1.1. Elementy kombinatoryki
Przypomnimy podstawowe wzory potrzebne w dalszych roz- ważaniach.
Permutacja.Permutacją nazywamy dowolne odwzorowanie różnowartościowe zbioru n-elementowego w zbiór {1, 2, . . . , n}.
Liczba n-elementowych permutacji wyraża się wzorem:
Pn= n! = 1 · 2 · . . . · n. (1.1) Z permutacją mamy do czynienia wtedy, gdy pytamy się na ile sposobów można ustawić jakiś zbiór różnych elementów w sze- reg.
PRZYKŁAD 1.W finale biegu na 100 metrów startują czterej bie- gacze. Ile jest wszystkich możliwych rezultatów biegu?
R o z w i ą z a n i e.
Wszystkich rezultatów będzie 4!, czyli 24.
Kombinacja. Jest to k-elementowy podzbiór zbioru n-ele- mentowego. Liczba takich podzbiorów wyraża się wzorem
Cnk = n k
!
= n!
k!(n − k)!. (1.2)
PRZYKŁAD 2.Spośród 10 osób mamy wybrać trzyosobową dele- gację. Na ile sposobów możemy to zrobić?
R o z w i ą z a n i e.
Możemy to zrobić na C103 ="10
3 sposobów czyli 81··92·10·3 = 120 spo- sobów.
PRZYKŁAD 3. Dietetycy sugerują, że każdy człowiek powinien w ciągu dnia zjeść co najmniej 4 potrawy z mleka, dwie potrawy mię- sne, 3 potrawy z owoców i warzyw i 4 potrawy mączne. Przypuśćmy, że stołówka dysponuje 6 potrawami mlecznymi, 10 potrawami mię- snymi, 7 potrawami z owoców i warzyw i 5 potrawami mącznymi.
Ile można utworzyć zestawów potraw zgodnych z zaleceniami diete- tyków?
R o z w i ą z a n i e.
Aby rozwiązać to zadanie, trzeba obliczyć liczbę kombinacji w każ- dej grupie potraw, a potem otrzymane wyniki przemnożyć. I tak licz- ba możliwości w grupie mlecznej wynosi C64= 51··62 = 15. Liczba moż- liwości w grupie mięsnej wynosi C102 = 91··102 = 45. Liczba możliwości w grupie owoco ¯wo-wa¯rzywnej wynosi C73 = 51··62··73 = 35. Liczba moż- liwości w grupie mącznej wynosi C54 = 5. Ostatecznie otrzymujemy wynik: wszystkich zestawów potraw jest
15 · 45 · 35 · 5 = 118125.
Wariacja bez powtórzeń. Jest to odwzorowanie różnowar- tościowe zbioru k-elementowego w zbiór n-elementowy (k ¬ n).
Liczba takich odwzorowań wyraża się wzorem Akn = n!
(n − k)!. (1.3)
PRZYKŁAD 4. W wyścigach konnych typuje się kolejność trzech pierwszych koni. W wyścigu startuje 8 koni. Ile jest możliwych typów?
R o z w i ą z a n i e.
Typów jest A38= 8!5! = 6 · 7 · 8 = 336.
Wariacja z powtórzeniamito dowolne (niekoniecznie róż- nowartościowe) odwzorowanie zbioru k-elementowego w zbiór n-elementowy. Liczba takich odwzorowań jest równa nk.
PRZYKŁAD 5.W grupie jest 5 studentów: s1, s2, s3, s4, s5. Trzeba ich podzielić na dwie podgrupy angielską i francuską - każdy z nich może wybrać jeden język spośród dwóch. Ile jest wszystkich możli- wych podziałów?
R o z w i ą z a n i e.
Oznaczmy przez X zbiór {s1, s2, s3, s4, s5}, a przez Y zbiór {A, F }.
Każdemu studentowi (czyli elementowi zbioru X) przyporządkowu- jemy wybrany język (a więc element zbioru Y ). Zatem wszystkich podziałów jest tyle, ile funkcji ze zbioru X (k = 5) w zbiór Y (n = 2), a więc 25= 32.
1.2. Wzór Stirlinga
Bezpośrednie obliczanie powyższych wyrażeń dla dużych n i k może być trudne i nieosiągalne nawet dla komputerów - liczby n! są olbrzymie. Dużą pomocą może być oczywiście logarytmo- wanie. Na przykład liczbę
p=
"50 10
"50 15
"100 25
można policzyć następująco. Najpierw obliczamy ln p :
ln p = [2(ln 1 + · · · + ln 50) − (ln 1 + · · · + ln 10) − (ln 1 + · · · + ln 40) − (ln 1 + · · · + ln 15) − (ln 1 + · · · + ln 35)]−
[(ln 1 + · · · + ln 100) − (ln 1 + · · · + ln 25) − (ln 1 + · · · + ln 75)].
Następnie obliczamy p = elnp. Jeśli mamy do dyspozycji kom- putery nie jest to bardzo trudne, choć dla jeszcze większych n, np. równych wielu milionom, a takie sytuacje często się w prak- tyce zdarzają, byłoby już to skomplikowane nawet dla nowocze- snych maszyn.
Istnieje szybsza metoda, pozwalająca wykonywać przybliżone obliczenia wyrażeń, w których występują silnie. Oparta jest ona na wzorze szkockiego matematyka J. Stirlinga. Wzór ten mówi, że ciąg
an = n!
nne−n√ 2πn dąży do 1.
Oznacza to, że dla dużych n mamy n! ≈ nne−n√
2πn. (1.4)
Zastosujmy ten wzór do poniższego przykładu będącego uogól- nieniem przykładu poprzedniego
p=
"M k
"N −M
n−k
"N n
.
Z wzoru Stirlinga dla każdego u v, u, v ∈ IN mamy ln"uv≈ [u ln u − u + ln(√
2πu)] − [v ln v − v + ln(√ 2πv)]
− [(u − v) ln(u − v) − (u − v) + ln(p2π(u − v))]
= [u ln u + ln(√
2πu) − [v ln v + ln(√ 2πv)]
− [(u − v) ln(u − v) + ln(p2π(u − v))].
Zatem
ln p ≈ [M ln M+ln(√
2πM )−k ln k−ln(√
2πk)−(M − k) ln(M − k)−
ln(p2π(M − k))] + [(N − M) ln(N − M) + ln(p2π(N − M)) − (n − k) ln(n − k) − ln(p2π(n − k)) − (N − M − (n − k)) ln(N − M − (n − k)) − ln(p2π(N − M − (n − k)))] − [N ln N + ln(√
2πN ) − n ln n − ln(√
2πn) − (N − n) ln(N − n) − ln(p2π(N − n))].
Liczba składników w powyższym wzorze jest równa zawsze 18 w przeciwieństwie do poprzedniej metody, gdzie jest proporcjo- nalna do liczb występujących we wzorze.
