= – symbol przypisania [ ] – tworzenie tablic, argumenty wyj

MATLAB – PODSTAWY ZNAKI SPECJALNE

= – symbol przypisania

[ ] – tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic { } – indeksy struktur i tablic komórkowych

( ) – nawiasy do określania kolejności działań, do ujmowania indeksów tablic, do ujmowania argumentów wejściowych funkcji

. – kropka dziesiętna

... – kontynuacja polecenia w następnej linii

, – separator indeksów tablicy, argumentów funkcji, poleceń

; – koniec wiersza macierzy, rezygnacja z wypisywania wyniku na ekranie

% – początek komentarza w danej linii

: – generowanie wektorów, indeksowanie macierzy

‘ – początek i koniec łańcucha znaków, operator transpozycji, operator sprzężenia zespolonego

FUNKCJE SPECJALNE

pi – 3.14159265...

realmin – najmniejsza liczba rzeczywista realmax – największa liczba rzeczywista Inf – nieskończoność

NaN – Not–a–Number

ans – zmienna robocza

Inf – nieskończoność jest generowana przez dzielenie liczby różnej od 0 przez zero, lub przez działanie na wartościach, które wykraczają po za największą możliwą wartość rzeczywistą określoną przez funkcję realmax.

NaN jest generowana przy próbie wykonania działań typu 0/0 lub Inf–Inf

ZMIENNE LICZBOWE W MATLAB-IE

typ całkowity ze znakiem (int8, int16, int32, int64) i typ całkowity bez znaku (uint8, uint16, uint32, uint64) typ rzeczywisty pojedynczej precyzji (single) oraz typ rzeczywisty podwójnej precyzji (double)

Defaultowym (domyślnym) typem numerycznym dla zmiennych MATLAB-a jest typ double!

Jeśli zmienna x ma wartość

>> x = 12.56 x =

12.5600 Instrukcja

>> int16(x) ans = 13

konwertuje wartość x na liczbę całkowitą.

ans – oznacza zmienną utworzoną automatycznie przez MATLAB–a, gdy dane wyrażenie nie zostało przypisane żadnej zmiennej. Por. z przykładem poniżej:

>> x = 12.56 x =

12.5600

>> y = int16(x) y =

13

Typ Zakres zmiennych typu rzeczywistego

single –3.40282e038 3.4283e+038

double –2.22507e+308 1.79769e+308

RÓŻNE FORMATY ZAPISU LICZBY RZECZYWISTEJ NA PRZYKŁADZIE LICZBY π

>> format long, pi ans =

3.14159265358979

>> format long e, pi

ans = 3.141592653589793e+000

ZMIENNE W MATLAB–ie

• z liter, cyfr i znaku podkreślenia

• z dowolnej liczby znaków, ale tylko około 63 są rozróżnialne przez MATLAB-a

Nazwa musi zaczynać się od litery !

UWAGA!

MATLAB rozróżnia wielkość liter w nazwie zmiennej !!! Dla MATLAB-a zmienne A i a to dwie różne zmienne!

Format Typ Postać

short stałoprzecinkowy 3.1416 long stałoprzecinkowy 3.14159265358979 short e zmiennoprzecinkowy 3.1416e+000 long e zmiennoprzecinkowy 3.141592653589793e+000

rat ułamkowy 355/113

PODSTAWOWĄ STRUKTURĄ DANYCH W MATLAB-IE JEST TABLICA

komputera. Tablicom nadaje się nazwy. Dane przechowywane w tablicy nazywają się jej elementami. Położenie elementu w tablicy określone jest za pomocą indeksów.

MATLAB dopuszcza tablice wielowymiarowe!

Macierz (matrix) – jest szczególnym przypadkiem tablicy dwuwymiarowej!

– tablica A(5 x 5) – macierz

B = 10 – tablica B(1 x 1) – skalar

STANDARDOWE FUNKCJE MATEMATYCZNE

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

=

10 2 9 7 0

4 0 7 0 1

7 10 7 2 0

9 9 2 4 5

10 0 7 7 2 A

OPERATORY ARYTMETYCZNE W MATLAB–ie w odniesieniu do MACIERZY

Operatory działań na macierzach:

A+B A-B A*B

A/B A\B A^B A’

Operator Opis

+ Dodawanie, jednoargumentowy operator plus - Odejmowanie, jednoargumentowy operator minus

* Mnożenie macierzy

/ Prawostronne dzielenie macierzy

\ Lewostronne dzielenie macierzy

^ Potęgowanie macierzy

‘ Transponowanie macierzy Wyjaśnienie. Jeśli:

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

2 9 4

7 5 3

6 1 8

A

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

6 3 1

3 2 1

1 1 1 B

* Mnożenie macierzy

/ Prawostronne dzielenie macierzy

/ A = B ⋅ A

B

\ Lewostronne dzielenie macierzy

B A B

A \ =

⋅

Związek między działaniami na macierzach B/A I A\B

)' ' '\

(

/ A A B

B =

^ Potęgowanie macierzy – podniesienie macierzy A do potęgi p Przypadki:

p liczba całkowita >0 C=A^p = A*A...*A p liczba całkowita <0 C=(A-1)^p

A^p gdy p jest liczbą rzeczywistą lub p^A – potęgowanie wymaga wyznaczania wartości i wektorów własnych

Gdy A i p są macierzami – błąd!

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⋅ +

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅ +

⋅

=

=

6 2 3 9 1 4 3 2 2 9 1 4 1 2 1 9 1 4

6 7 3 5 1 3 3 7 2 5 1 3 1 7 1 5 1 3

6 6 3 1 1 8 3 6 2 1 1 8 1 6 1 1 1 8 A* B

C c a b i j n

n

k kj ik

ij , , 1,2,...

1

=

=

∑

=

OPERATORY ARYTMETYCZNE W MATLAB–ie w odniesieniu do TABLIC.

NOTACJA KROPKOWA

A+B A-B A.*B

A./B A.\B A.^B A.’

Operator Opis

+ Dodawanie, jednoargumentowy operator plus - Odejmowanie, jednoargumentowy operator minus .* Mnożenie tablic

./ Prawostronne dzielenie tablic .\ Lewostronne dzielenie tablic .^ Potęgowanie tablic

.’ Transponowanie tablicy

‘ Sprzężenie zespolone

Wyjaśnienie. Jeśli

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

2 9 4

7 5 3

6 1 8

A

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

6 3 1

3 2 1

1 1 1 B

DZIELENIE TABLICOWE

PRAWOSTRONNE A./B LEWOSTRONE A.\B

SPOSOBY OKREŚLANIA TABLIC W MATLAB-ie

• Dane do tablicy są wprowadzane z klawiatury

• Tablica jest wczytywana z zewnętrznego pliku z danymi

• Tablicę może wygenerować użytkownik aplikacji wg ściśle określonego algorytmu, za pomocą napisanej przez siebie funkcji

• Tablica może zostać wygenerowana za pomocą odpowiedniej funkcji MATLAB-a

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

6 2 3 9 1 4

3 7 2 5 1 3

1 6 1 1 1 8

* . B A

D

c

= a

b

i . j = 1 , 2 ,... n

ij ij ij

P b

c a B

A

C = /. ⇔ =

ij ij ij

L a

c b B

A

C = .\ ⇔ =

ZADAWANIE TABLICY Z KALWIATURY

• Wprowadź dane oddzielając elementy danego wiersza macierzy spacjami lub przecinkami

• Użyj znaku średnika by zaznaczyć koniec wiersza

• Otocz wprowadzoną listę elementów nawiasami [ ]

Dla macierzy

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

2 9 4

7 5 3

6 1 8

A napiszemy >>A = [8 1 6; 3 5 7; 4 9 2]

FUNKCJE MATLAB–a DO GENEROWANIA TABLIC

• magic(n) – generuje macierz magiczną

• pascal(n) – generuje macierz Pascala stopnia n

• eye(n,n) – generuje macierz jednostkową nxn

• ones(n,m) – generuje tablicę nxm złożona z samych jedynek

• zeros(n,m) – generuje tablicę nxm złożoną z samych zer

• rand(n,m) – generuje tablicę nxm o elementach będących liczbami losowymi o rozkładzie równomiernym z przedziału (0,1)

• randn(n,m) – generuje tablicę nxm złożoną z liczb będących liczbami losowymi o rozkładzie normalnym

PODSTAWOWE FUNKCJE DZIAŁAŃ NA TABLICACH

gdy:

A – wektor, funkcja sum zwraca jako Y sumę elementów wektora

A – tablica, funkcja sum zwraca jako Y wektor sum w kolumnach tablicy

Y = prod(A) gdy:

A – wektor, funkcja zwraca jako Y iloczyn elementów wektora

A – tablica, funkcja zwraca jako y wektor iloczynów elementów w kolumnach Y = diag(A)

