3 Grupa torusa

Grupy: torus i odometr

Na podstawie wykªadu prof. T. Downarowicza

Mateusz Kwa±nicki 2 lipca 2008

Rozdziaª ten ma na celu przypomnienie poj¦cia grupy i jej podstawowych wªasno±ci oraz omówienie dwóch wa»nych przykªadów: torusa i odometru.

1 Denicje

Denicja 1. Trójk¦ hG, e, mi, gdzie G jest niepustym zbiorem, e ∈ G oraz m : G × G → G (najcz¦±ciej zamiast m(a, b) piszemy a · b lub po prostu ab) nazywamy grup¡, je±li speªnione s¡ nast¦puj¡ce warunki:

a(bc) = (ab)c dla wszystkich a, b, c ∈ G, (1a) ea = a dla wszystkich a ∈ G, (1b) dla ka»dego a ∈ G istnieje a⁻¹ ∈ G takie, »e a⁻¹a = e. (1c) Element a⁻¹ nazywamy odwrotno±ci¡ elementu a. Je±li dodatkowo speªniony jest warunek:

ab = ba dla wszystkich a, b ∈ G, (1d) to grup¦ nazywamy przemienn¡ lub abelow¡.

Gdy z kontekstu wynika, jakie dziaªanie mamy na my±li, mówimy po prostu G jest grup¡. Je±li mamy do czynienia z wieloma grupami, czasem dla jasno±ci element neutralny grupy G oznaczamy eG. W przypadku grup przemiennych najcz¦±ciej stosujemy notacj¦ addytywn¡: zamiast m(a, b) oraz a⁻¹ piszemy a + b oraz −a.

Przykªad 2. Grupami przemiennymi s¡:

• Zbiory Z, Q, R, C liczb caªkowitych, wymiernych, rzeczywistych i ze- spolonych z dodawaniem jako dziaªaniem grupowym. Elementem neu- tralnym jest 0.

• Przestrze« Rⁿwektorów n-wymiarowych z dodawaniem wektorów jako dziaªaniem.

• Zbiory Q^∗, R^∗, C^∗ (wzgl¦dnie Q+, R+) liczb wymiernych, rzeczywistych i zespolonych ró»nych od zera (wzgl¦dnie dodatnich) z dziaªaniem mno-

»enia i elementem neutralnym 1.

Gdy a, b, p s¡ liczbami caªkowitymi i p > 0, to oznaczmy przez a +pb reszt¦ z dzielenia a+b przez p oraz przez a·pbreszt¦ z dzielenia a·b przez p. Dziaªania +_p oraz ·p nazywamy dodawaniem i mno»eniem modulo p. Wówczas:

• Zbiór Zp = {0, 1, 2, . . . , p − 1} z dodawaniem modulo p i elementem neutralnym 0 jest grup¡ przemienn¡.

• Zbiór Z^∗p = {k ∈ Z^p : NWD(k, p) = 1}z mno»eniem modulo p i elemen- tem neutralnym 1 jest grup¡ przemienn¡.

Grupami nieprzemiennymi s¡:

• Zbiór SA permutacji zbioru A (tj. ró»nowarto±ciowych odwzorowa«

zbioru A na zbiór A) z operacj¡ skªadania i odwzorowaniem identyczno-

±ciowym jako elementem neutralnym. Grupa ta jest nieprzemienna je±li tylko A ma co najmniej trzy elementy. Gdy A = {0, 1, 2, . . . , n − 1}, to piszemy SA = S_n. Oczywi±cie A mo»e by¢ zbiorem niesko«czonym (np. odcinkiem [0, 1]).

• Zbiór GLn(R) macierzy rzeczywistych n×n nieosobliwych z mno»eniem macierzy (ang. general linear group).

• Zbiór SLn(R) macierzy rzeczywistych n × n o wyznaczniku 1 z mno»e- niem macierzy (ang. special linear group).

Zwykle zakªada si¦ nieco mocniejsze wersje aksjomatów grupy (1). Nasza denicja jest jednak tylko pozornie ubo»sza od tej powszechnie stosowanej.

Dowód tego faktu pozostawiamy jako ¢wiczenie.

‚wiczenie 3. Udowodni¢, »e je±li G jest grup¡, za± a ∈ G, to:

Je±li aa = a, to a = e, (2)

a⁻¹a = aa⁻¹ = e, ea = ae = a,

a⁻¹
−1

= a.

Wykaza¢ równie», »e e jest jedynym elementem maj¡cym wªasno±¢ (1b), za±

a⁻¹ jest jedynym elementem maj¡cym wªasno±¢ (1c).

Denicja 4. Niech G b¦dzie grup¡, a ∈ G. Deniujemy:

a⁰ = e,

aⁿ⁺¹ = aaⁿ dla n ≥ 0, a⁻ⁿ = (aⁿ)⁻¹ dla n > 0.

Warto zauwa»y¢, »e a⁻¹ma teraz dwa znaczenia: element odwrotny dany przez (1c) oraz (−1)-sza pot¦ga zdeniowana w powy»szym ¢wiczeniu; obie denicje s¡ jednak zgodne.

‚wiczenie 5. Sprawdzi¢ (metod¡ indukcji matematycznej), »e zachodz¡

wzory:

a^m+n= a^maⁿ, a^mn = (a^m)ⁿ,

je±li G jest przemienna, to (ab)ⁿ= aⁿbⁿ dla wszystkich a, b ∈ G, m, n ∈ Z.

Gdy grupa jest przemienna i stosujemy notacj¦ addytywn¡, piszemy na zamiast aⁿ. Mo»e to prowadzi¢ do dwuznaczno±ci, gdy elementami grupy s¡ liczby: 2a mo»e wtedy oznacza¢ b¡d¹ zwykªy iloczyn liczb, b¡d¹ drug¡

pot¦g¦ a w grupie, czyli a +Ga. B¦dziemy unika¢ stosowania takiego zapisu w drugim przypadku.

Denicja 6. Podzbiór H grupy G nazywamy podgrup¡, co zapisujemy H <

G, je±li H z dziaªaniem odziedziczonym z G jest grup¡.

Formalnie powinni±my napisa¢: trójk¦ hH, eH, m_Hi nazywamy podgrup¡

grupy hG, eG, m_Gi, je±li H ⊂ G oraz mH(a, b) = m_G(a, b) dla wszystkich a, b ∈ H.

‚wiczenie 7. Udowodni¢, »e je±li hH, eH, mHi jest podgrup¡ hG, eG, mGi, to eH = e_G.

Wskazówka: Skorzysta¢ ze wzoru (2).

Przykªad 8. Niektóre grupy z przykªadu 2 s¡ podgrupami innych:

Z < Q < R < C, Q^∗ < R^∗ < C^∗,

Q+ < R+, Q⁺ < Q^∗, R⁺ < R^∗,

SLn(R) < GLⁿ(R).

‚wiczenie 9. Udowodni¢, »e niepusty pozdbiór H grupy G jest podgrup¡

wtedy i tylko wtedy, gdy ab⁻¹ ∈ G dla wszystkich a, b ∈ H.

Je±li zatem mamy udowodni¢, »e jaki± podzbiór znanej nam grupy (liczb, macierzy etc.) jest podgrup¡, to wystarczy sprawdzi¢ jeden warunek z po- wy»szego ¢wiczenia.

‚wiczenie 10. Niech {Hα : α ∈ A} b¦dzie niepust¡ rodzin¡ podgrup grupy G. Wykaza¢, »e T_α∈AHα jest podgrup¡ grupy G. Wywnioskowa¢ st¡d, »e dla dowolnego podzbioru A ⊂ G istnieje najmniejsza (w sensie relacji zawierania) podgrupa G zawieraj¡ca A.

Tak¡ podgrup¦ nazywamy podgrup¡ generowan¡ przez A i oznaczamy (A).

Je±li G = (A), to zbiór A nazywamy zbiorem generatorów grupy G. Je±li A jest zbiorem jednoelementowym, to G nazywamy grup¡ cykliczn¡.

‚wiczenie 11. Udowodni¢, »e je»eli A jest niepustym zbiorem generatorów G, to:

G =a₁a₂. . . a_n : n ∈ Z+, a_i ∈ A lub a⁻¹i ∈ A dla i = 1, 2, . . . , n . W szczególno±ci gdy G = ({a}) jest grup¡ cykliczn¡, to:

G = {aⁿ : n ∈ Z} .

