Sterowanie napędów maszyn i robotów Wykład 5 - Identyﬁkacja dr inż. Jakub Możaryn

(1)

Sterowanie napędów maszyn i robotów

Wykład 5 - Identyfikacja

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki (IAiR), Politechnika Warszawska

Warszawa, 2015

(2)

Koncepcje estymacji modelu

Standardowe drogi poszukiwania modeli parametrycznych

M1: Analityczne określenie struktury i wartości parametrów modelu na podstawie opisu bilansowego

M2: Przyjęcie a-priori charakteru zachowania napędu i wyznaczenie parametrów tego modelu w eksperymencie czynnym z rzeczywistym napędem

M3: Identyfikacja struktury (ARMA, ARMAX), lub w przypadku jej założenia, szacowanie wartości parametrów modelu jedną ze znanych metod statystycznych (LS, RLS, ELS).

dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie napędów maszyn i robotów

(3)

Koncepcje estymacji modelu

M2: Wady analitycznego określenia struktury i wartości parametrów modelu na podstawie opisu bilansowego

złożony opis,

niska dokładność z powodu linearyzacji i uproszczeń,

odpowiada tylko tym parametrom, dla których został wyznaczony (inwariantność),

wymaga znajomości trudno dostępnych współczynników (np. tarcia), które zależą od konkretnego zastosowania.

(4)

Koncepcje estymacji modelu

M1: Wady przyjęcia a-priori charakteru zachowania napędu i wyznaczenia parametrów tego modelu w eksperymencie czynnym z rzeczywistym napędem

wymagania czasowe realizacji,

brak możliwości zastosowania podczas normalnej pracy napędu, Sposoby estymacji parametrów modelu

przez bezpośredni pomiar wielkości występujących w równaniach opisu modelu - np. zależność pulsacji drgań swobodnych od współczynnika sprężystości powietrza w komorach siłownika i obciążenia masowego,

z wykorzystaniem parametrów odpowiedzi napędu na wymuszenie skokowe,

prze porównanie odpowiedzi skokowej modelu i rzeczywistego napędu i zastosowanie metody a) prostych przybliżeń, b) momentowej, c) gradientowej.

(5)

Koncepcje estymacji modelu

M3: Identyfikacja struktury (ARMA, ARMAX), lub w przypadku jej założenia, szacowanie wartości parametrów modelu jedną ze znanych metod statystycznych (LS, RLS, ELS).

krótki czas identyfikacji w eksperymencie czynnym - podczas uruchomienia (off-line)

możliwość identyfikacji w eksperymencie biernym - w warunkach normalnej pracy napędu (on-line)

W przypadku układów napędowych metoda ta jest jedyną efektywną metodą określania struktury i parametrów modelu procesu ruchu.

(6)

Identyfikacja

Identyfikacja systemów lub procesów

Zespół metod, narzędzi i algorytmów mających na celu zbudować dynamiczny model systemu lub procesu na podstawie danych pomiarowych zebranych z wejścia i wyjścia.

Model taki może opisywać:

właściwości wejściowo-wyjściowe systemu - tworzony w oparciu o sekwencje sygnałów wejściowych i towarzyszące im sekwencje sygnałów wyjściowych,

przebieg wyjścia systemu o wejściach pomiarowo

niedostępnych - tworzony tylko w oparciu o mierzoną sekwencję sygnału wyjściowego.

Model budowany jest poprzez wyszukiwanie zależności i relacji pomiędzy zmierzonymi danymi bez analizy procesu (brak szczegółowego badania zjawisk fizycznych zachodzących w procesie).

System lub proces → ’czarna skrzynka’.

(7)

Etapy identyfikacji (1-5)

Identyfikacja jest procesem iteracyjnym, w który można wyróżnić następujące etapy:

1 Przygotowanie eksperymentu identyfikacyjnego: Generacja pobudzeń wejść systemu, aby zebrać odpowiednie dane pomiarowe.

2 Przeprowadzenie eksperymentu identyfikacyjnego: Zebranie pomiarów.

3 Wstępne przetwarzanie danych pomiarowych: np. eliminacja błędów grubych, skalowanie, filtrowanie.

4 Wybór klasy dopuszczalnych modeli: Wybiera się klasę modeli deterministycznych lub stochastycznych, ciągłych lub dyskretnych, liniowych lub nieliniowych, stacjonarnych bądź niestacjonarnych.

5 Wybór typu modelu z wybranej klasy: W każdej klasie modeli istnieją modele różnych typów. (Przykładowo w klasie dyskretnych modeli stochastycznych istnieją modele AR, ARX, MA, MAX, ARMAX).

Wybór konkretnego modelu może być poprzedzony wstępną, ’zgrubną’ analizą modelowanego systemu bądź pochodzących z niego sygnałów.

(8)

Etapy identyfikacji (6-8)

1 Wybór struktury modelu (dla modeli parametrycznych): Jest to bardzo trudny etap, który często sprowadza się do pełnego lub ograniczonego przeglądu wszystkich dopuszczalnych (i rozsądnych) struktur modeli danego typu.

