Funkcje jednej zmiennej - ćwiczenia

Funkcje jednej zmiennej - ćwiczenia

1. Narysuj relacje. Które z nich są funkcjami ?

 

A₁

= (x.y)



R : y = x

²

;

^A2

= (x.y) 



R : y = x

^{2 2 2}

 ;

A₃

= (x.y) R : y = x x

 2









;

 

A₄

= (x.y)



R : y = x - 1

²

;

A₅

= (x.y) R : y = 1

2 ( x + x

2 2

 





) ;

 ^A6

^{= (x.y)} 



R : y + x

² 

1  ;

2. Znaleźć dziedzinę funkcji określonej wzorem:

a f x x

x b f x x

c f x x

). ( ) 4 1; ). ( )arccos(  ); ). ( ) arcsin(log );

2 1

2

2

d f x x ). ( ) arcsinx

 1

1 e). f x( )ln arcsin(2x²); f). f x( ) sinxcosx2; g). f x x h).

x y x x

( ) log( )

sin ; ;

 16 ²   2

i). ylog log (_{2 2} x1); j). yln arcsin(2x²);

k y x

x h z z

z m p t t t

). arccos ; l). ( ) ; ). ( ) log ( );

 

    

1 6 ₃ 2 1

n) f(x) 1x  1x

x x f

o 1

1 ) (

)   p) f(x)ln(x2) r) f(x)5^2x1 3). Podaj okres podstawowy funkcji:

y x y tgx

y x tg x y x x y x x

sin3 ;  ; sin  ; sin sin ; sin sin ;

4 6 4 1

3

1

4 2

4) .Zbadać parzystość funkcji: f x x x g x x x h x x

x k x x

( ) cos ; ( ) ; ( ) log ; ( ) sinx

      ;

 

5 3 3

3

2

5). Z jakich funkcji zbudowane są poniższe funkcje złożone:

f₁ (xsin³ x); f₂ (x³ (1x) );² f₃ (xlntgx); f₄ (xsin (³ 2x1));

6). a). f x( ) x³; g x( ) x 1. Wyznacz f og i gof b). f x( ) x1; g x( )tg x² . Wyznacz of g

c). f(x)3x1; g(x)x²3 Wyznacz g(f(x))(g f)(x) d) f(x) x²3; g(x) x2 Wyznacz g(f(x))(g f)(x) e) f(x)log(x) g(x)10^x Wyznacz g(f(x))(g f)(x) f) f(x)⁵ x; g(x) x⁵ Wyznacz g(f(x))(g f)(x)

g). f x( )sin ;x g x( )log ;x h x( ) 1x². Wyznacz gof oh oraz g h fo o 7). Dane są funkcje: f t

t k u u h x tgx

( ) 1 ; ( )  ; ( )

1 ²

. Znaleźć:

a). f f t( ( )); b). f h( ( )); c). h k u( ( )); d). k h x( ( )); e). k k k( ( ( ))); f). f k h x( ( ( ))); g). f k h( ( ( ))).

4 1

 3 8). Dane są funkcje: f y:  x³x, g y: sin2x. Obliczyć:

f g( ( )); g f( ( )); g f( ( )); f g x( ( )); f f x( ( )); f f f( ( ( )));

4 1 2 1

9). Dana jest funkcja: f x x ( )  x

 1

1 . Znaleźć: f f x f x f x f

x f x

( ); ( ); ( ); ( ) ;

( ).

0 1 1 1

; 1

   

 



10). Obliczyć: 8 1 2 0 4 1 1 3 3

2 4 2

arcsin  arccos  (arctg arctg( ); arccos( )arctg tg( )arcsin(sin);

11a). Znaleźć funkcję odwrotną f ^1, jeżeli funkcja f jest określona wzorem:

a y x

y arctg x y y x

y e ^x

). log ; b).  ; c). arcsinln 2x d). ; arcsin ; e).  ^{arcsin(  )};

2 3

3

2

f). y x g). y x h). i). j).

y arctg x y arctg x w u

      u

2 3 

2 2 2 1

2 3

sin ; log( ); ; ; ;

2

4 ) 1 (

) f x  x

k

x x f

l  

1 ) 1 (

) m) f(x) x²4x x2 n) f(x)2x³16 11b) Zbadać czy poniższe funkcje są różnowartościowe.

x x x f

a) ( ) ² 4 b) f(x)e^x 2 c) f(x)4x³ d) f(x) x³3x e) f(x)53x³ 11c) Wyznaczyć sumę, iloczyn, iloraz funkcji.