Ostatnie stwierdzenie cz¦sto przyjmuje si¦ za denicj¦ grupy cyklicznej.

Niesko«czon¡ grup¦ cykliczn¡ nazywamy grup¡ woln¡.

Denicja 12. Rz¦dem grupy G nazywamy liczb¦ elementów G i oznaczamy go |G|. Rz¦dem elementu a ∈ G nazywamy rz¡d podgrupy cyklicznej gene- rowanej przez a. Je±li jest to grupa wolna, to element a tak»e nazywamy wolnym.

Wprowadzimy teraz wiele wa»nych typów odwzorowa« grupy w grup¦.

Denicja 13. Niech G, H b¦d¡ grupami. Odwzorowanie ϕ : G → H nazywamy homomorzmem, je±li

ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) (3)

dla wszystkich a, b ∈ G. Wyró»niamy wiele typów homomorzmów:

• Je±li ϕ(G) = H, to ϕ nazywamy faktoryzacj¡, grup¦ H faktorem grupy G, a grup¦ G rozszerzeniem grupy H.

• Ró»nowarto±ciowy homomorzm nazywamy zanurzeniem.

• Odwracalny homomorzm nazywamy izomorzmem, a dwie grupy, mi¦dzy którymi istnieje izomorzm  grupami izomorcznymi.

• Homomorzm ϕ : G → G nazywamy endomorzmem grupy G, za±

izomorzm ϕ : G → G nazywamy automorzmem grupy G.

Zbiór ker ϕ = {a ∈ G : ϕ(a) = e} nazywamy j¡drem homomorzmu ϕ.

Je±li dla wszystkich faktoryzacji ϕ, ψ : G → H zachodzi ker ϕ = ker ψ, to grup¦ H nazywamy faktorem kanonicznym grupy G.

Zbiór wszystkich endomorzmów grupy G wraz z operacj¡ skªadania jest grup¡ oznaczan¡ End G. Podobnie automorzmy tworz¡ grup¦ ze skªada- niem, oznaczan¡ Aut G; jest to oczywi±cie podgrupa grupy endomorzmów.

Dodajmy, »e w równo±ci (3) pierwsze mno»enie jest dziaªaniem w G, a drugie w H. Równanie to mo»na by te» zapisa¢ w formalnie poprawniejszej, lecz du»o mniej czytelnej postaci:

ϕ(mG(a, b)) = mH(ϕ(a), ϕ(b)).

Przykªad 14. Homomorzmami s¡ nast¦puj¡ce odwzorowania:

• ϕ : Z → Zp, gdzie ϕ(n) jest reszt¡ z dzielenia n przez p. Jest to faktoryzacja kanoniczna o j¡drze ker ϕ = {pn : n ∈ Z} = pZ.

• ϕ : R² → R dany wzorem ϕ(x, y) = x. Nie jest to faktoryzacja kano- niczna, poniewa» ψ : R² → R okre±lony przez ψ(x, y) = y jest równie»

faktoryzacj¡, ale ker ϕ 6= ker ψ.

• ϕ : SL_n(R) → GLn(R) dany wzorem ϕ(M) = M ; ϕ jest zanurzeniem.

• ϕ : R^∗ → R^∗ dany wzorem ϕ(x) = |x|; tak okre±lony ϕ nie jest ani faktoryzacj¡, ani zanurzeniem, ani automorzmem, ale jest endomor- zmem; ker ϕ = {x ∈ R : |x| = 1} = {−1, 1}.

‚wiczenie 15. Niech ϕ : G → H b¦dzie homomorzmem. Wykaza¢, »e:

1. f(e) jest jedno±ci¡ w H oraz f(a⁻¹) = (f (a))⁻¹. Wskazówka: Porównaj z zadaniem 7.

2. ϕ jest ró»nowarto±ciowy (tzn. jest zanurzeniem) wtedy i tylko wtedy, gdy ker ϕ = {e}.

3. ker ϕ jest podgrup¡ grupy G, a ϕ(G) jest podgrup¡ grupy H.

Poni»sze ¢wiczenie zawiera charakteryzacj¦ grup cyklicznych.

‚wiczenie 16. Zaªó»my, »e G jest grup¡ cykliczn¡ generowan¡ przez {a}.

Udowodni¢, »e:

• G jest izomorczne z jedn¡ z grup Z, Zp (p = 1, 2, 3, . . . ).

• Je±li grupa H jest faktorem grupy G, to H jest cykliczna. Je±li G jest grup¡ sko«czon¡, to rz¡d grupy H jest dzielnikiem rz¦du grupy G.

• Ka»da podgrupa H grupy G jest cykliczna. Je±li G jest grup¡ sko«- czon¡, to rz¡d grupy H jest dzielnikiem rz¦du grupy G. Je±li G jest grup¡ woln¡ (ma rz¡d niesko«czony), to tak»e H jest grup¡ woln¡.

Faktoryzacje kanoniczne w grup¦ cykliczn¡ sko«czon¡ maj¡ ciekaw¡ i wa»n¡ charakteryzacj¦:

‚wiczenie 17. Niech p b¦dzie liczb¡ naturaln¡ oraz niech ϕ : G → Zp

b¦dzie homomorzmem. Udowodni¢, »e:

1. ker ϕ ⊃ {a^p : a ∈ G}.

2. Je±li ϕ jest faktoryzacj¡ oraz ker ϕ ⊂ {a^p : a ∈ G}, to ϕ jest faktoryza- cj¡ kanoniczn¡.

Przyjmijmy nast¦puj¡ce oznaczenie: je±li G jest grup¡, g ∈ G oraz A, B ⊂ G, to gA = {ga : a ∈ A}, Ag = {ag : a ∈ A}, AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B}.

Denicja 18. Niech H b¦dzie podgrup¡ G oraz niech g ∈ G. Zbiór gH na- zywamy warstw¡ lewostronn¡ elementu g; podobnie Hg nazywamy warstw¡

prawostronn¡ g.

Liczb¦ ró»nych warstw lewostronnych gH (g ∈ G) nazywamy indeksem podgrupy H w grupie G i oznaczamy (G : H).

Je±li dla ka»dego g ∈ G zachodzi gH = Hg, to podgrup¦ H nazywamy podgrup¡ normaln¡ lub dzielnikiem normalnym, co zapisujemy H / G.

Oczywi±cie ka»da podgrupa grupy przemiennej jest podgrup¡ normaln¡.

Kilka innych podstawowych wªasno±ci wy»ej wprowadzonych poj¦¢ zawartych jest w nast¦puj¡cym ¢wiczeniu.

‚wiczenie 19. Niech H < G. Pokaza¢, »e:

1. Je±li g1, g2 ∈ G, to warstwy g1H oraz g2H s¡ albo rozª¡czne, albo równe. Podobnie warstwy Hg1 i Hg2 je±li s¡ ró»ne, to s¡ rozª¡czne.

2. Liczba warstw lewostronnych jest równa liczbie liczbie warstw prawo- stronnych.

3. Zachodzi twierdzenie Lagrange'a: |G| = |H| · (G : H) (porównaj z

¢wiczeniem 16).

4. Je±li G jest rz¦du sko«czonego, to rz¡d ka»dej podgrupy grupy G oraz rz¡d ka»dego elementu g ∈ G s¡ dzielnikami |G|.

5. Je±li rz¡d elementu g ∈ G jest sko«czony, to jest to najmniejsza liczba naturalna n taka, »e gⁿ = e.

6. Podgrupa H jest normalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego g ∈ G zachodzi gHg⁻¹ ⊂ H.

7. J¡dro ka»dego homomorzmu jest podgrup¡ normaln¡ (porównaj z ¢wi- czeniem 15).

Przykªad 20. Poka»emy, »e nie wszystkie podgrupy s¡ normalne. W tym celu rozwa»my grup¦ S3 permutacji zbioru {0, 1, 2}. Przez hk0, k₁, k₂i rozumiemy przeksztaªcenie przyporz¡dkowuj¡ce liczbie i liczb¦ ki. Niech H = {h0, 1, 2i , h0, 2, 1i}. Wówczas H jest podgrup¡ S3. Sa trzy warstwy lewostronne wzgl¦dem H: H, {h1, 2, 0i , h1, 0, 2i} oraz {h2, 0, 1i , h2, 1, 0i}; s¡

te» trzy warstwy prawostronne: H, {h1, 2, 0i , h2, 1, 0i} i {h2, 0, 1i , h1, 0, 2i}.

