MODEL PRZEPŁYWU NIEUSTALONEGO Z KAWITACJĄ W PRZEWODACH CIŚNIENIOWYCH

(1)

34, s. 135-142, Gliwice 2007

MODEL PRZEPŁYWU NIEUSTALONEGO Z KAWITACJĄ W PRZEWODACH CIŚNIENIOWYCH

K

AMIL

U

RBANOWICZ

Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Szczecińska e-mail: kurbanowicz@ps.pl

Streszczenie. W pracy przedstawiony został model kawitacji pęcherzykowej, w którym uwzględniono zmienną prędkość propagacji fali ciśnienia. Model wyjściowy jest układem równań róŜniczkowych cząstkowych, składającym się z równania ruchu i ciągłości. Równania te wyprowadzone zostały dla jednorodnej mieszaniny cieczy i jej pary. W celu rozwiązania tego układu wykorzystano metodę charakterystyk. Wprowadzenie do tego rozwiązania prędkości propagacji fali ciśnienia, będącej funkcją stęŜenia fazy ciekłej, zamiast stosowania jej wartości stałej, spowodowało znaczną komplikację rozwiązania i konieczność wykorzystywania interpolacji. Otrzymane rozwiązanie jest bowiem układem dziesięciu równań nieliniowych, z których szukane parametry przepływu moŜna wyznaczyć jedynie metodami numerycznymi.

1. WSTĘP

Rozwiązywanie zamodelowanych równań róŜniczkowych cząstkowych opisujących przepływ nieustalony z kawitacją w przewodach ciśnieniowych jest zagadnieniem skomplikowanym. Wśród wielu metod mających na celu poszukiwanie rozwiązania tych równań aktualnie najbardziej popularna jest metoda charakterystyk (method of characteristics MOC) [1,2,9,11,12,13]. Stąd teŜ zaprezentowane w tej pracy rozwiązanie będzie właśnie wynikiem zastosowania tej metody. Wśród innych metod, słuŜących do rozwiązywania tego typu przepływu, moŜna wymienić m. in.: metodę róŜnic skończonych [6,7,8], metodę elementów skończonych FEM [3,10] oraz ostatnio zaprezentowaną metodę objętości skończonych [4].

W pracy niniejszej znany model kawitacji pęcherzykowej (bubble cavitation model BCM) [6,9] został zmodyfikowany poprzez uwzględnienie zmiennej prędkości propagacji fali ciśnienia. Następnie pokazano szczegółowy tok postępowania zmierzający do otrzymania rozwiązania układu równań róŜniczkowych cząstkowych (równania ciągłości i ruchu) opisującego przepływ nieustalony.

(2)

2. ROZWIĄZANIE

Model matematyczny opisujący przepływ nieustalony z kawitacją jest układem równań róŜniczkowych cząstkowych [9,11]:

( ) v 0

x t

t p c

1

m v

2 l =



 





⋅ α

∂

⋅ ∂ ρ

∂ + α

⋅∂ ρ

− ρ

∂ +

⋅∂ (1)

0 sin R g

2 x p v

t ^w ^m

m + ⋅τ +ρ ⋅ ⋅ γ=

∂ +∂



 





⋅ α

∂

⋅∂

ρ (2)

gdzie:

( ) v

l

m=α⋅ρ +1−α ⋅ρ

ρ (3)

Równanie (1) jest równaniem ciągłości wyprowadzonym dla jednorodnej mieszaniny, natomiast równanie (2) jest równaniem ruchu.

