Procesy stochastyczne
1. Warunkowa wartość oczekiwana — powtórzenie
Ćw. 1.1 Niech Ω = R. O σ-algebrze F wiadomo, że jest najmniejszą σ-algebrą zawierającą zbiory 1. (−∞, 2], (−1, 1), [0, 3);
2. (−∞, 2], (−1, 1).
Wyznacz F .
Ćw. 1.2 Niech Ω = R, C1 = {(n, n + 1), n ∈ Z}, C2 = {[n, n + 1], n ∈ Z}. Sprawdź, czy zachodzą inkluzje σ(C1) ⊆ σ(C2) i σ(C2) ⊆ σ(C1).
Ćw. 1.3 Niech Ω = R oraz niech X : Ω → R będzie dane wzorem
X(ω) =
−1, ω < 2 0, 2 ¬ ω < 4 1, ω 4.
Wyznacz σ(X) i sprawdź, czy odwzorowanie X jest mierzalne względem σ-algebry genero- wanej przez {[n, n + 1], n ∈ Z}.
Ćw. 1.4 Dana jest przestrzeń Ω i dwa zdarzenia A, B ⊆ Ω. Zmienne losowe X i Y są zdefiniowane jako X = 1IA, Y = 1IB. Która z σ-algebr: σ(X, Y ), czy σ(X − Y ) jest większa?
Ćw. 1.5 Dana jest przestrzeń (Ω, F , P ). Niech C będzie ustalonym zdarzeniem, X = 1IC, zaś G = σ({A, B}). Wyznacz E(X | G). Co otrzymamy dla C = A?
Ćw. 1.6 Łączny rozkład zmiennych losowych X i Y dany jest w tabeli:
H HH
HH H
X
Y −1 0 1
0 0, 3 0, 2 0, 1 1 0, 1 0, 1 0, 2
Wyznacz E(X | Y = −1), E(X | Y = 0), E(X | Y = 1) oraz E(X | Y ).
Ćw. 1.7 X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie i skończonej war- tości oczekiwanej. Wyznacz E(X | X + Y ).
Ćw. 1.8 Niech Ω = [0, 1] × [0, 1], P = l2 |[0,1]2 . Wyznacz E(X2Y | Y ).
Ćw. 1.9 Na rysunku poniżej przedstawiono przestrzeń Ω, zdarzenia A, B, C oraz odpowia- dające im prawdopodobieństwa. Dla zmiennej losowej X = 1IC wyznacz E(X | 1IA, 1IB), E(X | 1IA− 1IB) oraz E(E(X | 1IA, 1IB) | 1IA− 1IB). Co zauważasz?