Jak wida¢, H nie jest podgrup¡ normaln¡ G.

Twierdzenie 22 ukazuje kluczow¡ wªasno±¢ podgrup normalnych i zarazem wyja±nia pochodzenie nazwy dzielnik normalny.

Iloczyn kartezja«ski jest w wielu teoriach narz¦dziem do tworzenia bar- dziej zªo»onych i bogatszych struktur. Tak jest równie» w teorii grup.

‚wiczenie 21. Zaªó»my, »e H1, H₂ s¡ podgrupami normalnymi grupy G.

Mówimy, »e G jest produktem prostym podgrup H1, H2, je±li H1H₂ = G oraz H₁∩ H₂ = {e}.

Niech G1, G₂ b¦d¡ dowolnymi grupami. Deniujemy produkt prosty grup G₁, G2 jako grup¦ G1× G₂ z dziaªaniem hh1, h₂i · hh⁰₁, h⁰₂i = hh₁h⁰₁, h₂h⁰₂i.

Jaki jest zwi¡zek mi¦dzy tymi denicjami?

Wskazówka: Udowodni¢, »e je±li g1 ∈ G₁, g2 ∈ G₂, to g1g₂ = g₂g₁.

2 Podstawowe twierdzenia

Twierdzenie 22. Niech H b¦dzie podgrup¡ normaln¡ grupy G. Wówczas zbiór warstw {aH : a ∈ G} z dziaªaniem okre±lonym wzorem:

(aH) · (bH) = (ab)H (4)

jest grup¡.

Denicja 23. Je±li H jest dzielnikiem normalnym grupy G, to grup¦ warstw elementów G wzgl¦dem H z dziaªaniem okre±lonym wzorem (4) nazywamy grup¡ ilorazow¡ i oznaczamy symbolem G/H.

Dowód twierdzenia: Musimy udowodni¢, »e wzór (4) prawidªowo okre±la dziaªanie i »e jest to dziaªanie grupowe.

We¹my a⁰ ∈ aH, b⁰ ∈ bH. Zatem a⁰ = ah₁, b⁰ = bh₂ dla pewnych h₁, h₂ ∈ H. Ze wzgl¦du na to, »e H jest podgrup¡ normaln¡, zachodzi Hb = bH, a wi¦c h1b = bh3 dla pewnego h3 ∈ H. Zatem:

(a⁰b⁰)H = (ah₁bh₂)H = (abh₃h₂)H = (ab)(h₃h₂H) = (ab)H.

Oznacza to, »e je±li aH = a⁰H i bH = b⁰H, to (aH) · (bH) = (a⁰H) · (b⁰H). Ponadto dziaªanie okre±lone wzorem (4) speªnia aksjomaty (1), bowiem:

(aH)((bH)(cH)) = (a(bc))H = ((ab)c)H = ((aH)(bH))(cH), (eH)(aH) = (ea)H = aH,

(a⁻¹H)(aH) = (a⁻¹a)H = eH, a wi¦c (aH)⁻¹ = a⁻¹H.

‘ledz¡c uwa»niej powy»szy dowód mo»na zauwa»y¢, »e gdy podgrupa H nie jest normalna, to wzór (4) nie okre±la jednoznacznie mno»enia na warstwach.

Je±li okre±limy relacj¦ R na G poprzez: aRb ⇔ a⁻¹b ∈ H, to warstwa aH elementu a ∈ G jest klas¡ równowa»no±ci [a] elementu a wzgl¦dem relacji R.

Pokazali±my, »e je±li aRa⁰ oraz bRb⁰ (czyli aH = a⁰H oraz bH = b⁰H), to abRa⁰b⁰. T¦ wªasno±¢ nazywa si¦ zgodno±ci¡ relacji R z mno»eniem. Wynika z niej, »e [a] [b] = [ab] dla wszystkich a, b ∈ G. W zwi¡zku z tym cz¦sto zamiast aH pisze si¦ [a].

Przyporz¡dkowanie elementowi a ∈ G jego warstwy [a] ∈ G/H nazy- wane jest kanonicznym homomorzmem grupy G w grup¦ ilorazow¡ G/H.

B¦dziemy je oznaczali liter¡ κ.

Twierdzenie 24. o izomorfizmie. Niech G, H b¦d¡ grupami, za± ϕ : G → H homomorzmem. Oznaczmy K = ker ϕ. Wówczas grupa ilorazowa G/K jest izomorczna z ϕ(G). Ponadto izomorzm mo»e zosta¢ wybrany kanonicznie w nast¦puj¡cym sensie: istnieje izomorzm ψ : G/K → H taki,

»e ψ ◦ κ = ϕ.

Dowód: Okre±lamy ψ([a]) = ϕ(a). Musimy pokaza¢, »e ψ jest poprawnie okre±lone, tzn. warto±¢ ϕ na wszystkich elementach warstwy jest taka sama, oraz »e ψ jest izomorzmem.

Je±li [a] = [b], to a = bk dla pewnego k ∈ K = ker ϕ i ϕ(a) = ϕ(a)ϕ(k) = ϕ(ak) = ϕ(b). To dowodzi poprawno±ci okre±lenia ψ.

Odwzorowanie ψ jest homomorzmem, bo ψ([a] [b]) = ψ([ab]) = ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) = ψ([a])ψ([b]). Ponadto ψ(G/K) = ϕ(G), wi¦c ψ jest na. Je±li ψ([a]) = ψ([b]), to ϕ(a) = ϕ(b), czyli ϕ(a⁻¹b) = e. St¡d a⁻¹b ∈ K, a wi¦c b ∈ aK, czyli [a] = [b], co dowodzi ró»nowarto±ciowo±ci ψ. Zatem ψ jest izomorzmem.

Przykªad 25. Niech p b¦dzie dodatni¡ liczb¡ caªkowit¡. Dla n ∈ Z niech ϕ(n) b¦dzie reszt¡ z dzielenia n przez p. Wówczas ϕ : Z → Zp jest jest

faktoryzacj¡ o j¡drze ker ϕ = {pn : n ∈ Z} = pZ. Na mocy twierdzenia o izomorzmie grupy Z/pZ oraz Zp s¡ izomorczne.

‚wiczenie 26. Z twierdzenia Lagrange'a (cwiczenie 19) oraz twierdzenia o izomorzmie wywnioskowa¢, »e je±li grupa H jest faktorem grupy G rz¦du sko«czonego, to rz¡d H jest dzielnikiem rz¦du G (porównaj z ¢wiczeniem 16).

3 Grupa torusa

Denicja 27. Grup¦ ilorazow¡ T = R/Z nazywamy torusem lub grup¡

torusa.

Torus jest izomorczny z grup¡ G = [0, 1) z dodawaniem modulo 1 (tzn.

a +₁b = a + b − ba + bc). Izomorzmem jest przyporz¡dkowanie G 3 x 7→

[x] ∈ R/Z.

Grupa torusa jest tak»e izomorczna z podgrup¡ H = {z ∈ C^∗ : |z| = 1}

grupy C^∗ niezerowych liczb zespolonych z mno»eniem. Istotnie, izomorzm mi¦dzy G i H jest ustalony przez przyporz¡dkowanie G 3 x 7→ e^2πix ∈ H. Zbiór H jest okr¦giem jednostkowym na pªaszczy¹nie zespolonej, a okr¡g czasem nazywa si¦ jednowymiarowym torusem  st¡d pochodzi nazwa.

W praktyce b¦dziemy uto»samia¢ trzy wy»ej wprowadzonye grupy i okre-

±lali je wspólnie mianem torusa T. W szczególno±ci b¦dziemy mówili x ∈ T oraz z ∈ T, gdy x ∈ [0, 1) oraz z ∈ C, |z| = 1.

‚wiczenie 28. Pokaza¢, »e torus posiada podgrupy izomorczne z Zp (p ≥ 2), Z, Q.

‚wiczenie 29. Udowodni¢, »e grupa Z nie jest faktorem torusa. Podobnie,

»adna z grup Zp (p ≥ 2) nie jest faktorem torusa.