2 )

( 2 )

(

) f x  x²  x g x  x

a b) f(x) x1 g(x)3x³2 11d) Narysować wykresy funkcji

9 )

(

) f x  x² 

a b) f(x)(x1)² c) f(x)4x² d) f(x) x² 4x3 d) f(x)x³2 x

x f

e) ( )2cos f) f(x)cos(2x) g) f(x)e^x 2 g) f(x)e^x1 12). Wyznacz x z równania: a y x

x y e ^x

). arcsin 1; b).  ln arccos ^ ;

3 ⁵

13). Rozłożyć funkcje wymierne na ułamki proste:

f x x

x f x x

x x x f x x

x x f x x

x x

( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ;

  

   

  

 

3 5 3 2 3 2 2

1

2

3 2

2 2

4

5 6

14). Obliczyć granice:

a n

n

n

n n n

n n n

n n

). ; ... ( )

... ; ;

lim

^b).

lim

^c).

lim

^d);

lim

n

   

 



    

     





  







3 1

3 1

1 3 5 2 1

1 2 3 1 5

1 4

2

2

e arctgx

x

tgx x

t

x t

x x

x

t

). ; ; ;

sin ;

lim

` ^{f). g).} h).

lim

i).

x 1⁺ x t

lim lim lim









  















1 

1 1

1 1

2 1

2 2

2

3

 2

1

1 2

1 k).

sin ;

).

lim lim









 



 

  ^x

x

x x x

j x ^l).

lim

ⁿ² 2^{n n};

n









3

n 4 3

2 3

).

lim





 











 n

n

m

15). Obliczyć pochodne na podstawie definicji:

a y

x y

x y x y xⁿ

).  ; b). ; c). sin ; d). .

1   

2

1 3

16). Obliczyć pochodne funkcji:

a y x x x

y b y x x

x tgx ). ( ) ln( ) arcsin ^,( ) ?; ). nln ; c). y = 1 ln ;

2sin₂

 1    

2 1

d). yln sin^{5 7} x² e; e y x x

r t e t

a ). arcsin ; f). ( ) a cos ;

 

2

1

1 g). y arctg x h). i).

x y x

e_x y x^sixx

 2  

1 ² ; ; j) y f(x) x² x³ 2

17). Zbadać różniczkowalność funkcji:

a). f x( )³ (x1) ;² b). f x( )³1xsinx 18). Sprawdzić, że funkcja:

a). ye^xsinx spełnia równanie: y^,,2y^, 2y 0.

b). C t ( ) kt

 1

1 spełnia równanie: ^dC

dt  kC². c). y exp( )kt spełnia równanie: y^, ky.

19) Obliczyć pochodną trzeciego rzędu funkcji:

a). y2x³ 4x² 3x2; b). ysin2x; c). ye^x2. 20) Dana jest krzywa y f x

x x e ^x

 ( )  1(  ) ^

2 1

oraz punkt A(1,2+e^-1), Znaleźć styczną i normalną do danej krzywej w punkcie A.

21). Znaleźć równania stycznych i normalnych do krzywych o danych równaniach a).

f x ( )  tg x 3

w punkcie O(0,0)

b). g t t

( )



arcsin



1

2

w punkcie przecięcia się g t( ) z osią Ot c). p u a

a u

( )





8 4

3

2 2 w punkcie o odciętej

u  2 a

d). f

(

x

)

 x²e^x

w

punkcie

( 1 ,

f

( 1 ))

22). Obliczyć długość podstycznej i podnormalnej linii y

 x

 2

1 ² w punkcie x = 1.

23). Znaleźć kąt przecięcia się krzywych: a). ylnx z osią Ox; b). y e^12x i prostej y = 2.

24). Wykazać. że f x arctgx x

( )  arcsin x

2 2

1 ² jest stała w przedziale (1 , + ).

25). Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji określonych wzorami:

a). f x( ) xln ;x b). f t( )t²ln ;t c). h u( )2u² ln ;u

d). g x( ) x e^{2 x2}; e). f x( )x 1x²; f). yln(x 1x²); g)

x y  x² 4

h)

^{y2x312x2 18x2}

i)

e x

x

y  ^{2 2}

j)

xex

y 26). Wykazać nierówności:

a x

x x x x

x x

). ; ln ( )

2 3 1 dla b). dla

1 2 1

1 1

    

 

27). Wyznaczyć ekstrema funkcji:

a f x x x x y x

x y x arcctg x

). ( ) ³ 6 ² 9 4; b).   ; c).   2

2 2 d) y³ 3x² x³

e). f(x) xln(1x); f). f(x)x² x² 2

g) f(x)³ x² ³ (x8)² (ekstrema w 0 i 8 gdzie pochodna nie istnieje i w 4 gdzie f ^'(4)0) 28). Wyznaczyć kres górny i dolny zbioru wartości funkcji:

a f x x x f x x x

). ( ) ( ) x

  w przedziale 0 , 4 ; b).      ` w przedziale -2 , 2

  

2 2

2 1

29). Parkanem o długości 120 m. należy ogrodzić przylegający do domu prostokątny teren o największym polu. Wyznaczyć rozmiary parkanu.

30). W półkole o promieniu R wpisano prostokąt o największym polu. Wyznaczyć rozmiary.

31a). Jaki powinien być stosunek wymiarów puszki do konserw o kształcie walca, aby przy danej objętości V zużyć jak najmniej blachy.

31b) Piechur znajduje się w punkcie A oddalonym od prostej drogi o 6 km i do punktu docelowego B na drodze oddalonego o 10 km . Piechur ma przebyć drogę z punktu A do punktu B ruchem jednostajnym po odcinkach AC i CB.. Na odcinku AC porusza się z prędkością 2 km/h a na odcinku CB z prędkością 4 km/h. Wyznaczyć punkt .C na drodze aby piechur przebył drogę w najkrótszym czasie.

Odp. 4,598

2 4 3 3

46 , 3 3

2    

 t

x

32). Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości wykresów funkcji:

a f x x x g t t

t h u u e ^u

). ( )   ; b). ( ) ; c). ( ) ;

  ^

3

2

2

3 2 2

1 33). Wykorzystując regułę de L’Hospitala obliczyć:

x x

x x x

e x

x x

x

x x tg x

   

  



0 1 0

2

1 2

1 1

lim

_sin ^;

lim

_ln ^;

lim

^{cos ;}

lim

^{( )} 2^;





  ^{ }

x

x x

x

tgx

x x x e x x x x

    x

 





 

0

2

2 1

0 0

1 1

lim

_sin ^{; ;}

lim

^{sin ;}

lim

^{ln cos ;}

x 0

lim

x

x

x

tgx

x

x

x x x x x e





  



 





  

 



2

2 1 1

1 2

lim

^{; ln ;}

lim

^;

lim

1

x 0⁺

lim

^limx0e^32x ₁

x

^x

x

x

2 lim ln



 ^{cos4 1}

lim 3

0 

 x

x

x

34). Wyznaczyć asymptoty krzywych:

4 5 4

) 1 1

).

; 1

b).

; ) 1 ( 2

). ₂

2 3 3





 

 







 x

x y x

e d y c xe

y x

x y

a ^x _x e) _



 







 

6 3 arccos 6

x y x

35). Zbadać przebieg i naszkicować wykres funkcji:

y e y x arctgx f y x x

x y x arcctgx y x

x x y

a ; d). ^x ; e). 2 ; ) ln

1 c). 2 2 ;

b).

; 1 4

). ²

2

2    

 







 ^

36). Wyznaczyć różniczki: d d

t d a

x arctgx (2 sin2 ); ( 1 ; a

   2





  



 

37). Oszacować za pomocą różniczki błąd bezwzględny i względny przy obliczaniu objętości kuli , gdy promień R = 100,1 cm..

38). Napisać wzór Taylora ( przy n = 4 ) dla funkcji f x( )e^x w punkcie x₀  1.

39). Napisać wzór Maclaurina dla funkcji: f x( )sin ;x f x( )cos ;x f x( ) (1 x) .^s 40). Oszacować błędy bezwzględne wzorów przybliżonych:

a e x x x x

x x x x

x x

).   1 !  !  ! dla   ; b).     dla   .

2 3 4 0 1 1 1

2 8 0 1

2 3 4 2

Funkcje wielu zmiennych:

41). Wyznaczyć dziedzinę funkcji, zaznaczyć na płaszczyźnie:

a z x a

y

b z x y x y z xy z x y

).  1  ; b).     ; c). ln( ); d).  3arccos ;x

2

2 2

2

2

e z y

x x y z x x y x y z x x y

).   ln( ); f). ln( - ²) + ln( - 1); g). arcsin( )

         

2

2 2 2

1

1 4 2 3 9

42). Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji z powyższego zadania oraz funkcji:

z u

v z u arctg x y z arctgx y

xy u x y z

x

   y





      

; 1 ; ( ) ; ; cos( ).