Przekształcając równanie (3) na gęstość mieszaniny, moŜna otrzymać wyraŜenie na współczynnik stęŜenia fazy ciekłej:

v l

v m

ρ

− ρ

ρ

−

=ρ

α (4)

Wykorzystując metodę charakterystyk, sprowadza się układ równań róŜniczkowych cząstkowych (1) (2) do dwóch układów równań róŜniczkowych zwyczajnych:

( ) 0

r g 2

t c

dt dp c 1 v dt

d

m w v

l m m

ρ =

⋅ τ + ⋅ γ

⋅

∂ + α ρ ∂

− ρ ρ ⋅

±

⋅ ⋅

±ρ



 





α sin (5)

gdzie: _c

dt

dx =± (6)

Następnie moŜna zapisać, Ŝe:

( )

( ¹ ) ^dp^dt

c

1 dt

dp c 1

v l

m

ρ ⋅

⋅ α

− + ρ

⋅ α

= ⋅

⋅ ⋅

ρ (7)

Prędkość propagacji fali ciśnienia „c” moŜna wyznaczyć ze wzoru [12]:

( )

( ) _



 





⋅ ρ + α

⋅ ρ

α

⋅ − ρ

⋅ α

− + ρ

⋅ α

=

2 l l 2 v v v

l a a

1 1

c 1 (8)

Grupując następujące wyraŜenia stałe:

2 v v

1 a

C 1

⋅

=ρ ;C₂=ρ_l−ρ_v;C₃=ρ_v;



 





⋅

−ρ

⋅

= ρ ₂

v v 2 l l

4 a

1 a

C 1 (9)

oraz przekształcając równanie (7), otrzyma się:

( )

dt dp C

C

C C C C C C C C dt

dp c 1

3 2

3 1 4 3 2 1 4 2 2

m

+ ⋅ α

+ + α +

= α

⋅ ⋅

ρ (10)

Stosując kolejne podstawienia

4 2C C

C = ;D=C₁C₂+C₃C₄;E =C₁C₃;F =C₂;G =C₃ (11) otrzyma się ostateczną postać tego wyraŜenia:

dt dp G F

E D C dt

dp c

1 ²

m

+ ⋅ α

+ α +

= α

⋅ ⋅

ρ (12)

Samą postać prędkości propagacji fali ciśnienia z tak pogrupowanymi stałymi zapisać moŜna następująco:

( ) ^C ^D ^E

1 C

C C C C C C C c 1

2 3 1 4 3 2 1 4 2

2 = α +α +

+ + α +

= α (13)

Natomiast gęstość mieszaniny zapisać moŜna jako:

(3)

G F C C₂ ₃

m=α + =α +

ρ (14)

Kolejnym wyraŜeniem, które zostanie przekształcone jest wyraŜenie:

( )

( C C ) C D E ^t

C t

c

2 3 2

2 v

l

m ∂

α

⋅∂ + α + α

⋅ +

= α

∂ α

⋅∂ ρ

− ρ

ρ ⋅ (15)

Stąd, wykorzystując podstawienia (11) :

( )

( F G) C D E ^t

F t

c

v 2 l

m ∂

α

⋅∂ + α + α

⋅ +

= α

∂ α

⋅∂ ρ

− ρ

ρ ⋅ (16)

dzieląc przez F, otrzyma się ostateczną postać:

( )

( H) C D E ^t

1 t

c

v 2 l

m ∂

α

⋅∂ + α + α

⋅ +

= α

∂ α

⋅∂ ρ

− ρ

ρ ⋅ (17)

gdzie:

H=G/F (18)

Układ równań (5) (6) moŜe zatem być przedstawiony jako:

( H) C D E ^t ^g ^r (²^F ^G) ⁰

1 dt

dp G F

E D C v

dt

d _w

2 2

+ = α

⋅ τ + ⋅ γ

⋅

∂ + α

⋅∂ + α + α

⋅ +

± α + ⋅

α + α +

± α



 





α sin (19)

E D C

1 dt

dx

2 +α +

± α

= (20)

MnoŜąc równanie (19) przez dt oraz przekształcając równanie (20), otrzyma się:

( ) r ( F G) ⁰

dt dt 2

g d E D C H dp 1

G F

E D C

d v ^w

2 2

+ = α

⋅

⋅ τ + ⋅

⋅ γ

⋅ + α + ⋅ α + α

⋅ +

± α + ⋅

α + α +

± α



 





α sin (21)

⋅ α α

⋅ + α + α

±

= d

d dx E D C

dt ² (22)

Następnym krokiem jest scałkowanie tego układu równań:

( ) r ( F G) ⁰

dt dt 2

g d E D C H dp 1

G F

E D C d v

P

R P

R p

R P

R p

p

R R

t

t w t

t 2

p

p 2 v

v

+ = α

⋅

⋅ τ + ⋅

⋅ γ

⋅ + α + ⋅ α + α

⋅ + + α + ⋅

α + α + + α



 





α

∫ ∫ ∫ ∫

∫

α

α α

α

sin (23)

⋅ α α

⋅ + α + α

=

∫

α

α d

d dx E D C dt

P

R P

R

2 t

t

(24) Indeksy związane są z punktami na siatce charakterystyk, tak jak przedstawia to poniŜszy rysunek (rys. 1).

P

B A

∆t t+∆t t

k k+1

i-1 i i+1

C+

C

C^-

R S

t

∆x

Rys. 1. Siatka charakterystyk Rozwiązania tych całek są następujące:

R R

p p v

v

v v d v

p p

R

R −α

=α



 





∫

α

(25)

Współczynnik stęŜenia fazy ciekłej nie jest zaleŜny od ciśnienia (przyjmuje wartości z przedziału (0, 1) przy stałej wartości ciśnienia p=pv,) moŜna więc zapisać, Ŝe:

(4)

( P R)

p 2

p p 2

p 2

p G p

F E D dp C

G F

E D dp C

G F

E D

C ^p

R P

R

− + ⋅

α + α +

= α +

α + α +

= α + ⋅

α + α +

α

∫

⁽²⁶⁾

PoniewaŜ zarówno gęstość mieszaniny jak i prędkość propagacji fali ciśnienia nie są funkcjami ciśnienia, moŜna zapisać to tak jak zaproponował Shu [9]:

( ) [ (

_P _v

) (

_R _v

) ]

o l v o

l 2

m

p p p c p

p 1 dt p

d c 1 dt dp G

F

E D C dt

dp c

1 − − −

⋅

=ρ

−

⋅ ⋅

=ρ + ⋅

α + α +

= α

⋅ ⋅

ρ (27)

( ) ^D ²^HC

HC 2 D

C H 2 1

HC 2 D

C H 2 1

d E D C H

1 P R

2

p

R −

+ − + + α

− + − +

− α

= α + ⋅ α + α

⋅ +

∫

α

(28)

(t t ) g t

g dt

g _P _R

t

P

R

∆

⋅ γ

⋅

=

−

⋅ γ

⋅

=

⋅ γ

⋅^sin

∫

^sin ^sin ⁽²⁹⁾

Równanie charakterystyk po przekształceniu moŜna zapisać:

⋅ α α + ⋅ α +

= α α→

⋅ α

⋅

= α→

⋅ α

⋅ + α + α

±

= d

d dt E D C dx 1

d d dt c d dx

d dx E D C dt

2

2 (30)

czyli otrzymamy następującą całkę dla charakterystyki C+:

∫

α

α + ⋅ α +

⋅ α α

− α

= −

−

P

R

d E D C

1 t

x t

x 2

R P

R P R

p (31)

gdzie po rozwiązaniu całki otrzymamy:



 





∆

− + α + −

∆

− + α

− − α ⋅

− α

= −

− 2C D

C 1 D C 2 C

1 t

x t

x ^P ^R

R P

R P R

p arcsin arcsin (32)

gdzie ∆ jest wartością stałą, równą:

D2

CE 4 −

=

∆ (33)

Natomiast dla charakterystyki C-, postępując analogicznie, wynik będzie następujący:



 