2 Estymacja parametrów danego modelu: Na tym etapie wybiera się odpowiedni algorytm estymacji (np. metoda najmniejszych kwadratów - LS), pozwalający na wyznaczenie parametrów wybranego uprzednio modelu.

3 Weryfikacja modelu: Kończy pojedynczą iterację procesu identyfikacji. Na tym etapie należy rozstrzygnąć, czy wynik identyfikacji jest zadowalający. Można w tym celu:

porównać sygnał wyjściowy modelu z sygnałem rzeczywistym (najlepiej dla innego zbioru danych - zbioru danych testowych), sprawdzić, czy model ma zbyt bogatą strukturę (nadmiar parametrów),

sprawdzić inne cechy modelu, decydujące o jego przydatności (np.

stabilność, odwracalność).

(9)

Modele parametryczne

Model AR (ang.AutoRegressive)

Model auto-regresyjny, zawiera wyłącznie wyrazy pomierzonego wcześniej sygnału wyjściowego

ˆ

y (k) = −a1y (k − 1) − a2y (k − 1) − ... − any (k − n) (1) gdzie: y - sygnał wyjściowy, k - czas dyskretny, T = kT_p, n - szerokość okna pomiarowego, a_i, i = 1, .., n - współczynniki modelu.

Stosowany, gdy:

nie można pomierzyć sygnału wejściowego sygnał wejściowy jest bliżej nie określony

(10)

Modele parametryczne

Model ARX (ang.AutoRegressive with eXogenous input)

Model auto-regresyjny z zewnętrznym wejściem (z dołączonym sygnałem zakłócającym)

ˆ

y (k) = −a1y (k − 1) − ... − any (k − n) + c1η(k − 1) + ... + cˆ nη(k − n) (2)ˆ gdzie: ˆη(k) - zakłócenie (szacowanie wpływu zakłócenia), ai, cii = 1, .., n - współczynniki modelu.

Założenia:

sygnał zakłócenia ma charakter dyskretnego białego szumu zakłócającego obiekt,

szum biały - sygnał stochastyczny o średniej 0 i wariancji σ², oraz o funkcji kowariancji

γ(h) =

σ², h = 0

0, h 6= 0 (3)

(11)

Modele parametryczne

Model MA (ang.Moving Average)

model „ruchomej średniej”, jest uśrednionym (za pomocą wagowych współczynników b) wpływem sygnału wejściowego

ˆ

y (k) = b0u(k − d ) + ... + bnu(k − n − d ) (4) gdzie: u(k) - sygnał sterujący (wejściowy), d - dyskretna wartość

opóźnienia.

(12)

Modele parametryczne

Model MAX (ang. Moving Average with eXogenous input) Model MA z zewnętrznym wejściem (z dołączonym sygnałem zakłócającym)

ˆ

y (k) = b₀u(k −d )+...+b_nu(k −n −d )+c₁η(k −1)+...+cˆ _nη(k −n) (5)ˆ

Założenia:

wektor wejść modelu jest nieskorelowany z wektorem zakłóceń.

(13)

Modele parametryczne

Model ARMA (ang. Auto-Regressive with Moving Average) Model stanowiący połączenie modelu AR z modelem MA (zawiera zarówno sygnał wejściowy jak i przeszłe wartości wyjścia z procesu)

ˆ

y (k) = −a₁y (k −1)−...−a_ny (k −n)+b₀u(k −d )+...+b_nu(k −n−d ) (6)

Założenia:

(14)

Modele parametryczne

Model ARMAX

– (ang. Auto-Regressive Moving Average with eXogenous input) model ARMA z zewnętrznym wejściem (z dołączonym sygnałem zakłócającym)

ˆ

y (k) = −a1y (k − 1) − ... − any (k − n)+

+b₀u(k − d ) + ... + b_nu(k − n − d )+

+c₁η(k − 1) + ... + cˆ _nη(k − n)ˆ

(7)

Założenia:

(15)

Algorytmy stosowane w identyfikacji

Do algorytmów powszechnie stosowanych w identyfikacji systemów (procesów), do szacowania współczynników modeli parametrycznych należą:

metoda najmniejszych kwadratów LS (ang. Least Squares) z odmianami:

rekurencyjna metoda LS RLS (ang. Recursive Least Squares) rozszerzona macierzowa metoda ELS (ang. Extendend Least Squares)

metoda zmiennych instrumentalnych IV (ang. Instrumental Variable) metoda największej wiarygodności ML (ang. Maximum Likelihood )

(16)

Metoda najmniejszych kwadratów LS

Metoda najmniejszych kwadratów

Metoda najmniejszych kwadratów (ang. Least Squares) to standardowa metoda przybliżania rozwiązań układów nadokreślonych, tzn. zestawu równań, w którym jest ich więcej niż zmiennych. Końcowe rozwiązanie tą metodą minimalizuje sumę kwadratów błędów przy rozwiązywaniu każdego z równań.

Algorytm metody najmniejszych kwadratów w wersji off-line ma postać:

Θ_LS = [V^TV ]⁻¹V^TY (8)

gdzie: V - wektor wejść modelu, Y - wektor wyjść modelu.