3

2 2

43). Znaleźć wskazane pochodne cząstkowe:

a). R u t( , )ln(u²  Autt²) R_u^, , ; b). R_t^, D x t( , ) Rb kx²Rt² D_x^, , D_tt^,, . ^c). p t v( , )me^kt2tv p_tv^,, , p_vv^,, ; d). w R T( , )

 

AR ^a24AT2 w_TT^'' .

44). Znaleźć df jeżeli: a f x y x f r t r

t f x x x x

y

n i

i n

). ( , ) ; b). ( , )arcsin ; c). ( , ,..., ) ;





 





1 2

2

1

45). Znaleźć błąd bezwzględny _T dla T l

2 g i l 2 5 0 1,  , g1000 2, 46). Długość wysokości stożka h = 30 cm. promień podstawy r = 10 cm.. O ile zmieni się objętość stożka, jeżeli powiększyć długość wysokoąści o 3 cm. i zmniejszyć promień o 1 cm..

47). Znaleźć ekstrema funkcji:

a ). z      3 x 6 y x

²

xy y

²

; b). z  y x    y

²

x 6 y ; c). z    x

³

y

³

3 axy ;

48). Znalźć najmniejszą i największą wartość funkcji:

a

).

z

2

x² 

2

y²

w kole

x²  y² 

4 ; b).

z  

4

x²  y²

w kole

x²  y² 

4

49). Znaleźć ekstrema warunkowe funkcji f x y( , ) przy danym warunku g x y( , ) = 0 :

a

).

f x y

( , )

 x² y²

;

g x y

( , )

 xy

1 ; b).

f x y

( , )

 x y

;

g x y

( , )

e^{x y}  xy

1 ;

c

).

f x y

( , )

 x³y³

;

g x y

( , )

  x y

2 ,

x

0 ,

y

0

50). Wyznaczyć pochodną ^dy

dx funkcji uwikłanej z równania:

a). x²  y² 10y w punkcie x = 3; b).

y x e

y

 

x w punkcie x = 1;

c) xcosycos2ycosy. dla y 

2 ; d). y x y

x y y

2   2

 dla 

Całki

1. Obliczyć całki nieoznaczone:

a x dx x x

x dx x xdx dx

x

a x dx dx

x x ) ⁵ b) ( ² ) c) ² d) e) ( x ) f)

4 3

3 2 1 1

 

 





  

g a adx x

x xdx tg x

x dx x x x dx dx

) xln cos

sin cos sin

h) i) j) k) x

1+ x

2

2

2 2 1

2 2

2

2



 







2. Posługując się całkowaniem przez części obliczyć całki:

a)



xcosxdx b)



x²lnxdx c)



lnxdx d) xe



^xdx e)



xlnxdx f)



x e dx^{2 x} g)



xⁿlnxdx h)



x²sinxdx i)



e^xcosxdx j)



a^xcosxdx k)



arcsinxdx l)



arccosxdx m)



(x^{2 1 3}) ^xdx n)



ln (^{2 4}x dx)

3. Posługując się całkowaniem przez podstawianie obliczyć całki:

a axdx x

adx e dx xdx x dx

x

)



cos b) sin



c)



^2 d)



^24 e)



(^23 )⁴

f dx

x e dx a dx

x x xdx xe dx

ax b x

) ( ) g) h) cos (8 ) i) cos sin j)

4 ₂ 0 ₂ ^{2 2}

 

 

^

  

k e xdx x e dx x

x dx x

xdx x

xdx

x x

) cos ln

cos

sin cos sin l) m) n) tg

o)

 

^{2 3}

 

3²



⁴

p e

xdx e

x dx

tgx x

)



cos₂ r)



4. Posługując się wzorem na całkowanie f x

f x'( )dx f x C ( ) ln ( )



obliczyć całki:

a ctgxdx tgxdx x

xdx dx

x x

e e dx

x

) sin x

sin ln



b)



c)



_1 ²² d)



e)



_1

f xdx

x

dx x arctgx

dx

x x

) ( ) arcsin

g) h)

1 ² 1 ² 1 ²

  

5. Obliczyć całki funkcji wymiernych:

a x

x x dx x

x dx x

x x dx

) 2 1 b) c)

5 6 1

4

2 10

2

6

2 2



  