∆

− + α

− −

∆

− + α

⋅ − α

− α

= −

− 2C D

C 1 D C 2 C 1 t x t

x ^P ^S

S P

S P S

p arcsin arcsin (34)

W równaniach (32) i (34):

t t t t

t_P− _R= _P− _S=∆ (35)

Wynik całkowania równań zgodności moŜna zapisać jako następujący układ równań:

- równanie zgodności dla charakterystyki C+:

( ) ( )

[ ]

0 r t

t 2 g

HC 2 D

C H 2 1

HC 2 D

C H 2 1

p p p c p 1 v v

mR wR

R P

v R v P o l R R

p p

=

∆ ρ ⋅

⋅ τ + ⋅

∆

⋅ γ

⋅ +

















− + − +

⋅ α

− + + − +

⋅ α

− +

−

⋅ − +ρ













−α α

sin

(36)

- równanie zgodności dla charakterystyki C-:

( ) ( )

[ ]

0 r t

t 2 g

HC 2 D

C H 2 1

HC 2 D

C H 2 1

p p p c p

1 v v

mS wS

S P

v S v P o l S S

p p

=

∆ ρ ⋅

⋅ τ + ⋅

∆

⋅ γ

⋅ +

















− + − +

⋅ α

− + + − +

⋅ α

−

⋅ −

−ρ













−α α

sin

(37)

Grupując stałe w powyŜszych równaniach (36) i (37):

( )

r t t 2 HC g

2 D

HC 2 D

C H 2 1

c p p R v

mR R wR

o l

v R

R

R ⋅∆

ρ

⋅ τ

− ⋅

∆

⋅ γ

⋅

− − + − +

⋅ α

⋅ − ρ + −

=α sin (38)

(5)

( )

r t t 2 HC g

2 D

HC 2 D

C H

2 1

c p p S v

mR S wS

o l

v S S

S ⋅∆

ρ

⋅ τ

− ⋅

∆

⋅ γ

⋅

− − + − +

⋅ α

⋅ + ρ

− −

=α sin (39)

otrzyma się:

( )

HC R 2 D

HC 2 D

C H 2 1

c p

v p _P

o l

v P

p

p =

− + − +

⋅ α

⋅ − ρ + −

α (40)

( )

HC S 2 D

HC 2 D

C H 2 1

c p

v p _P

o l

v P

p

p =

− + − +

⋅ α

⋅ + ρ

− −

α (41)

Dodając stronami i porządkując, otrzyma się:

(R S)

v_P=α2^P + (42)

Odejmując stronami i porządkując, otrzyma się:

( )

v P

o l o

l

P p

HC 2 D

C H c 1

2 2

S R

p c +

− + − +

⋅ α

⋅ ρ

⋅

− +

⋅

=ρ (43)

Jak udowodniono w artykule [9], nie dochodzi do pojawiania się obszarów kawitacji przejściowej, wówczas gdy R≥S. Nie ma się wówczas do czynienia z przepływem nieustalonym z kawitacją, a z przepływem nieustalonym jednofazowym (tylko faza ciekła) αP=1. Tym samym prędkość cieczy i ciśnienie wyznaczać się będzie z następujących wzorów:

( )

v o

l o

l

P p

HC 2 D

C H 1 c 1 2 2

S R

p c +

− + −

⋅ +

⋅ ρ

⋅

− +

⋅

=ρ (44)

(^R ^S)

2

v_P=1 + (45)

Natomiast gdy R<S, powstaje obszar kawitacji, co powoduje konieczność wprowadzenia warunku, Ŝe pp=pv i tym samym wyznaczania współczynnika stęŜenia fazy ciekłej α_P, którego wartość słuŜy do wyznaczenia prędkości propagacji fali ciśnienia w rozpatrywanym przekroju poprzecznym i prędkości mieszaniny:

( ) ( )

