Wyznacz funkcje tworzącą momenty, a następnie momenty zmiennych lo- sowych o następujących rozkładach: a) dwumianowym B(n, p), b) Poissona P(λ), c) gamma Γ(α, λ), d) normalnym N (µ, σ2), e) ujemnym-dwumianowym B−(n, p)

1. Wyznacz funkcje tworzącą momenty, a następnie momenty zmiennych lo- sowych o następujących rozkładach:

a) dwumianowym B(n, p), b) Poissona P(λ),

c) gamma Γ(α, λ), d) normalnym N (µ, σ²),

e) ujemnym-dwumianowym B⁻(n, p).

2. Niech φ(t) = ln MX(t). Pokazać, że φ(0) = 0, φ⁰(0) = EX, φ⁰⁰(t) = V arX.

3. Używając funkcji tworzących momenty, wyznacz rozkłady sum niezależ- nych zmiennych losowych o rozkładach danych w zadaniu pierwszym.

4. Józio założył się z Olkiem, że w 100 rzutach kostką uzyska w sumie nie mniej niż 400 oczek. Jakie jest przybliżone prawdopodobieństwo, że mu się uda?

5. Na poczcie pojawia się 100 klientów dziennie, każdy z nich dokonuje wpłaty (lub wypłaty) Xi, i = 1, . . . 100, gdzie Xi są niezależnymi zmien- nymi losowymi o tym samym rozkładzie, zerowej średniej i wariancji 100². Ile gotówki należy mieć w kasie rano, by z prawdopodobieństwem 0,99 na koniec dnia nie zabrakło pieniędzy? Zakładamy, że w ciągu dnia ewen- tualne braki uzupełnia ze swojej kieszeni naczelnik, ale wieczorem chce odzyskać swoje pieniądze.

6. Oddano 3600 rzutów kością. Niech N6 oznacza liczbę wyrzuconych szó- stek. Znaleźć takie k, aby

P (600 − k ≤ N₆≤ 600 + k) ≈ 0, 9.

7. Zmienne losowe X₁, X₂, . . . są niezależne, mają ten sam rozkład i EX₁= 0, V arX₁= 1. Wykazać, że

√n(X₁+ . . . + X_n)

X₁²+ . . . + X_n² →dN (0, 1)

oraz X₁+ . . . + X_n

pX₁²+ . . . + X_n² →dN (0, 1).

1