 







d x

x x dx

) ( 2 ) (2 )

1 1

2 2



 



wiedząc, że 2 2

1 1

1 1

1 1

2

2 2 2 2 1 2

x

x x x

x x

x x



  

  

 



( ) ( ) ( )

6. Wyprowadź wzór rekurencyjny:

tg xdx tgx

n tgx dx n N

n

n



^{ (} _⁾₁^{1 }



^{( )}n^{2   \ { }1}

i na podstawie wzoru obliczyć całki: a)



tg xdx² b)



tg xdx⁵ 7. Obliczyć całki nieoznaczone:

x x

dxc

x

 dx



 

 

 



⁴₂

4 9

3 1 x

x + 1

x - 1dx dx x

xe

(1+ x) dx 8

sinx + 4cosx + 5

2 3

2

x

2

sin cos

ln ) ^/ cos

4 3

2 5 2

4 3



^{x xdx}



^{x dx}



_x ^dx



^dx

 

_{ x}

1+ x

lnx - 1

arctgx

x dx

(1- x dx

2

3 2 2

8. Obliczyć z definicji całki oznaczone:

x dx dx

a b



2 sinxdx e

 

0 b

x

0 1

9. Obliczyć całki oznaczone wykorzystując funkcję pierwotną funkcji podcałkowej.

( ) cos

( )

x x dx xdx xdx dx

x x a b x

3

1 3

0 2

2 2 2 2

 1

  







^xe





^dx



^dx



_{1+ cosx}^dx

0 1

-x

0 ln2

0 1

0 a/ b

- /3 /3







x xdx dx e dx dx

x x

dx dx

sin ) x



  

^



_{ }

 





1- x (e 1

x e

2

0 1

x

0

2 x

3

0 3

1 e

0 9

2

16

10. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y = 2x - x² i osią OX.

11. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y = x³ prostą y = 3 i osią OY.

12. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y = lnx prostą x = e i osią OX.

13. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi 4y = x² i y² = 4x . 14. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą xy = 6 i prostą x+y-7 = 0.

15. Wykorzystując zamianę zmiennych i całkowanie przez części obliczyć całki:

1

1 10

2

1 1

  





^{x dz}



dx

 

_x



^{x xdx}



^dx

x dx

2 + 3x + 4 dx

cos x 1+ x

1 4

0 7

1 9

3

0

2

0 1

sin



cos

sin x cos sin

xdx dx xdx e xdx x

x dx x

x

dx dx

x 4

2

0 2

4

2 2

4

3

2 3

1 7

1 arcsin x

x(1- x) x lnx

x

2

0 0

1

1 2

0

4 1

  e





 



 

^



_



16. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót elipsy x a

y b

2

2 2

2 1

  dokoła osi OX. i pole tej elipsy.

17. Obliczyć objętość bryly powstałej przez obrót dokoła osi OX obszaru ograniczonego krzywa xy = 4 prostymi x = 1 i x = 4 i osią OX.

18. Obliczyć objętość i pole powierzchni stożka powstałego przez obrót dokoła osi OX obszaru ograniczonego prostą y = ax dla a  0, prostą x = h dla h  0 oraz osią OX.

19. Obliczyć objętość bryly powstałej przez obrót dokoła osi OY obszaru ograniczonego parabolą y²

= 2x i prostą x = 2 oraz długość łuku tej paraboli ograniczoną tą prostą. . 20. Obliczyć długość łuku krzywej y = lnx w przedziale <1 , 2>

21. Obliczyć obwód elipsy x a

y b

2

2 2

2 1

  . dla a = b ( czy można obliczyć dla a  b ? ). Zadanie rozwiązać bez parametryzacji i za pomocą przedstawienia parametrycznego.

22. Obliczyć pole figury ograniczonej osią OX i łukiem cykloidy oraz długość łuku cykloidy określonej parametrycznie:

x = a(1 – sint) y = a(1 - cost) t   0 ,. 2 

23. Wyznaczyć punkty ekstremalne funkcji a) g(x) = (x x )dx

x 2

0

4 5

 



b) h(x) = (



²)(¹)² 

0

d

x

24. Obliczyć całki (o ile istnieją ) lub stwierdzić: zbieżność, rozbieżność, nieistnienie:

x dx dx dx

x

dx xdx

p 1

3

   





cosxdx

 

sixx

    



x 1

x 1

1 x

dx dx x lnx

e

0 +

3 3

1 +

0 1

1 e

1 +

- -1

2x

0 +

sin