1. Wyznaczyć przedziały monotoniczności oraz ekstrema następujących funkcji:

Lista nr 8 Elektrotechnika i EiT, sem.I, studia niestacjonarne I stopnia, 2017/18

Zastosowania pochodnych

1. Wyznaczyć przedziały monotoniczności oraz ekstrema następujących funkcji:

a) f (x) = x ³ + 3x ² + 3x, b) f (x) = x ³ − 3x + 5, c) f (x) = x ² (x − 6), d) f (x) = 3 − 2x ² − x ⁴ , e) f (x) = x ²

1 − x f) f (x) = 4x

x ² + 4 , g) f (x) = x ² 2 + 8

x ² . h) f (x) = x ² e ^−x , i) f (x) = e ^−x + e ^2x , j) f (x) = (x ² + 4x + 4)e ^2x , k) f (x) = x ln x, l) f (x) = x ² ln x, m) f (x) = x ³ ln x.

2. Znaleźć punkty przegięcia oraz przedziały wklęsłości i wypukłości krzywych:

a) f (x) = x ³ − 3x ² − 9x + 9, b) f (x) = x + 36x ² − 2x ³ − x ⁴ , c) f (x) = 1

x ² − 4 , d) f (x) = x ² + x − 7 2 − x , e) f (x) = (x ² − x + 2)e ^x , f) f (x) = x ln x, g) f (x) = x ² ln x, h) f (x) = x ³ ln x.

3. Zbadać funkcje i sporządzić ich wykresy:

a) y = x − x ² − 1, 5

2x + 1 , b) y = 1 − x ³

x ² , c) y = x ² + 2x − 15 2 − x . 4. Stosując regułę de l’Hˆ ospitala, obliczyć granice funkcji:

a) lim

x→0

e ^x − e ^−x

x , b) lim

x→0

(e ^x − e ^−x ) ²

x ² cos x , c) lim

x→0

sin x − x cos x

x ³ , d) lim

x→

tg x − 1 sin x − cos x , e) lim

x→

2 sin ² x + sin x − 1

2 sin ² x + 3 sin x + 1 , f) lim

x→0

x ⁻¹

ctg x , g) lim

x→+∞

ln(ln x)

x , h) lim

x→0 (1 − e ^2x ) ctg x, i) lim

x→0

e ^2x − 1

ln(1 + 2x) , j) lim

x→1

 1 ln x − x

ln x



, k) lim

x→

tg 3x cos  1 3 π + x



, l) lim

x→0

x − tg x

x ² tg x .