Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 2. Zad.

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 2.

Zad. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb z spełniających podane warunki:

a) ^{Im 1 2}_^



^{ j z}



^3j_^{0 b) Re}



^{z j}



^20

Zad. Narysować zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki:

a) z 1 2j 3, b) 2  z j 4, c) (1 j z)  2 4.

Zad. Narysować zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki:

a) arg ²

6 z 3

  , b) ^arg



^{z 2 j}



^{ , c) arg}



¹



³

j z 2

     

Zad. Korzystając ze wzoru de Moivre’a wyrazić

a) cos 3x przez funkcję cos x; b) sin 6x przez funkcje sin x i cos x.

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Pierwiastkiem stopnia n z liczby z nazywamy każdą liczbę zespoloną, która spełnia równanie

n . w z Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby z oznaczamy ⁿz .

Przykład Dla rozwiązań w mamy 42 lub 2, ⁴1 1 lub 1  Dla rozwiązań w mamy ⁴1{1, , 1,i  i}.

Fakt

Każda liczba zespolona z z (cos jsin ) ma dokładnie n pierwiastków stopnia n:

0 1

{ , , }

n

z  z zn_ ,

gdzie _k ⁿ cos ² k sin ² k , gdzie 0,1, , 1.

z z j k n

n n

         

 

     

Zad. Oblicz

a) ³64, b) 2 j, c) ⁴ 8 8 3 j

Zad. Odgadując jeden z elementów podanych pierwiastków obliczyć pozostałe elementy tych pierwiastków

a)



^{3 5 j}



^{2 , b) 3}



^{1 j}



^{6 , c) 4}



^{3 j}



¹²

W rozwiązaniu wykorzystujemy wzór wyrażający elementy zbioru pierwiastków



0, ,1 , 1



n

z  z z zn_

w zależności od wybranego pierwiastka z , przy czym argument główny ₀ z niekoniecznie ₀ jest najmniejszy:

0

2 2

cos sin , gdzie 1 1

k

k k

z z j k n

n n

 

 

       .

Zad. Znaleźć rozwiązania podanych równań:

a) ^{z6 }



^{2 4 j}



^{6, b)}



^{z j}

 

^{4  z j}



^{4, c) z33z23z j 1}

Postać wykładnicza liczby zespolonej.

Def. (symbol e^j). Dla



 liczbę zespoloną

cos   j sin 

oznaczamy krótko przez

e

j^:

cos sin

j def

e

^

   j 

.

Wtedy

Def. (Wzory Eulera). Mamy:

cos , sin , gdzie

2 2

j x j x j x j x

e e e e

x x x

j

 

 

  

.

1A35 (Fakt: postać wykładnicza liczby zespolonej). Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci wykładniczej:

z  r e

^j, gdzie r0,



 . Liczba

r

jest wówczas modułem liczby

z

, a



jest jej argumentom.

Fakt

(własności symbolu

e

^j). Niech

  

₁, ₂, ₃ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz niech

k

będzie dowolną liczbą całkowitą. Wtedy:

1. j( ^{1 2}) j ¹ j ²

e

^{ }

 e

^

 e

^{ ;}

2.

1 1 2

2

( ) j

j

j

e e

e

  





 ;

3.

( e

^j

)

^k

 e

^jk; 4.

e

^{j(2k)}

 e

^j; 5.

e

^j

 0

^;

6.

e

^j1

 e

^j2

^{ }  

_{1 2}

^ 2 l  dla pewnego l ^

^;

7.

e

^j

 1

;

8.

arg e

^j

   2 l  dla pewnego l 

.

Zad. Stosując postać wykładniczą liczby zespolonej z rozwiązać podane równania;

a)

 

^{z 6 4 z2 , b)}

 

2

3 1

z z z

  .