Wskazówka: Dla wszystkich a ∈ Z zachodzi a + a 6= 1. Znale¹¢ analogiczn¡

wªasno±¢ Zp.

‚wiczenie 30. Sklasykowa¢ sko«czone podgrupy torusa.

4 Granica wsteczna i odometr

Poj¦cie granicy wstecznej ci¡gu grup posªu»y nam do zdeniowania odome- tru.Przyjmijmy nast¦puj¡c¡ umow¦: hani oznacza ci¡g ha1, a₂, . . .i. Gdy ϕ jest odwzorowaniem okre±lonym na zbiorze ci¡gów, to zamiast ϕ(hani) b¦- dziemy pisa¢ ϕ hani, by unikn¡¢ zb¦dnego zagnie»d»ania nawiasów.

Denicja 31. Niech hGni b¦dzie ci¡giem grup, a ϕn : Gn+1 → Gn (n = 1, 2, 3, . . .) ci¡giem homomorzmów. Niech G = G1× G₂ × . . .. W zbiorze G deniujemy dziaªanie po osiach, tzn. dla hani , hb_ni ∈ G okre±lamy hani · hbni = hanbni. Wówczas G jest grup¡. Niech:

H = {hani ∈ G : ϕn(an+1) = an dla n = 1, 2, . . .} .

Wówczas H jest podgrup¡ G. Grup¦ H nazywamy granic¡ wsteczn¡ ci¡gu hG_ni, co oznaczamy H = lim←−G_n.

‚wiczenie 32. Sprawdzi¢, »e powy»sza denicja jest poprawna, tzn. »e faktycznie G jest grup¡, a H jej podgrup¡. Jaki jest element neutralny grupy H? Jak wygl¡da element odwrotny w H?

Nale»y doda¢, »e granica wsteczna zale»y nie tylko od grup Gn, lecz tak»e od homomorzmów ϕn, co nie jest uwidocznione w notacji lim←−G_n.

Granica wsteczna podci¡gu ci¡gu grup jest izomorczna z granic¡

wsteczn¡ wyj±ciowego ci¡gu. Nale»y jednak sprecyzowa¢, jakie homomor-

zmy ª¡cz¡ kolejne wyrazy podci¡gu grup.

‚wiczenie 33. Niech hG1i b¦dzie ci¡giem grup, hϕni odpowiednim ci¡- giem homomorzmów. Niech hkni b¦dzie ±ci±le rosn¡cym ci¡giem indeksów.

Okre±lmy ψn : G_kn+1 → G_kn poprzez ψn= ϕ_kn◦ ϕ_kn+1◦ · · · ◦ ϕ_kn+1−1. Wska- za¢ izomorzm mi¦dzy granic¡ wsteczn¡ lim←−G_n wzgl¦dem ϕn oraz granic¡

wsteczn¡ lim←−G_kn wzgl¦dem ψn.

Denicja 34. Niech hpnib¦dzie ±ci±le rosn¡cym ci¡giem liczb speªniaj¡cym warunek pn|p_n+1. Niech Gn = Zpn. Niech ϕn(a) oznacza reszt¦ z dziele- nia a przez pn. Odometrem o bazie hpni nazywamy granic¦ wsteczn¡ ci¡gu hG_nii oznaczamy ∆hpni = lim←−G_n; ci¡g hpni speªniaj¡cy warunek pn|p_n+1 dla wszystkich n nazywamy baz¡ odometru.

Zatem odometr o bazie hpnito zbiór ci¡gów haniliczb naturalnych takich,

»e 0 ≤ an< p_noraz an+1 ≡ a_n (mod p_n)(tzn. an+1− a_njest wielokrotno±ci¡

p_n). Dziaªaniem jest dodawanie po osiach, przy czym na n-tej osi (lub n-tej wspóªrz¦dnej) jet to dodawanie modulo pn.

‚wiczenie 35. Niech ci¡g hpni b¦dzie baz¡ odometru ∆^hpni. Okre±lmy q_n = _p^pn

n−1 dla n = 1, 2, . . . , przyjmuj¡c dla wygody p0 = 1. Niech ∆⁰_hpnib¦dzie zbiorem ci¡gów hani liczb naturalnych takich, »e 0 ≤ an < q_n. W ∆⁰_hpni wprowadzamy dziaªanie w nast¦puj¡cy sposób. Niech hani , hb_ni ∈ ∆⁰_hp

ni. Okre±lmy indukcyjnie:

t₀ = 0,

s_n = a_n+ b_n+ t_n−1, tn = s_n

q_n

 , c_n= s_n− t_nq_n

dla n = 1, 2, . . . . Piszemy hani + hb_ni = hc_ni. Pokaza¢, »e tak okre±lone do- dawanie jest dziaªaniem grupowym oraz »e ∆hpni oraz ∆⁰hp_ni s¡ izomorczne.

Wywnioskowa¢ st¡d, »e odometr jest grup¡ nieprzeliczaln¡, mocy continuum.

Dodawanie w ∆⁰hpni ma bardzo prost¡ interpretacj¦. Przyjmijmy na po- cz¡tek, »e qn = 10dla ka»dego n. Wypiszmy wyrazy ci¡gów hani , hbni ∈ ∆⁰_hp

ni

w nast¦puj¡cy sposób:

. . . a₄ a₃ a₂ a₁ . . . b₄ b₃ b₂ b₁.

Aby uzyska¢ ci¡g hcni = ha_ni + hb_ni musimy doda¢ powy»sze ci¡gi tak, jak dodajemy liczby; tn jest przeniesieniem (tym, co mamy w pami¦ci), a cn

cyfr¡ jedno±ci sumy an, bn i przeniesienia. Gdy qn jest dowolne, post¦pujemy podobnie, w n-tym kroku przyjmuj¡c, »e liczby s¡ zapisane w systemie o podstawie qn.

Ze wzlg¦du na izomorzm mi¦dzy ∆hpnii ∆⁰hp_niodometr nazywa si¦ czasem grup¡ hpni-adyczn¡. B¦dziemy mówili, »e ci¡g hani ∈ ∆hpni jest elementem odometru zapisanym klasycznie, a ci¡g hani ∈ ∆⁰_hp

nijest elementem odometru zapisanym adycznie.

Przykªad 36. Niech pn = 2ⁿ. Wówczas qn= 2.

• W notacji klasycznej:

h1, 3, 3, 11, 27, 59, . . .i + h0, 2, 6, 6, 22, 22, . . .i = h1, 1, 1, 1, 17, 17, . . .i .

• To samo dziaªanie w notacji adycznej:

h1, 1, 0, 1, 1, 1, . . .i + h0, 1, 1, 0, 1, 0, . . .i = h1, 0, 0, 0, 1, 0, . . .i . Cho¢ notacja adyczna jest bardziej intuicyjna, w dowodach wygodniejsza jest klasyczna, ze wzgl¦du na prostot¦ dziaªania.

Zauwa»my jeszcze, »e odometr jest pewnym uogólnieniem grup cyklicz- nych sko«czonych Zp. Odrzu¢my bowiem w denicji odometru warunek ±ci- sªej monotoniczno±ci ci¡gu hpni, »¡daj¡c jedynie, by pn|p_n+1. Otrzymany twór nazywa¢ b¦dziemy odometrem uogólnionym. Je±li lim pn = ∞, to nie otrzymamy niczego nowego: z ci¡gu hpni mo»na wybra¢ ±ci±le rosn¡cy pod- ci¡g hpknii na mocy ¢wiczenia 33 uogólniony odometr ∆hpnijest izomorczny z odometrem ∆hp_kni. Je±li jednak p = lim pn jest sko«czone, to od pew- nego momentu pn jest stale równe p i wówczas ∆^hpnijest izomorczne z Zp. W nast¦pnym rozdziale zobaczymy, »e wiele wªasno±ci grup Zp przenosi si¦

na odometry. Cz¦sto dla wygody b¦dziemy je formuªowa¢ dla odometrów uogólnionych.

5* Wªasno±ci odometru

W tym rozdziale udowodnimy szereg twierdze« o faktoryzacjach odometru w grupy cykliczne i odometry oraz podgrupach odometru. Niestety wiele twierdze« ma do±¢ skomplikowane i dªugie dowody. Potrzebne nam b¦d¡

pewne fakty z elementarnej teorii liczb, których udowodnienie pozostawiamy jako ¢wiczenie. Wcze±niej jednak ustalmy pewne oznaczenia.