Funkcja zwraca jako Y wektor z przekątnej głównej macierzy A

Y = det(A) funkcja zwraca jako Y wartość wyznacznika macierzy kwadratowej

Y = tril(A)

Funkcja zwraca jako macierz dolną trójkątną z macierzy A Y = triu(A)

Funkcja zwraca jako Y macierz górną trójkątną z macierzy A

Y = inv(A)

Funkcja zwraca pod nazwą Y macierz odwrotną do macierzy A

Y = max(A) gdy:

A jest wektorem funkcja zwraca wartość Y będącą max elementem wektora A A jest macierzą funkcja zwraca wektor wierszowy Y o elementach będących max z poszczególnych kolumn

Y = min(A) gdy:

A jest wektorem funkcja zwraca wartość Y będącą min elementem wektora A A jest macierzą funkcja zwraca wektor wierszowy Y o elementach będących min z poszczególnych kolumn tablicy A

Y = mean(A) gdy:

A jest wektorem funkcja zwraca pod nazwą Y średnią arytmetyczną jego elementów A jest macierzą - zwraca wektor wierszowy Y o elementach będących średnimi arytmetycznymi elementów poszczególnych kolumn tablicy A

Y = sort(A) lub Y = sort(A,’ascend’) gdy:

A jest wektorem funkcja zwraca jako Y wektor uporządkowany rosnąco A jest macierzą - sortuje każdą kolumnę A rosnąco

Y = sort(A, ‘descend’)

j.w. tylko dla uporządkowania malejącego

NORMY:

Y = norm(A,p)

p =1 - max suma modułów w kolumnach

∑

≤

= ≤ ⁿ i n ij

j a

A

1 1

1 max

p = inf max suma modułów w wierszach A

p=‘fro’ – norma Frobeniusa

Jeśli

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

6 3 1

3 2 1

1 1 1

A wówczas

>> A_1=norm(A,1) A_1 =

10

>> A_inf=norm(A,'inf') A_inf =

10

>> A_fro=norm(A,'fro') A_fro =

7.9373

SZYBKIE TWORZENIE TABLIC – OPERATOR DWUKROPEK ( : )

>> a= 1:5 % Tworzenie wektora wierszowego (to jest komentarz) a=

1 2 3 4 5

>> b=1:2:10 b =

1 3 5 7 9

>>c = 1:-2.5:-10

∑

≤

= ≤ ⁿ j n ij

i a

A

1 1

inf max

∑∑

= ⁿ

i n

j

fro aij

A

1 2

1

c =

1.0000 -1.5000 -4.0000 -6.5000 -9.0000 Transponowanie wektora wierszowego:

>> c=c' c = 1.0000 -1.5000 -4.0000 -6.5000 -9.0000

>> n = (1:5)’ % Tworzy wektor wierszowy i transponuje n =

1

2

3

4

5

>> potegi = [n n.^2 n.^3 2.^n ] % Tablica kwadratów, sześcianów i potęg liczby 2 ... % dla w/w tablicy n potegi = 1 1 1 2

2 4 8 4

3 9 27 8

4 16 64 16

5 25 125 32

Utworzenie tablicy wartości lnx dla danego zakresu x: >> x = (1:0.2:2)' x = 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000 >> lnx = log(x) lnx = 0 0.1823 0.3365 0.4700 0.5878 0.6931

lub

>> lnx = [x log(x)]

lnx =

1.0000 0 1.2000 0.1823 1.4000 0.3365 1.6000 0.4700 1.8000 0.5878 2.0000 0.6931

ZNAK (: ) W WYRAŻENIACH INDEKSOWYCH

A(1:k,j)

oznacza k pierwszych elementów z j-tej kolumny tablicy A.

sum(A(1:4,4))

oznacza sumę elementów leżących w 4. kolumnie tablicy A.

Dwukropek odnosi się do wszystkich elementów w wierszu lub kolumnie macierzy / tablicy

Słowo kluczowe end odnosi się do ostatniego wiersza lub kolumny tablicy.

sum(A(:,end)) oznacza sumę wszystkich elementów leżących w ostatniej kolumnie tablicy A.

Na przykład:

A =

1 5 7 3 5 9 1 3 4 0 6 7

>> s=sum(A(1:3,2)) s =

13 – suma trzech pierwszych elementów z drugiej kolumny macierzy A.

>> suma_3=sum(A(3:end,end)) suma_3 =

11 – suma elementów w ostatniej kolumnie macierzy A z wierszy od 3 do ostatniego