Egzamin z analizy matematycznej, analityka gospodarcza, rok 1
17 VI 2019
Informacje dla zdających:
1. Egzamin trwa 90 minut. Można pracę oddać wcześniej i wyjść, ale nie w ciągu ostatnich 10 minut.
2. Podczas egzaminu wolno korzystać jedynie z kalkulatora, narzędzi do pisania i materiałów otrzymanych od prowadzących egzamin. Wszelkie przedmioty poza wspomnianymi powinny być pozostawione w torbach/plecakach we wskazanym przez egzaminujących miejscu. W szczególności nie wolno używać telefonów komórkowych i własnych kartek.
3. Wszystkie kartki z rozwiązaniami należy podpisać imieniem i nazwiskiem. Na pierwszej kartce, obok imienia i nazwiska należy narysować prostokąt a w środku wpisać swój „pseudonim artystyczny”
pod jakim wynik egzaminu zostanie ogłoszony.
Grupa A Zadania:
1. (200 punktów) Wyznaczyć dziedzinę, ekstrema lokalne, przedziały monotoniczności, punkty przegięcia i przedziały wklęsłości/wypukłości dla funkcji:
f (x) = ex1 x2 − 5.
2. (200 punktów) Obliczyć punkty przecięcia podanych poniżej krzywych, narysować obszar ogra- niczony przez wszystkie 4 podane poniżej krzywe i wyznaczyć pole tego obszaru:
y = −2; x = 0; y = −x2+ 1; y = −3x + 7.
3. (200 punktów) Wyznaczyć wszystkie ekstrema lokalne funkcji:
f (x, y, z) = −8
3x3+ 2x2y − 1
2y2x − z2− 30 ln z + 18x + 16z.
4. (200 punktów) a) Wyznaczyć otwarty przedział zbieżności szeregu:
∞
X
n=1
n4+ 3n3+ 5n − 2
3n+ 5n+ 8n (4x − 2)n.
b) Przedstawić dla funkcji f (x) = ln(cos x) rozwinięcie w szereg Taylora z resztą Lagrange’a rzędu 4 w otoczeniu punktu x0 = 2π.
5. (100 punktów) Wyjaśnić pojęcie krańcowej stopy substytucji oraz elastyczności substytucji, wyjaśnić jak się je oblicza dla podanej funkcji użyteczności u(x, y) w punkcie (x0, y0) oraz sformułować interpretację ekonomiczną wyników takich obliczeń.
Wybrane wzory:
εxy = u0(x) u0(y) · x
y; f (x) = f (x0) +
n−1
X
k=1
f(k)(x0)
k! · (x − x0)k+f(n)(c)
n! · (x − x0)k; Z b
a
f (x)dx ≈ 1
2h[f (x0)+f (xn)+2
n−1
X
i=1
f (xi)]; HO(x, y, λ) =
0 g0x(x, y) g0y(x, y) g0x(x, y) Fxx00 (x, y, λ) Fxy00(x, y, λ) g0y(x, y) Fyx00(x, y, λ) Fyy00(x, y, λ)
;
Ef(x) = f0(x) · x
f (x) ; sin 0 = 0; sinπ 6 = 1
2; sinπ 4 =
√2
2 ; sin π 3 =
√3
2 ; sinπ 2 = 1.