Niech p > 0. Zdanie p|a oznacza, »e p jest dzielnikiem a. Piszemy a ≡ b (mod p) je±li a i b daj¡ te same reszty modulo p, czyli p|a − b. Najwi¦kszy wspólny dzielnik liczb a, b oznaczamy NWD(a, b). Mówimy, »e dwie liczby s¡

wzgl¦dnie pierwsze, je±li ich najwi¦kszym wspólnym dzielnikiem jest 1 lub, równowa»nie, nie maj¡ wspólnego czynnika pierwszego.

‚wiczenie 37. Udowodni¢, »e je±li p, q > 0, a, b, a⁰, b⁰ ∈ Z, to:

a ≡ b, a⁰ ≡ b⁰ ⇒ a + a⁰ ≡ b + b⁰, aa⁰ ≡ bb⁰ (mod p), a ≡ b (mod pq) ⇒ a ≡ b (mod p),

aq ≡ bq (mod pq) ⇔ a ≡ b (mod p),

ci p s¡ wzgl¦dnie pierwsze ⇒ ∃c⁻¹∈Zp cc⁻¹ ≡ 1, ci p s¡ wzgl¦dnie pierwsze, ac ≡ bc ⇒ a ≡ c

(5)

Ponadto c⁻¹ w czwartym wzorze jest wyznaczony jednoznacznie. Liczba c⁻¹ jest nazywana odwrotno±ci¡ c modulo p.

Ze wzorów (5) b¦dziemy korzysta¢ bez dodatkowego komentarza.

W badaniu wªasno±ci odometru pomocny b¦dzie lemat o strzaªkach, z pozoru odlegªy od algebry.

Lemat 38. o strzaªkach. Niech hAnib¦dzie ci¡giem niepustych zbiorów sko«czonych. Niech γn : A_n+1 → A_n b¦dzie dowolnym ci¡giem odwzorowa«.

Wówczas istnieje ci¡g hbni taki, »e bn ∈ A_n oraz γn(b_n+1) = b_n dla n = 1, 2, . . ..

Niech An = a¹_n, a²_n, . . . , a^k_nⁿ

. Lemat mówi, »e je±li narysujemy tablic¦

liczb aⁱ_n i poª¡czymy strzaªk¡ ka»dy element (n+1)-szej kolumny z dokªadnie jednym elementem z n-tej kolumny (dokªadniej, ª¡czymy aⁱn+1 z γn(aⁱ_n+1)), to b¦dziemy mogli wybra¢ niesko«czony ci¡g strzaªek takich, »e nast¦pna ko«czy si¦ tam, gdzie poprzednia si¦ zaczyna.

A₁ a¹₁ a²₁ a³₁ ...

a^k₁¹

A₂ a¹₂ a²₂ a³₂ ...

a^k₂²

A₃ a¹₃ a²₃ a³₃ ...

a^k₃³

A₄ a¹₄ a²₄ a³₄ ...

a^k₄⁴

· · ·

γ₁ γ₂ γ₃







 XX XX XX y

XX XX XX y

Z Z Z Z ZZ }







9

 9

Z Z Z Z ZZ }







 XX XX XX y



H HH HH H Y

Dowód polega na wskazaniu sposobu wyboru kolejnych strzaªek.

Dowód lematu: Aby upro±ci¢ zapis dowodu, zdeniujmy dodatkowo zbiór A₀ = {a₀} jako dowolny zbiór jednoelementowy oraz funkcj¦ γ0 : A₁ → A₀ w jedyny mo»liwy sposób, tzn. γ0(a) = a₀ dla wszystkich a ∈ A1.

Dla 0 ≤ n < m okre±lmy Γn,m : A_m → A_njako zªo»enie Γn,m = γ_n◦ γ_n+1◦

· · · ◦ γ_m−1. Oczywi±cie teraz Γn,k ◦ Γ_k,m = Γ_n,m, o ile 0 ≤ n < k < m, oraz Γ_n−1,m = γ_n−1◦ Γ_n,m dla 0 < n < m.

Okre±lmy indukcyjnie ci¡g bn oraz pomocnicze zbiory Bn poprzez:

b₀ = a₀,

B_n = {b ∈ A_n: γ_n−1(b) = b_n−1, ∀_m>n∃_a∈Am b = Γ_n,m(a)} , b_n∈ B_n  dowolny element

dla n > 0. Zbiór Bn zawiera wszystkie te elementy zbioru An, które s¡ poª¡- czone strzaªk¡ z bn−1 oraz gwarantuj¡ mo»liwo±¢ dalszego wyboru strzaªek.

Tak okre±lony ci¡g hbni ma oczywi±cie »¡dan¡ wªasno±¢, pozostaje zatem

tylko udowodni¢ poprawno±¢ tej denicji. Wystarczy pokaza¢, »e w ka»dym kroku zbiór Bn jest niepusty, dzi¦ki czemu mo»liwy jest wybór bn.

Zaªó»my zatem przeciwnie, »e Bn jest zbiorem pustym. To oznacza, »e dla ka»dego b ∈ γn−1⁻¹ ({b_n−1}) istnieje indeks mb taki, »e b /∈ Γn,mb(A_mb). Ale b przebiega zbiór sko«czony, wi¦c istnieje takie m, »e m ≥ mb dla wszystkich rozwa»anych b. Wówczas dla ka»dego b ∈ γn−1⁻¹ ({bn−1}):

b /∈ Γn,m_b(Am_b) ⊃ Γn,m_b◦ Γm_b,m(Am) = Γn,m(Am).

Oznacza to, »e:

γ_n−1⁻¹ ({b_n−1}) ∩ Γ_n,m(A_m) = ∅, czyli:

b_n−1 ∈ γ/ _n−1◦ Γ_n,m(A_m) = Γ_n−1,m(A_m).

Je±li n = 1 jest to niemo»liwe, bo Γn−1,m(A_m) = {a₀} = {b_n−1}. Gdy n > 1, to jest to sprzeczne z denicj¡ bn−1 oraz Bn−1. Zatem zaªo»enie Bn = ∅ musiaªo by¢ faªszywe, co ko«czy dowód.

Do ko«ca tego rozdziaªu zakªadamy, »e hpnijest ustalon¡ baz¡ odometru

∆hpni.

Lemat 39. Niech dane b¦d¡ liczby an oraz q > 0. Je±li dla wszystkich n > 0 zachodzi:

qan+1 ≡ qan (mod pn), to istnieje ci¡g hbni ∈ ∆hpni taki, »e qbn ≡ qa_n (mod p_n).

Inaczej tez¦ lematu mo»na sformuªowa¢ nast¦puj¡co. Niech cn b¦dzie reszt¡ z dzielenia qan przez pn. Je±li hcni ∈ ∆hpni, to istnieje hbni ∈ ∆hpni

taki, »e q hbni = hcni. Nale»y doda¢, »e ogólnie hbni 6= hani, o czym ±wiadczy nast¦puj¡cy przykªad.

Przykªad 40. Niech pn = 2ⁿ, a1 = 0, an= 1 dla n > 1, q = 2. Wówczas:

hc_ni = hqa_ni = h0, 2, 2, . . .i ∈ ∆hpni, lecz:

hani = h0, 1, 1, . . .i /∈ ∆hpni. Wªa±ciwym ci¡giem hbni jest tutaj ci¡g jedynek.

Dowód lematu: Niech An = {a ∈ Zpn : qa ≡ qa_n (mod p_n)}. Zbiory An

s¡ sko«czone i niepuste (bo reszta z dzielenia anprzez pnjest elementem An).

Niech γn(a)oznacza reszt¦ z dzielenia a przez pn. Zauwa»my, »e γn: A_n+1 → A_n. Istotnie, je±li a ∈ An+1, to:

qa ≡ qan+1 (mod pn+1), a wi¦c równie»:

qγ_n(a) ≡ qa ≡ qa_n+1≡ qa_n (mod p_n), czyli γn(a) ∈ A_n.

Mo»emy wi¦c skorzysta¢ z lematu o strzaªkach. W efekcie otrzymujemy ci¡g hbni ∈ ∆_hpni taki, »e bn ∈ A_n, czyli:

qb_n ≡ qa_n (mod p_n) tak, jak »¡dali±my.

