Ćwiczenia nr 7, AM II, 10.11.2017 Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych - ekstrema Zadanie 1. Wyznaczyć kres górny i dolny funkcji f na zbiorze A: (a) f(x, y) = 3x

Ćwiczenia nr 7, AM II, 10.11.2017

Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych - ekstrema Zadanie 1. Wyznaczyć kres górny i dolny funkcji f na zbiorze A:

(a) f(x, y) = 3x²+ 2xy + y², A = {(x, y) : x²+ y²¬ 1},

(b) f(x, y, z) = 6xy − 3xz − 2yz, A = {(x, y, z) : 0 ¬ x, y, z ¬ 1}, (c) f(x, y) = xe^−x2−y2, A = R²,

(d) f(x, y) = _4x2+y^x₂₊₁, A = R²,

(e) f(x, y) = x(y − x)e^−y. Rozważyć dwa przypadki: A = R² oraz A = {(x, y) : −1 ¬ 3x ¬ 2y ¬ 6}.

(f) f(x, y, z) = (x + y + z)e^{−x−2y−3z}, A = {(x, y, z) : x > 0, y > 0, z > 0}, (g) f(x, y) = _4x^xy_2+y²⁻₄¹₊₄, A = {(x, y) : x > 0, y > 0},

(h) f(x, y) = _3x2^x+y+y²+1, A = R².

Zadanie 2. Przypuśćmy, że funkcja różniczkowalna f : R² → R spełnia warunek: dla dowolnego c ∈ R granica

x→±∞lim f(x, c) = 0 =_y→±∞^lim f(c, y). Czy wówczas f musi być ograniczona?

Zadanie 3. Niech A = {(x, y, z) : x²+ y²− z²+ 4 = 0}. Znaleźć w zbiorze A punkt którego odległość od punktu (2, 4, 0) jest najmniejsza.

Zadanie 4. (DOM, 12-13.11.2017) Niech 0 < a < b, n ∈ N. Niech

f(x1, . . . , x_n) = x1x2. . . xn

(a + x1)(x1+ x2) . . . (xn+ b). Znaleźć sup_Af na zbiorze A = {(x1, . . . , xn) : a ¬ x1¬ x2¬ . . . ¬ xn ¬ b}.

Zadanie 5. Utożsamiamy przestrzeń macierzy Matn×n(R) z Rⁿ²; I = diag(1, . . . , 1) ∈ Matn×n(R) jest macierzą identyczności, GLn(R) ⊂ Matn×n(R) oznacza grupę macierzy odwracalnych. Obliczyć

(a) DXf(I), gdzie f : Matn×n(R) → R, f(A) = det A i X ∈ Matn×n(R);

(b) D(X,Y )f(A, B), gdzie f : Matn×n(R) × Matn×n(R) → Matn×n(R), f(A, B) = A · B jest iloczynem macierzy.

(c) D_Xf(A), gdzie f : Mat_n×n(R) → Mat_n×n(R), f(A) = A⁷.

(d) D_{(X,Y )}f(I, I), gdzie f : Mat_n×n(R) × GL_n(R) → Mat_n×n(R), f(A, B) = AB⁻¹.

W powyższych przykładać proszę uzasadnić, że f jest przekształceniem różniczkowalnym i opisać różniczkę jako przekształcenie liniowe.

1