Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana
Lista 5. Rozwiązanie zadania 5.3 - dodatkowy podpunkt (e) Opracowanie: Karol Sitkowski
Zadanie 5.3
(e) Dobierz stałe c i d tak, aby funkcja
f (x) =
12c(x + d)(x + d + 1)2 dla − d − 1 < x6 −d, 2c2
π
√ 1
d − x2 dla − d < x < d, 0 w pozostałych przypadkach była gęstością pewnej zmiennnej losowej X.
Rozwiązanie:
f (x) jest gęstością pewnej zmiennej losowej X ⇔ 1◦ ∀x∈R f (x) > 0 oraz 2◦
∞
Z
−∞
f (x) dx = 1
0◦ Zanim przejdziemy do sprawdzenia powyższych warunków określimy, dla jakich wartości para- metru d funkcja f (x) ma sens matematyczny.
(a) Pierwsze założenie, które jest w zasadzie oczywiste, to d > 0. Wynika to z nierówności
−d < x < d, którą spełniają tylko liczby dodatnie.
(b) Rozważmy funkcję y = √ 1
d−x2 i wyznaczmy dziedzinę rzeczywistą tej funkcji:
d − x2 > 0 ⇔ x2 < d ⇔ |x| <√ d.
Zatem f jest dobrze określona na R ⇔ √
d > d > 0 ⇔ d ∈ (0; 1].
Ad 1◦ (a) Funkcja g(x) = (x + d) (x + d + 1)2 jest funkcją o miejscach zerowych w punktach x = −d − 1 oraz x = −d z dodatnim współczynnikiem przy najwyższej potędze i ma znak taki sam, jak funkcja liniowa y = x + d (patrz Rysunek 1.).
Rysunek 1: Wykres zmiany znaku wartości funkcji g(x).
W szczególności, g(x) < 0 dla x ∈ (−d − 1; −d), a z tego wynika, że f (x) > 0 ∀x∈(−d−1;−d) ⇔ c 6 0
1
(b) ∀c f (x) > 0 dla x ∈ (−d; d)
(c) f jest funkcją stałą równą 0 na przedziałach (−∞; −d − 1) i (d; ∞) Otrzymujemy zatem, że
1◦ spełniony ⇔ c6 0.
Ad 2◦
∞
Z
−∞
f (x) dx = 12c
−d
Z
−d−1
(x + d) (x + d + 1)2dx + 2c2 π
d
Z
−d
√ 1
d − x2 dx, d ∈ (0, 1]
(a)
−d
Z
−d−1
(x + d) (x + d + 1)2dx =
x + d = y x −d − 1 −d
y −1 0
=
Z 0
−1y (y + 1)2dy =
=
Z 0
−1
y3+ 2y2+ ydy =
"
y4 4 +2y3
3 +y2 2
#0
−1
= −1 4 +2
3 − 1
2 = − 1 12 (b)
d
Z
−d
√ 1
d − x2 dx = 2
Z d 0
1
√d
r
1 −√x
d
2 dx =
√x d = y
x 0 d
y 0 √
d
=
= 2
Z
√d
0
√ 1
1 − y2 dy = 2 arcsin√ d
Otrzymujemy zatem
∞
Z
−∞
f (x) dx = −c + 4c2
π arcsin√ d i stąd 2◦ jest spełniony ⇔
−c + 4c2
π arcsin√
d = 1. (1)
Widać, że c = 0 nie spełnia równania (1), a zatem jest ono równoważne równaniu arcsin√
d = π
4 ·c + 1
c2 . (2)
Ponieważ d ∈ (0, 1], mamy 0 < arcsin√
d ¬ π2. Zatem, aby (2) mogło być spełnione, c musi spełniać nierówność
0 < π
4 · c + 1 c2 6 π
2 lub równoważnie,
0 < c + 1
c2 6 2 ⇔ c > −1 ∧ 2c2− c − 1 > 0 ∧ c 6= 0
⇔ c > −1 ∧ 2
c + 1 2
(c − 1) > 0 ∧ c 6= 0
⇔ −1 < c 6 −0.5 ∨ c > 1 (patrz Rysunek 2.)
2
Rysunek 2: Wykres zmiany znaku wartości funkcji y = 2c + 12(c − 1).
Otrzymujemy zatem, że
2◦ spełniony ⇔
( d = sin2π4 · c+1c2
; c ∈ (−1; −0.5] ∪ [1; ∞] . Zauważmy, że jeśli c ∈ (−1; −0.5] ∪ [1; ∞], to d = sin2π4 · c+1c2
∈ (0, 1].
Podsumowanie:
f (x) jest gęstością pewnej zmiennej losowej X ⇔ c ∈ (−1; −0.5] ∧ d = sin2
π 4
c + 1 c2
. Przykładowe wykresy funkcji f (x) dla kilku wartości parametru c ∈ (−1; −0.5] i d = sin2π4c+1c2
pokazane są na Rysunku 3.
(a) (b)
Rysunek 3: Wykres funkcji f (x) dla (a) c = −0.5, d = 1; (b) c = −0.75, d = sin2π9≈ 0.00016.
3
