n + (lg n) 2 lg n 2 n 2. Zbadaj, czy

Matematyka dyskretna-Notacje asymptotyczne

1. Porównaj parami funkcje f i g: W ka· zdym przypadku nale· zy sprawdzi´c czy f (n) = O(g(n)) lub f (n) = (g(n)) lub f (n) = (g(n)) : f 10 ³ n ⁴ lg n lg(lg n) n ² 2 ⁿ

100n + log ₁₀ n lg n n ^{lg n}

g 10 ³ n ³ n lg n 2 ⁿ 2 ²

n + (lg n) ² lg n ² n 2. Zbadaj, czy

(a) 33n ² + 3n 12 = O(n ³ );

(b) 33n ² + 3n 12 = (n ² );

(c) n ⁵ + 10n + 102 = (n ⁵ );

(d) n + 1000 = O(n ² );

(e) n ² + 10 ⁵⁵ = o(n ³ );

(f) log ₃ n ⁸⁴ = O(lg n):

(g) w(n) = O(n ^k );gdzie w(n) = a k n ^k + a k 1 n ^{k 1} + ::: + a 1 n + a 0 ; a i 2 R; i = 0; 1; :::; k; a ^k > 0;

k 2 N;

(h) n ^0:9 lg n = o(n);

(i) (lg n) ² = o( p

n);

(j) n ² = o(2 ⁿ ); k 2 N:

(k) 5 ⁿ = o(n!);

(l) n ³⁼⁴ + lg n ⁴ + 10000 = o(n):

(m)

p

n + 20(lg n) ⁴⁵⁶ = (

p n) : (n) 2 ⁿ lg n + n! = (n!):

(o) n= lg n = (lg n):

(p) n ² = p

n + lg n = (n):

3. Wyznacz namniejsz ¾ a liczb ¾ e rzeczywist ¾ a k tak ¾ a, · ze f (n) = O(n ^k ) dla (a) f (n) = p

n 2n ³ + 3n + 1 ⁴ ; (b) f (n) = n ³⁼² + n ² p

n ⁵ + 2n:

(c) f (n) = n ² + 1 2n ⁴ + 3 p n + 2 ; (d) f (n) = 49n ⁴⁼³ + n p

n ⁵ + 2n;

(e) f (n) = 4n ^33:3 + 33n ^22:2 = 3n ^13:13 + 63n ¹¹ ; (f) f (n) = 5 ^{lg n} :

4. Sprawd´z, czy prawdziwe s ¾ a nast ¾ epuj ¾ ace oszacowania (a) lg n ⁿ = O(lg n)?

(b) (n + 1)! = (n!)?

(c) 16 ⁿ = (2 ⁿ )?

(d) n ² = o(n ³⁼² = (lg n) ⁶ )?

(e) 3 ⁿ⁺¹ = O(3 ⁿ )?

1

(f) 3 ²ⁿ = O(3 ⁿ )?

(g) (2n)! = O(n!)?

(h) 2(n!) = O(n!)?

5. (Zob. wyk÷ ad) Niech k i m b ¾ ed ¾ a dowolnymi liczbami naturalnymi, a 2 R i a > 1: Poka· z, · ze (a) (lg n) ^m = o( p

n); m; k 2 N:

(b) n ^k = o(a ⁿ ); k 2 N:

(c) a ⁿ = o(n!):

(d) n! = o(n ⁿ ):

6. Uszegowa´c rosn ¾ aco (w sensie asymptotycznym) nast ¾ epuj ¾ ace ci ¾ agi (a) lg n; lg(lg n); n lg n; n ^{lg n} ; n ⁶ ; n

; 2 ⁿ :

(b) n ² ; (1:01) ⁿ ; (0:99) ⁿ ; 1 + _n ^{1 n} ; lg n ⁿ ; 3 ^{lg n} :

(c) n ² lg n + n; n lg n + 2; n ³⁼² ; n ³ + n ² ; n ³⁼⁴ + lg n ²²² : (d) _{lg n} ¹ ; n ⁿ ; 3 ⁿ ; 1; n ^{lg n} ; 5 ⁵

; ₂ ¹

; _n ¹ :

7. Pokaza´c, · ze dla f (n) = 3n ⁴ + (n) i g(n) = 2n ³ + (n) zachodz ¾ a równo´sci (a) f (n) + g(n) = 3n ⁴ + (n ³ );

(b) f (n) g(n) = 6n ⁷ + (n ⁵ ):

8. Oszacowa´c asymptotycznie dok÷ adnie (za pomoc ¾ a notacji ) nast ¾ epuj ¾ ace sumy

(a) X n k=1

k ² ; X n k=1

k ³ ;

(b) H _n :=

X n k=1 1 k ;

X n k=1

1 k

;

X n k=1

1 k

;

X n k=1

1 k

;

(c) X n k=1

k ² blg kc ; X n k=2

k ² (blg kc) ³ ; X n k=2

k 2

2 (blg kc) ³ ;

(d) X n k=2

k ³ dln ke ; X n k=2

k (dln ke) ⁴ ;

(e) X n k=2

k 2

2 (blg kc) ³ ; X n k=2

k

5 (blg kc) ⁴ ;

(f) X n k=2

l p

k + _k ¹

+ 2 ^k m

; X n k=2

k ⁴ l p

k + _k ¹

m ;

(g) X n k=2

k ² jp

k + _k ¹

+ lg k k

; X n k=2

k ⁴ jlp k m

+ _k ¹

+ lg k k :

9. Zadania dodatkowe

(a) Rozwi ¾ aza´c równania w zbiorze liczb rzeczywistych i. ^x ₄ = 3;

ii. j

x

4 2

k

= 1 iii. ^x ₅ = 4;

iv. j

x

4 3

k

= 2:

(b) Rozwi ¾ aza´c równania w zbiorze liczb naturalnych

2

i. j

n

4 3

k = 2;

ii. j

2n

5 3

k

= 7 iii. l

n

4

m = 5;

iv. lg ⁿ ₂ = 6:

3