Wniosek 41. Je±li p jest liczb¡ wzgl¦dnie pierwsz¡ z pn dla ka»dego n, to dzielenie przez p jest wykonalne w odometrze ∆hpni.

Dowód: Niech in b¦dzie odwrotno±ci¡ p modulo pn (a wi¦c tak¡ liczb¡, »e pi_n ≡ 1 (mod p_n)). We¹my dowolny hcni ∈ ∆hp_ni. Oznaczmy an = i_nc_n. Wówczas pan = pi_nc_n ≡ c_n (mod p_n), czyli na mocy udowodnionego lematu istnieje ci¡g hbni ∈ ∆_hpnitaki, »e pbn≡ pa_n ≡ c_n (mod p_n), co ko«czy dowód.

Teraz zbadamy si¦ faktoryzacje odometru w grupy cykliczne.

Twierdzenie 42. Niech ϕ : ∆hpni → Z^p b¦dzie faktoryzacj¡. Wówczas dla pewnego n zachodzi p|pn.

Dowód: Rozumowanie podzielimy na cztery cz¦±ci.

1. Niech qn = NWD(p, p_n) oraz q = lim qn. Granica istnieje, poniewa»

ci¡g qn jest niemalej¡cy (nawet qn|q_n+1) i ograniczony przez p. Jest to ci¡g liczb caªkowitych, wi¦c od pewnego miejsca jest staªy. Niech wi¦c k b¦dzie tak du»e, »e q = qk = NWD(p, p_k). Poka»emy, »e q = p.

Wówczas p|pk tak, jak chcieli±my.

2. Ustalmy n. Liczby _q^p_n i ^p_qⁿ_n s¡ caªkowite i wzgl¦dnie pierwsze, wi¦c istnieje odwrotno±¢ pierwszej modulo druga, tzn. liczba in taka, »e:

p

q_ni_n ≡ 1 (mod p_n q_n).

St¡d:

pi_n≡ q_n (mod p_n).

Zauwa»my, »e qn|q. Niech jn = _q^q

ni_n. Wówczas:

pj_n≡ q (mod p_n).

Wobec tego, »e pn|p_n+1, zachodzi:

qj_n+1≡ (pj_n)j_n+1= (pj_n+1)j_n≡ qj_n (mod p_n).

3. Ustalmy dowolny ci¡g hani ∈ ∆hp_ni. Niechea_n = j_na_n. Wówczas:

qean+1 = (qjn+1)an+1≡ (qjn)an ≡ qean (mod pn),

zatem mo»emy zastosowa¢ lemat 39 dla ci¡gu hea_ni i q. Otrzymamy ci¡g hbni ∈ ∆hpni taki, »e qbn≡ qea_n (mod p_n). St¡d:

pbn = p

qqbn≡ p

qqean ≡ pjnan ≡ qan (mod pn), co oznacza, »e p · hbni = q · ha_ni.

4. Wybierzmy w poprzednim kroku hani ∈ ∆hpni tak, by ϕ hani = 1. Wówczas:

0 ≡ p · ϕ hb_ni ≡ q · ϕ ha_ni ≡ q (mod p).

Oznacza to, »e p|q. Ale q = NWD(p, pk), wi¦c równie» q|p. St¡d p = q, co ko«czy dowód.

Twierdzenie 43. Niech p b¦dzie dzielnikiem pkdla pewnego k. Niech ϕ hani b¦dzie reszt¡ z dzielenia ak przez p. Wówczas ϕ : ∆hpni → Zp jest kanoniczn¡

faktoryzacj¡ o j¡drze:

ker ϕ =hani ∈ ∆hpni : p|ak . (6)

Dowód: Sprawdzenie, »e ϕ jest faktoryzacj¡ pozostawiamy jako ¢wicze- nie. Pozostaje pokaza¢ kanoniczno±¢ ϕ. Zgodnie z ¢wiczeniem 17 wystarczy pokaza¢, »e je±li hani ∈ ker ϕ, to istnieje hbni ∈ ∆hpni taki, »e pk· hb_ni = ha_ni.

We¹my zatem hani ∈ ker ϕ. Wówczas p|ak. Dla n > k zachodzi ak ≡ a_n (mod p_k), wi¦c równie» p|an. Niech an= pea_ndla n ≥ k. Okre±lmy dodatkowo ean =eak dla n < k. Zachodzi:

pea_n ≡ a_n (mod p_n)

dla wszystkich n. Istotnie, dla n ≥ k powy»sze przystawanie jest równo±ci¡, a dla n < k wynika z nast¦puj¡cego rachunku:

pean = peak = ak≡ an (mod pn).

Zatem:

pea_n+1≡ a_n+1≡ a_n ≡ pea_n (mod p_n).

Mo»emy zatem zastosowa¢ lemat 39 do ci¡gu hea_ni i liczby p. Otrzymujemy ci¡g hbni ∈ ∆_hpni taki, »e: pbn≡ pea_n = a_n (mod p_n), tzn. p · hbni = ha_ni. Wniosek 44. Dla ka»dego n grupa Zpn jest faktorem kanonicznym odometru

∆hpni. J¡drem ka»dej faktoryzacji ∆hpni w Zpn jest zbiór tych ci¡gów hani ∈

∆_hpni, »e a1 = a₂ = · · · = a_n = 0.

Twierdzenie 45. Grupa Z nie jest faktorem odometru ∆hpni.

Dowód: Zaªó»my wbrew tezie, »e ϕ : ∆hp_ni→ Z jest faktoryzacj¡. Ustalmy k. Niech κk : Z → Zpk b¦dzie faktoryzacj¡ (na przykªad niech κk(a) b¦dzie reszt¡ z dzielenia a przez pk). Okre±lmy ϕk = κ_k◦ ϕ. Wówczas ϕk : ∆_hpni → Zpk jest faktoryzacj¡ ∆hp_niw Zpk. Na mocy wniosku 44 ϕk jest faktoryzacj¡

kanoniczn¡ i ma j¡dro:

ker ϕk =hani ∈ ∆hpni: a1 = a2 = · · · = ak = 0 .

Je±li ϕ hani = 0, to tak»e ϕkha_ni = κ_k(0) = 0, wi¦c ker ϕ ⊂ ker ϕk. Tak jest dla ka»dego k, wi¦c:

ker ϕ ⊂

∞

\

k=1

ker ϕk = {h0, 0, . . .i} .

Oznacza to, »e ϕ jest izomorzmem. Jest to niemo»liwe, bo zbiór Z jest przeliczalny, a ∆^hpninie.

Analogiczne wyniki s¡ prawdziwe tak»e dla faktoryzacji odometru ∆hpniw odometr ∆hqni.

Twierdzenie 46. Je±li odometr ∆^hqni jest faktorem odometru ∆^hpni, to speªniony jest nast¦puj¡cy warunek:

dla ka»dego n istnieje m takie, »e qn|p_m. (7)

Dowód : Zaªó»my, »e ϕ : ∆hpni → ∆_hqni jest faktoryzacj¡. Ustalmy k.

Niech ψk : ∆hq_ni → Zqk b¦dzie faktoryzacj¡ dan¡ wzorem ψkhb_ni = b_k. Niech ϕk = ψ_k ◦ ϕ. Wówczas ϕk jest faktoryzacj¡ ∆hpniw Zqk, wi¦c, na mocy twierdzenia 42, dla pewnego m zachodzi qk|p_m. Wobec dowolno±ci k, zachodzi warunek (7).

Twierdzenie 47. Je±li warunek (7) jest speªniony, to ∆hqni jest faktorem kanonicznym odometru ∆hpni i j¡drem ka»dej faktoryzacji jest:

ha_ni ∈ ∆hpni: dla ka»dego n istnieje m takie, »e qn|a_m . (8)

Dowód: Zaªó»my, »e warunek (7) jest speªniony. Skonstruujemy faktoryza- cj¦ w kilku krokach.

1. Dla ka»dego n dobierzmy mn tak, by qn|p_mn, »¡daj¡c dodatkowo, by m_n byª ci¡giem ±ci±le rosn¡cym (mo»emy tak zrobi¢, bo hpnijest baz¡

odometru). Niech p⁰_n = p_mn. Okre±limy faktoryzacj¦ ϕ : ∆hp_ni → ∆hq_ni

jako zªo»enie dwóch faktoryzacji: σ : ∆hpni → ∆hp⁰_ni oraz τ : ∆hp⁰_ni →

∆_hqni.

