AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis̷lawa Staszica w Krakowie OLIMPIADA
”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2013/14 MATEMATYKA - ETAP I
ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW
1. Udowodnij, ˙ze ˙zaden element zbioru 𝑆 = {6𝑛 + 2 : 𝑛 ∈ ℕ} nie jest kwadratem liczby ca̷lkowitej.
2. Rozwia𝜄˙z r´ownanie 5 + 𝑥2
5 − 𝑥4 25+ 𝑥6
125 − 𝑥8
625 + . . . = 𝑥2 + 1, (4),
w kt´orym drugi sk̷ladnik prawej strony jest u̷lamkiem dziesie𝜄tnym okresowym.
3. Na ile sposob´ow mo˙zna 𝑛 kul rozmie´sci´c w 𝑛 pude̷lkach tak, ˙zeby dok̷ladnie dwa pude̷lka zosta̷ly puste? Za̷l´o˙z, ˙ze 𝑛 ≥ 3 oraz zar´owno kule jak i pude̷lka sa𝜄 mie𝜄dzy soba𝜄 rozr´o˙znialne.
4. Sporza𝜄d´z wykres funkcji danej wzorem
𝑓 (𝑥) = 5∣ log0,2𝑥∣.
ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW
5. Dany jest prawid̷lowy ostros̷lup czworoka𝜄tny. Pole przekroju p̷laszczyzna𝜄 przecho- dza𝜄ca𝜄przez przeka𝜄tna𝜄podstawy i r´ownoleg̷la𝜄do krawe𝜄dzi bocznej sko´snej wzgle𝜄dem tej przeka𝜄tnej jest r´owne 𝑃 . Pole przekroju p̷laszczyzna𝜄 przechodza𝜄ca𝜄 przez ´srodki dw´och sa𝜄siednich bok´ow podstawy i ´srodek wysoko´sci ostros̷lupa wynosi 𝑆. Oblicz iloraz 𝑃𝑆.
6. Dla jakich 𝑥 ∈(−𝜋2;𝜋2) liczby
tg 𝑥, 1, cos 𝑥 1 + sin 𝑥
w podanej kolejno´sci sa𝜄 trzema pocza𝜄tkowymi wyrazami rosna𝜄cego cia𝜄gu arytme- tycznego (𝑎𝑛) ? Dla dowolnego 𝑛 ∈ ℕ oblicz sume𝜄 𝑎𝑛+ 𝑎𝑛+1+ . . . + 𝑎2𝑛.
7. Rozwia𝜄˙z w zale˙zno´sci od parametru 𝑝 ∈ ℝ r´ownanie (1 − 𝑝)(∣𝑥 + 2∣ + ∣𝑥∣) = 4 − 3𝑝.