Najszybsza i najprostsza metoda szacowania współczynników modelu.

Brak iteracji w przypadku obliczeń modeli o strukturach AR, MA, ARMA (problemy przy ARMA i ARMAX).

Ze względu na formę modelu oszacowanie LS istnieje praktycznie zawsze (z wyjątkiem stałych wartości sygnałów wejść do modelu).

(17)

Metoda najmniejszych kwadratów LS - ARMA

Θ_LS = [V^TV ]⁻¹V^TY (9)

ΘLS =





 b0

...

bn

a1

...

an





 , Y =





 y (1) y (2) ...

y (N)





 , V =





 v (1) v (2) ...

v (N)







(10)

V =







u(1 − d ) ... u(1 − n − d ) −y (0) ... −y (1 − n) u(2 − d ) ... u(2 − n − d ) −y (1) ... −y (2 − n)

...

u(N − d ) ... u(N − n − d ) −y (N) ... −y (N − n)





 (11)

(18)

Metoda najmniejszych kwadratów LS

Problemy stosowania metody LS

W wielu przypadkach pomiary wartości sygnałów są dokonywane sekwencyjnie w trybie ciągłym on–line. Wówczas szacowanie parametrów obliczane jest dla coraz większej liczby danych co wymaga coraz większego nakładu obliczeniowego i czasu.

Algorytm LS wymaga odwracania macierzy [V^TV ], co wpływa na stabilność i dokładność rozwiązania. Można obliczać estymować macierz pseudo-odwrotną, ale to wprowadza dodatkowe błędy oszacowania.

(19)

Metoda najmniejszych kwadratów – rekurencyjny RLS

Do obliczeń on-line opracowano wersję rekurenycjnego algorytmu LS, w której po każdym kolejnym pomiarze ma miejsce aktualizacja poprzednio wyznaczonych wartości parametrów

P(k) = [V (k)^TV (k)]⁻¹ (12) ΘRLS(k) = P(k)V^T(k)Y (k) (13) Θ_RLS(k + 1) = P(k + 1)V^T(k + 1)Y (k + 1) =

= P(k + 1)[V^T(k)Y (k) + v^T(k + 1)y (k + 1)] (14) ΘRLS(k + 1) = ΘRLS(k) + ∆ΘRLS(k) =

= Θ(k) + P^T(k + 1)[y (k + 1) − v (k + 1)Θ(k)] (15) Wartość parametrów w chwili k + 1 równa się wartości parametrów w chwili k z poprawką wynikającą z wartości sygnałów wejściowych i wyjściowych w chwili k + 1. Algorytm ten nie wymaga odwracania macierzy, tak jak ma to miejsce w przypadku metody LS (7).

(20)

Metoda najmniejszych kwadratów – rozszerzona macierzowa ELS

Metoda rozszerzona macierzowa ELS jest rozszerzeniem metody LS dla układów, w których błędy pomiarowe są ze sobą skorelowane. Układy tego typu są modelowane między innymi jako modele typu ARMAX.

(21)

Metoda zmiennych instrumentalnych IV

Gdy w zadaniu identyfikacji liniowego obiektu dynamicznego występuje skorelowanie zakłóceń można zastosować metodę zmiennych

instrumentalnych (IV). Polega ona na częściowym zastąpieniu w estymatorze LS macierzy wejść do modelu V przez macierz wielkości pomocniczych W (instrumentalnych)

ΘIV = [W^TV ]⁻¹W^TY (16)

Macierz W zmiennych pomocniczych z definicji nie powinna zawierać wartości skorelowanych z wektorem błędów modelu, co powinno zapewnić nieobciążenie oszacowania współczynników modelu, również w przypadku zakłóceń skorelowanych.

Utworzenie dobrej macierzy zmiennych instrumentalnych nie jest proste, ale w przypadku jej utworzenia metoda daje lepsze rezultaty niż metoda LS

(22)

Metoda największej wiarygodności ML

Metoda największej wiarygodności (ML) pozwala wyprowadzić najbardziej efektywne estymatory, przy czym jest ona dostosowana do procesów, dla których adekwatny jest opis w formie modeli ARMAX. W wyniku oszacowań powinien powstać model, który zapewnia właściwości białego szumu dla oszacowanych błędów wyjścia modelu.

Estymator jest najbardziej złożony (z dotychczas omawianych) i jest realizowany iteracyjnie.

Θ_ML(k + 1) = Θ_ML(k) + κ(k)L^T_ΘΘ(Θ(k))⁻¹L^T_Θ(Θ(k)) (17) gdzie: Θ_ML(k) - kolejna iteracja wektora współczynników modelu, L^T_Θ - wektor pierwszych pochodnych funkcji wiarygodności, L^T_ΘΘ - macierz drugich pochodnych funkcji wiarygodności, κ(k) - wartość długości kroku.

Przybliżeniem początkowym Θ(0) wektora współczynników modelu jest zwykle oszacowanie uzyskane metodą LS.

(23)