2. Niech σ hani = ha_mni; σ jest izomorzmem (porównaj z ¢wiczeniem 33). W szczególno±ci σ jest faktoryzacj¡.

3. Niech τk : ∆hp⁰_ni → Zqk b¦dzie kanoniczn¡ faktoryzacj¡ tak¡, jak w twierdzeniu 43, tzn. niech τkha_nib¦dzie reszt¡ z dzielenia ak przez qk. Deniujemy τ : ∆hp⁰_ni → ∆hqni wzorem:

τ ha_ni = hτ_nha_nii = hτ₁ha_ni , τ₂ha_ni , . . .i . Ze wzgl¦du na qk|qk+1 oraz qk|p⁰_k zachodzi:

τ_k+1ha_ni ≡ a_k+1 ≡ a_k≡ τ_kha_ni (mod q_k),

wi¦c istotnie τ hani ∈ ∆hqni. Poniewa» ka»de τk jest homomorzmem, wi¦c równie» τ jest homomorzmem. Trzeba wykaza¢, »e τ jest na.

Skorzystamy z lematu o strzaªkach.

4. Niech hani ∈ ∆hq_ni. Okre±lmy:

A_n =a ∈ Zp⁰_n : a ≡ a_n (mod q_n)

i niech γn(a) oznacza reszt¦ z dzielenia a przez p⁰n. We¹my a ∈ An+1. Poniewa» qn|q_n+1, wi¦c a ≡ an+1 (mod q_n). Wobec qn|p⁰_n otrzymujemy γn(a) ≡ a (mod qn). Ponadto hani ∈ ∆hqni, wi¦c an+1 ≡ an (mod qn). Zatem:

γ_n(a) ≡ a ≡ a_n+1≡ a_n (mod q_n), czyli γn: A_n+1 → A_n.

5. Mo»emy zatem zastosowa¢ lemat o strzaªkach dla zbiorów An i funkcji γ_n. Otrzymamy ci¡g hbni taki, »e bk ∈ A_k i γk(b_k+1) = b_k. Drugi warunek oznacza, »e bk+1 ≡ b_k (mod p⁰_k), czyli hbni ∈ ∆hp⁰_ni. Z pierwszy wynika, »e bk ≡ a_k (mod q_k), a wi¦c τkhb_ni = a_k, czyli τ hbni = ha_ni. Zatem τ jest na. Wynika st¡d, »e ϕ = τ ◦ σ jest szukan¡ faktoryzacj¡.

Pozostaje uzasadni¢, »e skonstruowana faktoryzacja jest kanoniczna.

Grupy ∆hpnii ∆hp⁰_ni s¡ izomorczne, wi¦c ∆hqni jest faktorem kanonicznym

∆hpniwtedy i tylko wtedy, gdy jest faktorem kanonicznym ∆hp⁰_ni. Wystar- czy zatem udodwoni¢, τ jest faktoryzacj¡ kanoniczn¡. Rozumowanie znów podzielimy na kilka cz¦±ci.

1. J¡dro τ ma posta¢:

ker τ =hbni ∈ ∆hp⁰_ni : τkhbni = 0 dla wszystkich k =

∞

\

k=1

ker τk.

2. Okre±lmy ψk : ∆hqni→ Zqk wzorem ψkhb_ni = b_k. Wówczas:

ker ψ_k=hb_ni ∈ ∆hqni : b₁ = b₂ = · · · = b_k = 0 ,

∞

\

k=1

ker ψ_k = {h0, 0, . . .i} .

3. Niech teraz eτ : ∆hp⁰_ni → ∆hqni b¦dzie dowoln¡ faktoryzacj¡. Okre±lmy eτ_k= ψ_k◦τe. Je±lieτ ha_ni = 0, toeτ_kha_ni = 0, wi¦c kereτ ⊂ kereτ_k. Zatem:

kereτ ⊂

∞

\

k=1

kereτ_k.

Z drugiej strony zaªó»my, »e hani ∈ kereτ_k dla wszystkich k. Oznaczmy hb_ni =eτ ha_ni. Wówczas ψkhb_ni =eτ_kha_ni = 0, czyli:

hb_ni ∈

∞

\

k=1

ker ψ_k = {h0, 0, . . .i} , a wi¦c hani ∈ kereτ. Pokazali±my zatem, »e:

kereτ =

∞

\

k=1

kereτ_k.

4. Faktoryzacje τk i eτk s¡ kanoniczne na mocy twierdzenia 43, a wi¦c ker τ_k = ker ψ_k dla wszystkich k. St¡d:

ker τ =

∞

\

k=1

ker τk=

∞

\

k=1

kereτk = kereτ . To oznacza, »e τ jest faktoryzacj¡ kanoniczn¡.

Wªasno±¢ (7) mo»na interpretowa¢ jako swego rodzaju podzielno±¢ ci¡gu hp_ni przez ci¡g hqni. Pokazali±my, »e odometr o bazie hqni jest faktorem odometru o bazie hpniwtedy i tylko wtedy, gdy hqnidzieli hpni (porównaj z ¢wiczeniem 16).

Powy»sze twierdzenie ma trzy bardzo interesuj¡ce konsekwencje, podane poni»ej w formie ¢wicze«.

‚wiczenie 48. Wskaza¢ odometr b¦d¡cy wspólnym rozszerzeniem wszyst- kich odometrów.

‚wiczenie 49. Pokaza¢, »e ka»da faktoryzacja odometru ∆hpniw siebie jest izomorzmem, tzn. je±li homomorzm ∆hpni w ∆hpni jest na, to jest ró»- nowarto±ciowy. Wskaza¢ przykªad, »e przeciwna implikacja nie zawsze jest prawdziwa, tj. znale¹¢ odometr ∆hpni oraz ró»nowarto±ciowy homomorzm

∆_hpni w ∆hpni, który nie jest na.

Denicja 50. Niech P oznacza zbiór liczb pierwszych. Je±li hpni jest baz¡

odometru uogólnionego, to dla ka»dej liczby p ∈ P okre±lamy:

α(p) = supk : p^k|p_n dla pewnego n

(dopuszczamy oczywi±cie αp = ∞). Funkcj¦ α : P → N nazywamy funkcj¡

charakterystyczn¡ odometru ∆hpni. W przypadku, gdy ∆hpni redukuje si¦

do grupy cyklicznej Zp, mówimy tak»e, »e α jest funkcj¡ charakterystyczn¡

grupy Zp.

‚wiczenie 51. Niech α, β b¦d¡ funkcjami charakterystycznymi odometrów

∆_hpni i ∆hqni. Udowodni¢, »e:

1. odometr ∆hq_ni jest faktorem odometru ∆hp_ni wtedy i tylko wtedy, gdy α_p ≥ β_p dla ka»dego p ∈ P,

2. odometry ∆hpnii ∆hqnis¡ izomorczne wtedy i tylko wtedy, gdy αp = β_p dla ka»dego p ∈ P.

Zatem odometr jest w peªni charakteryzowany przez maksymalne wy- kªadniki, w jakich liczby pierwsze dziel¡ elementy jego bazy.

Dla kompletu dodajmy, »e nie wszystkie faktoryzacje odometru s¡ odo- metrami uogólnionymi (tzn. odometrami lub sko«czonymi grupami cyklicz- nymi), co wynika z dalszych twierdze« tego rozdziaªu (dokªadniej ¢wiczenia 52 i twierdzenia 55), nie ma wi¦c peªnej analogii z grupami cyklicznymi.

W dalszej cz¦±ci zbadamy podgrupy odometru.

‚wiczenie 52. Pokaza¢, »e odometr (zakªadamy ±cisª¡ monotoniczno±¢

ci¡gu hpni!) posiada podgrup¦ cykliczn¡ woln¡, tzn. izomorczn¡ z Z.