(S R) (D 2HC) 16C HC 16 HC 2 D R S H D 16

2 2

P − − −

−

⋅

−

⋅

= −

α (46)

(R S)

v_P=α2^P + (47)

W związku z zmianą prędkości propagacji fali ciśnienia konieczne staje się zastosowanie metod interpolacyjnych do wyznaczania wartości parametrów przepływu w przekrojach znajdujących się pomiędzy węzłami obliczeniowymi. W wyniku zastosowania najprostszej z metod interpolacyjnych, interpolacji liniowej, otrzyma się następujący układ równań do rozwiązania, wówczas gdy kawitacja nie występuje w rozpatrywanym punkcie węzłowym P:

P=1

α (48)



 





∆

− + α + −

∆

− + α

− − α ⋅

−

⋅α

∆

= ∆ α

− α

α

−

α 2C D

C 1 D C 2 C 1 1

x

t _P _R

R P A

C R

C arcsin arcsin (49)



 





∆

− + α + −

∆

− + α

− − α ⋅

−

⋅α

∆

= ∆

−

− 2C D

C 1 D C 2 C 1 1

x t V V

V

V _P _R

R P A

C R

(6)



 





∆

− + α + −

∆

− + α

− − α ⋅

−

⋅α

∆

= ∆

−

− 2C D

C 1 D C 2 C 1 1

x t p p

p

p _P _R

R P A

C R

( )

v o

l o

l

P p

HC 2 D

C H 1 c 1 2 2

S R

p c +

− + −

⋅ +

⋅ ρ

⋅

− +

⋅

=ρ (52)

(R S)

2

v_P=1 + (53)

( )

r t t 2 HC g

2 D

HC 2 D

C H 2 1

c p p R v

mR R wR

o l

v R

R

R ⋅∆

ρ

⋅ τ

− ⋅

∆

⋅ γ

⋅

− − + − +

⋅ α

⋅ − ρ + −

=α sin (54)

( )

r t t 2 HC g

2 D

HC 2 D

C H

2 1

c p p S v

mR S wS

o l

v S S

S ⋅∆

ρ

⋅ τ

− ⋅

∆

⋅ γ

⋅

− − + − +

⋅ α

⋅ + ρ

− −

=α sin (55)



 





∆

− + α + −

∆

− + α

− − α ⋅

−

⋅α

∆

= ∆ α

− α

α

−

α 2C D

C 1 D C 2 C 1 1

x

t _P _S

S P C

B C

S arcsin arcsin (56)



 





∆

− + α + −

∆

− + α

− − α ⋅

−

⋅α

∆

= ∆

−

− 2C D

C 1 D C 2 C 1 1

x t V V

V

V _P _S

S P C

B C



 





∆

− + α + −

∆

− + α

− − α ⋅

−

⋅α

∆

= ∆

−

− 2C D

C 1 D C 2 C 1 1

x t p p

p

p _P _S

S P C

B C

Jak widać z ostatnich wzorów, niewiadome, które trzeba wyznaczyć, są następujące: αP, αR, v_R, p_R, p_P, v_P, R, S, α_S, v_S, p_S.

Gdy S>R, wówczas kawitacja w punkcie obliczeniowym P występuje i niezbędne będzie rozwiązanie następującego układu równań ze zmiennymi uwikłanymi:

v

P p

p = (59)

( ) ( )

(S R) (D 2HC) 16C HC 16 HC 2 D R S H D 16

2 2

P − − −

−

⋅

−

⋅

= −

α (60)

(R S)

v_P=α2^P + (61)

( ) _t

r t 2 HC g

2 D

HC 2 D

C H 2 1

c p p R v

mR R wR

o l

v R

R

R ⋅∆

ρ

⋅ τ

− ⋅

∆

⋅ γ

⋅

− − + − +

⋅ α

⋅ − ρ + −

=α sin (62)

