Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne.

(1)

Typy zbieżności zmiennych losowych

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne.

6.1. Typy zbieżności zmiennych losowych

Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska

(2)

XIX/XX wiek - definicja częstościowa

Definicją częstościowa prawdopodobieństwa zdarzenia ω p(ω) = lim

n→∞

#(wystąpień ω w n kolejnych powtórzeniach eksp.)

n .

Wady:

...

nie ma pewności, że granica istnieje.

SUKCES: zachodzi ω PORAŻKA: nie zachodzi ω.

Ω – zbiór nieskończonych ciągów prób Bernoulliego. Xn := #(wyst. ω w n powt. eksp.)

n = #(SUKCESÓW w n pierwszych próbach) n

X_n : Ω → R, n = 1, 2, 3, . . . są ciągem zmiennych losowych Co to znaczy lim_n→∞X_n= p?

(3)

XIX/XX wiek - definicja częstościowa

Definicją częstościowa prawdopodobieństwa zdarzenia ω p(ω) = lim

n→∞

#(wystąpień ω w n kolejnych powtórzeniach eksp.)

n .

Teraz jesteśmy mądrzejsi!!!

SUKCES: zachodzi ω PORAŻKA: nie zachodzi ω.

Ω – zbiór nieskończonych ciągów prób Bernoulliego.

Xn:= #(wyst. ω w n powt. eksp.)

n = #(SUKCESÓW w n pierwszych próbach) n

X_n: Ω → R, n = 1, 2, 3, . . . są ciągem zmiennych losowych Co to znaczy limn→∞Xn= p?

(4)

i jeszcze jedno przypomnienie.

Niech

Xn∼ Bin(n, p), gdzie np → λ, λ– stała.

Pokazaliśmy „na palcach”, że dla ustalonego k

n→∞lim P (Xn= k) = P (X = k) , dla zmiennej losowej X ∼ Po(λ) o rozkładzie Poissona.

Czy to znaczy, że Xn→ X przy n → ∞?

Czy X_n→ X , przy n → ∞,dla z.l. X o jakimś rozkładzie?

(5)

i jeszcze jedno przypomnienie.

Niech

Xn∼ Bin(n, p), gdzie np → λ, λ– stała.

Pokazaliśmy „na palcach”, że dla ustalonego k

n→∞lim P (Xn= k) = P (X = k) , dla zmiennej losowej X ∼ Po(λ) o rozkładzie Poissona.

Czy to znaczy, że Xn→ X przy n → ∞?

A, co jeśli X_n∼ Bin(n, p), p-stałe i n → ∞?

Czy X_n→ X , przy n → ∞,dla z.l. X o jakimś rozkładzie?

(6)

Typy zbieżności

Niech {X_n}^∞_n=1 będzie ciągiem zmiennych losowych. Mówimy, że Xn dąży do zmiennej losowej X

z prawdopodobieństwem jeden/prawie na pewno (ozn. Xn

−−→ X ), gdyp.n.

P

{ω : lim

n→∞Xn(ω) = X (ω)}= 1 według prawdopodobieństwa (ozn. Xn P

−→ X ), gdy

∀_ε>0 lim

n→∞P (|Xn− X | > ε) = 0.

według p–tego momentu(ozn. Xn L^p

−→ X ), 0 < p < ∞, gdy

n→∞lim E|Xn− X |^p= 0.

(7)

Typy zbieżności zmiennych losowych Typy zbieżności zmiennych losowych

Szczypta teorii miary itp.

Odpowiedniki typów zbieżności w teorii miary

zbieżność z prawdopodobieństwem jeden/prawie na pewno

=zbieżność prawie wszędzie;

zbieżność według prawdopodobieństwa

=zbieżność według miary;

według p–tego momentu

=zbieżność w L^p

(8)

Typy zbieżności - c.d.

Niech {X_n}^∞_n=1 będzie ciągiem zdarzeń losowych. Mówimy, że X_n dąży do zmiennej losowej X

prawie na pewno, Xn

−−→ Xp.n.

P ({ω : limn→∞Xn(ω) = X (ω)}) = 1 według prawdopodobieństwa, Xn P

−→ X

∀_ε>0lim_n→∞P (|Xn− X | > ε) = 0.

według p–tego momentu Xn L^p

−→ X lim_n→∞E|Xn− X |^p = 0.

według rozkładu (jest słabo zbieżny) X_n−→ X^D

∀x −punkt ciągłości FX lim_n→∞F_X_n(x ) = F_X(x ).

(9)

Typy zbieżności zmiennych losowych Typy zbieżności zmiennych losowych

X_n−−→ X gdy P ({ω : lim^p.n. n→∞X_n(ω) = X (ω)}) = 1 X_n−→ X gdy ∀^P _ε>0lim_n→∞P (|Xn− X | > ε) = 0.

X_n−→ X gdy lim^L^p _n→∞E|Xn− X |^p= 0.

Xn D

−→ X gdy ∀x −punkt ciągłości FX limn→∞F_X_n(x ) = F_X(x ).

Twierdzenie o zbieżności

X_n−→ X^L^p ⁽¹⁾⇒ X_n−→ X ;^P X_n−−→ X^p.n. ⁽²⁾⇒ X_n−→ X^P

Xn P

−→ X ⁽³⁾⇒ X_n−^D→ X ; Dowód:...

(10)

Uwaga

Implikacje odwrotne w ogólności nie są prawdziwe.

Zainteresowanych tym, jakie założenia trzeba poczynić, aby implikacje odwrotne były prawdziwe odsyłamy np. do