Twierdzenie 53. Je±li odometr ∆hpniposiada podgrup¦ cykliczn¡ rz¦du p to speªniony jest nast¦puj¡cy warunek:

Istnieje m takie, »e p|pm oraz NWD



p,p_n+1 p_n



= 1 gdy n ≥ m. (9)

Dowód: Zaªó»my, »e G < ∆hpnijest podgrup¡ cykliczn¡ rz¦du p generowan¡

przez hani. Je±li p = 1, to warunek (9) jest speªniony; przyjmijmy wi¦c,

»e p > 1. Wiemy, »e G = {k · hani : k = 0, 1, . . . , p − 1}. Rozumowanie podzielimy na kilka kroków.

1. Niech m b¦dzie tak du»e, »e liczby kam daj¡ ró»ne reszty modulo pm

dla k = 0, 1, . . . , p − 1. Taki wybór jest mo»liwy; zaªó»my bowiem przeciwnie, »e dla ka»dego n istnieje kntakie, »e 0 < kn< poraz kna_n≡

0 (mod p_n). Ci¡g hkniprzyjmuje pewn¡ warto±¢ k niesko«czenie wiele razy, a wi¦c dla niesko«czenie wielu n zachodzi kan ≡ 0 (mod p_n), przez co k · hani = h0, 0, . . .i, wbrew zaªo»eniu.

2. Dla ka»dego n ≥ m liczby kan (k = 0, 1, . . . , p − 1) daj¡ ró»ne reszty modulo pn, bo kan ≡ la_n (mod p_n) implikuje kam ≡ la_m (mod p_m), czyli k = l na mocy poprzedniego punktu.

3. Poniewa» pan ≡ 0 (mod p_n), wi¦c pan = c_np_n dla pewnych liczb cn. Ponadto:

p

NWD(cn, p)a_n= c_n

NWD(cn, p)p_n≡ 0 (mod p_n),

wi¦c na mocy poprzedniego punktu _NWD(c^p _n,p) jest wielokrotno±ci¡ p, czyli NWD(cn, p) = 1.

4. Poniewa» pn| (a_n+1− a_n), wi¦c:

pp_n  

(pa_n+1− pa_n) = c_n+1p_n+1− c_np_n=



c_n+1− c_np_n+1 pn

 p_n,

sk¡d p  



c_n+1− c_n^pn+1_p

n . Zatem:

c_n+1 ≡ c_np_n+1 pn

(mod p).

Lewa strona jest wzgl¦dnie pierwsza z p (poprzedni punkt), wi¦c prawa strona równie». W szczególno±ci NWD

p,^pn+1_p

n



= 1, czyli (9).

Twierdzenie 54. Je±li warunek (9) zachodzi, to ∆hpniposiada jedyn¡ pod- grup¦ cykliczn¡ rz¦du p.

Dowód: Niech m b¦dzie takie, jak w warunku (9). Znów teza jest oczywi-

±cie speªniona, gdy p = 1, rozwa»my wi¦c przypadek p > 1. Rozumowanie podzielimy na kilka kroków. Wyznaczymy wszystkie elementy rz¦du p i po- ka»emy, »e wszystkie generuj¡ t¦ sam¡ podgrup¦ cykliczn¡.

1. Niech A = {a ∈ Zp : NWD(a, p) = 1}. Wybierzmy a ∈ A.

2. Niech m b¦dzie takie, jak we wzorze (9). Zdeniujemy ci¡g hani tak, by am = ^ap_p^m oraz dla wszystkich n:

0 ≤ a_n < p_n, a_n+1 ≡ a_n (mod p_n), pa_n ≡ 0 (mod p_n).

3. Okre±lmy am = ^ap_p^m oraz niech an b¦dzie reszt¡ z dzielenia am przez p_n dla n = 1, 2, . . . , m − 1. Zauwa»my, »e warunek z punktu 2 jest speªniony dla wªa±nie zdeniowanych wyrazów ci¡gu. Pozostaª¡ cz¦±¢

ci¡gu okre±limy indukcyjnie.

4. Zaªó»my, »e okre±lone s¡ ju» a1, a₂, . . . , a_n, gdzie n ≥ m i speªniaj¡ one warunek z punktu 2. Rozwa»my liczby:

a_n+ kp_n dla k = 0, 1, . . . , p_n+1 p_n − 1.

Wszystkie s¡ elementami Zpn+1 i wszystkie daj¡ reszt¦ anprzy dzieleniu przez pn.

Skoro pan ≡ 0 (mod p_n), wi¦c pan = c_np_n dla pewnego cn. Zatem dla k = 0, 1, . . . ,

pn+1

pn − 1 zachodzi:

p(a_n+ kp_n) = pa_n+ kpp_n = c_np_n+ kpp_n= (c_n+ kp)p_n. Ale NWD

p,^pn+1_p

n



= 1, wi¦c dla k = 0, 1, . . . ,

pn+1

pn − 1 liczby (cn+ kp) daj¡ ró»ne reszty modulo ^pn+1_pn . Zatem dokªadnie jedna z nich daje reszt¦ zero. Niech wi¦c:

0 ≡ cn+ knp (mod p_n+1 p_n ).

Zatem:

0 ≡ p_n(c_n+ k_np) = p (a_n+ k_np_n) (mod p_n+1).

Zdeniujemy an+1 = a_n+ k_np_n. Na mocy powy»szego przystawania, warunek z punktu 2 pozostaje speªniony.

5. Dla ka»dego a ∈ A okre±lili±my wi¦c ci¡g hani ∈ ∆hp_nitaki, »e p·hani = h0, 0, . . .i. Ponadto dla 0 < k < p liczba p nie jest dzielnikiem ka, wi¦c p_m nie jest dzielnikiem ^kap_p^m = ka_m, czyli k · hani 6= h0, 0, . . .i. Oznacza to, »e hanijest elementem rz¦du p.

6. Warunek z punktu 2 jest konieczny na to, by hanibyª elementem rz¦du p. Poniewa» jednak wybór kn byª jednoznaczny, wi¦c hani jest zdeter- minowany przez warto±¢ m-tego wyrazu.

7. W punkcie 3. dowodu twierdzenia 53 wykazali±my, »e je±li hbni jest elementem rz¦du p, to pbm = c_mp_m dla pewnego cm ∈ A. Zatem skonstruowali±my wszystkie elementy rz¦du p odometru ∆hpni.

8. Liczba elementów rz¦du p w ka»dej grupie cyklicznej rz¦du p jest równa mocy zbioru A, zatem rozwa»any odometr mo»e posiada¢ tylko jedn¡

podgrup¦ cykliczn¡ rz¦du p. To ko«czy dowód twierdzenia.

Warunek (9) mo»na du»o pro±ciej wyrazi¢ w j¦zyku funkcji charaktery- stycznych. Je±li α, γ oznaczaj¡ funkcje charakterystyczne ∆hpnii Zp, to ∆hpni

posiada podgrup¦ izomorczn¡ z Zp wtedy i tylko wtedy, gdy:

γ(p) ≤ α(p) dla ka»dego p ∈ P, α(p) = ∞ ⇒ γ(p) = 0.

Mo»na pokaza¢, »e skonstruowana powy»ej podgrupa cykliczna jest j¡- drem (kanonicznej) faktoryzacji odometru ∆hpniw odometr ∆hqm+ni, gdzie q_n = ^p_pⁿ dla n ≥ m. W istocie mo»na pokaza¢ du»o wi¦cej.

Przypomnijmy, »e grup¦ cykliczn¡ Zp mo»emy uto»samia¢ z odometrem uogólnionym o bazie hpni, gdzie pn= p.

Twierdzenie 55. Zaªó»my, »e odometr uogólniony ∆hq_ni, jest faktorem

∆hpni. Wówczas j¡dro ka»dej faktoryzacji ∆hpni w ∆hqni (dane wzorem (8)) jest izomorczne z pewnym odometrem uogólnionym.

Dokªadniej, faktoryzacja odometru ∆hp_ni w odometr uogólniony o bazie hq_ni ma j¡dro izomorczne z odometrem uogólnionym o bazie hsni, gdzie:

s_k = p_k

lim_n→∞NWD(p_k, q_n).

Dowód: Znów podzielimy rozumowanie na pewn¡ liczb¦ cz¦±ci.

1. Faktoryzacja ∆hpni w ∆hqni jest kanoniczna na mocy twierdze« 43 oraz 47. Ponadto dla ka»dego n istnieje mn taki, »e qn|p_mn; bez straty ogólno±ci mo»emy przyj¡¢, »e hmnijest ±ci±le rosn¡cy. Niech p⁰_n= p_mn;