( )

r t t 2 HC g

2 D

HC 2 D

C H

2 1

c p p S v

mR S wS

o l

v S S

S ⋅∆

ρ

⋅ τ

− ⋅

∆

⋅ γ

⋅

− − + − +

⋅ α

⋅ + ρ

− −

=α sin (63)



 





∆

− + α + −

∆

− + α

− − α ⋅

−

⋅α

∆

= ∆ α

− α

α

−

α 2C D

C 1 D C 2 C 1 1

x

t _P _R

R P A

C R



 





∆

− + α + −

∆

− + α

− − α ⋅

−

⋅α

∆

= ∆

−

− 2C D

C 1 D C 2 C 1 1

x t V V

V

V _P _R

R P A

C R



 





∆

− + α + −

∆

− + α

− − α ⋅

−

⋅α

∆

= ∆

−

− 2C D

C 1 D C 2 C 1 1

x t p p

p

p _P _R

R P A

C R



 





∆

− + α + −

∆

− + α

− − α ⋅

−

⋅α

∆

= ∆ α

− α

α

−

α 2C D

C 1 D C 2 C 1 1

x

t _P _S

S P C

B C



 





∆

− + α + −

∆

− + α

− − α ⋅

−

⋅α

∆

= ∆

−

− 2C D

C D 1 C 2 C 1 1

x t V V

V

V _P _S

S P C

B C

(7)



 





∆

− + α + −

∆

− + α

− − α ⋅

−

⋅α

∆

= ∆

−

− 2C D

C 1 D C 2 C 1 1

x t p p

p

p _P _S

S P C

B C

3. WNIOSKI

Przedstawione w tym artykule podejście dotyczące uwzględnienia zmiennej prędkości propagacji fali ciśnienia opiera się na rozwiązaniach przedstawionych w pracach m. in.

Wyliego i Streetera [1,12]. RóŜnica polega na tym, Ŝe w tamtych pracach prędkość propagacji fali ciśnienia związana była ze zmianami ciśnienia, które powodowały wydzielanie się z cieczy rozpuszczonego gazu. W tej pracy natomiast skupiono się na zmianie prędkości propagacji fali ciśnienia zaleŜnej od zmiany objętości obszaru wypełnionego kawitacją (parą cieczy), co waŜne przy stałym ciśnieniu p=p_v (przy ciśnieniu pręŜności pary nasyconej).

Stosowanie metody charakterystyk w celu otrzymania wyŜej przedstawionych układów równań nieliniowych powoduje konieczność wykorzystania interpolacji liniowej. Interpolacja liniowa stosowana jest do wyznaczenia wartości parametrów przepływu w przekrojach pomiędzy węzłami obliczeniowymi (w punkcie R i S – rys.1). Jednak w związku z nieliniowością analizowanego zagadnienia autorzy wielu prac sugerują, Ŝe moŜe to mieć negatywny wpływ na obliczenia numeryczne (np. w postaci wzmoŜonego nierealistycznego tłumienia) [2,5,12].

W przyszłości zbuduje się program komputerowy, którego zadanie będzie polegało na rozwiązywaniu omówionych układów równań dla kaŜdego punktu obliczeniowego siatki charakterystyk. Dopiero weryfikacja symulacyjna (porównania ilościowe i jakościowe rozwiązań z wykorzystaniem tego modelu z wynikami badań) pokaŜe, czy model ten poprawi stopień komputerowej predykcji stanów nieustalonych z kawitacją przy przepływie w przewodach zamkniętych.

LITERATURA

1. Bagieński J., Niełacny M.: Modele obliczeniowe uderzenia hydraulicznego z uwzględnieniem wydzielonego powietrza i kawitacji. „Archiwum Hydrotechniki” 1986, t. XXXIII, z. 3, 1, s. 259-266.

2. Bergant A., Simpson A.R., Tijsseling A.S.: Water hammer with column separation:

a historical review. “Journal of Fluids and Structures” 2006, 22, s. 135-171.

