4, n = 1, 2, 3, . . .. Udowodnij, że wszystkie wyrazy tego ciągu są kwadratami liczb naturalnych.
Zadanie 12. Funkcja f : R → R spełnia dla wszystkich a i b nierówność
|f (a) − f (b)| ¬ |a − b|. Udowodnij, że jeśli f (f (f (0))) = 0, to f (0) = 0.
25687 Powodzenia !