3. Borowicz T.: Analiza nieustalonego ruchu cieczy w rurociągu metodą elementów skończonych. „Archiwum Hydrotechniki” 1978, z. 4.

4. Chaiko M.: A finite – volume approach for simulation of liquid column separation in pipelines.”Trans. of ASME” 2006, November, s. 1324-1335.

5. Chaudhry M. H.: Applied Hydraulic Transients. Second Edition,Van Nostrand Reinhold Company Inc., New York, 1987.

6. Chaudhry M.H., Bhallamudi S.M., Martin S.C., Naghash M.: Analysis of transient pressures in bubbly, homogeneous, gas-liquid mixtures. “ASME Journal of Fluid Engineering” 1990, 112, s. 225-231.

7. IAHR: Hydraulic transients with water column separation. IAHR Working Group 1971- 1991 Synthesis Report, Enel, 2000.

8. Kono Y., Simpson A., Watanabe M.: Vapour mixture two phase flow analysis in waterhammer by upstream finite difference method. W: 7th International Conference on Pressure Surges and Fluid Transients in Pipelines and Open Channels. Harrogate, UK, 1996. BHR Group Conference Series, Publication 1996, No. 19, s. 99-108.

(8)

9. Shu J. J.: Modelling vaporous cavitation on fluid transients. “Intern. Journal of Pressure Vessels and Piping” 2003, Vol. 80, s. 187-195.

10. Shu J.J.: A finite element model and electronic analogue of pipeline pressure transients with frequency-dependent friction. “ASME Journal of Fluids Engineering” 2003, 125, s.

194–199.

11. Urbanowicz K., Zarzycki Z., Kudźma S.: Numerical simulations of transient cavitating turbulent flow using time dependent frictional losses. W: Conference Proceedings Modelling Fluid Flow (CMFF ’06), Budapest, Hungary, 2006, s. 760-767.

12. Wylie E.B., Streeter V.L.: Fluid transients. McGraw-Hill, New York : Mc-Graw Hill Book Comp., 1978.

13. Zarzycki Z., Urbanowicz K.: Modelowanie stanów nieustalonych podczas uderzenia hydraulicznego z uwzględnieniem kawitacji przejściowej w przewodach ciśnieniowych.

„InŜynieria Chemiczna i Procesowa” 2006, z. 3/1, t. 27, 2006, s. 915-933.

MODEL OF TRANSIENT PIPE FLOW WITH CAVITATION

Summary. The paper presents a model of bubble cavitation which takes into consideration a variable wave speed of pressure propagation. The exit model is a partial differential set of two equations including the equation of motion and continuity. They have been derived for a homogeneous mixture of liquid and its vapour. The method of characteristics was used to solve the set of partial differential equations. Inserting into these results a wave speed which is a function of volumetric fraction instead of using a constant value resulted in a complication of solution and made the researches use the method of interpolation. Because the solution is a set of ten equations with variables confounding, it can only be solved with numerical methods.

OZNACZENIA

c - prędkość propagacji fali ciśnienia [m/s], g - przyśpieszenie ziemskie [m/s²],

p - ciśnienie [Pa],

pv - ciśnienie pręŜności pary nasyconej [Pa],

t - czas [s],

R2

/ t

tˆ=ν - czas bezwymiarowy [-],

v - średnia prędkość przepływu [m/s], x - współrzędna osiowa przewodu [m], L - długość rurociągu [m],

r - promień rurociągu [m],

α - współczynnik stęŜenia fazy ciekłej [-], γ - kąt pochylenia rurociągu [°],

µ - lepkość dynamiczna [kg/ms], ν - lepkość kinematyczna [m²/s], ρ - gęstość [kg/m³],

τ_w - napręŜenie styczne na ściance rurociągu [N/m²],

INDEKSY DOLNE I GÓRNE

l - ciecz,

v - para,

m - jednorodna mieszanina cieczy i jej pary,