Dwa jednakowe dodatnie ładunki punktowe q były pocz ˛ atkowo umieszczone w odległo´sci 2d od siebie.

LXVI OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY II STOPNIA

CZ ˛ E´S´ C TEORETYCZNA

Za ka˙zde zadanie mo˙zna otrzyma´c maksymalnie 20 punktów.

Zadanie 1.

Dwa jednakowe dodatnie ładunki punktowe q były pocz ˛ atkowo umieszczone w odległo´sci 2d od siebie.

W płaszczy´znie symetralnej odcinka ł ˛ acz ˛ acego te ładunki kr ˛ a˙zyło po okr ˛egu o promieniu r ^d małe ciało o masie m i ładunku ujemnym −q. Nast ˛epnie ładunki dodatnie przysuni ˛eto z jednakow ˛ a pr ˛ed- ko´sci ˛ a do siebie tak, ˙ze w stanie ko´ncowym ciało o ładunku ujemnym kr ˛ a˙zyło te˙z po okr ˛egu.

Wyznacz promie´n r ⁰ tego okr ˛egu.

We´z pod uwag ˛e tylko oddziaływanie elektrostaty- czne ładunków. Ładunki znajdowały si ˛e w pró˙zni.

Zarówno w stanie pocz ˛ atkowym, jak i w stanie ko´ncowym ładunki dodatnie były nieruchome.

Zadanie 2.

Na górnej (poziomej) oraz pochyłej, bocznej

´scianie nieruchomego klocka o przekroju w kształ- cie trapezu poło˙zono wiotki, cienki, nieroz- ci ˛ agliwy, jednorodny sznurek o masie m i dłu- go´sci L. Sznurek jest krótszy od pochyłej ´sciany bocznej.

Współczynnik tarcia sznurka o górn ˛ a ´scian ˛e klocka jest równy f, a w innych miejscach nie wyst ˛epuje tarcie. Kraw ˛ed´z ł ˛ acz ˛ aca pochył ˛ a ´scian ˛e z górn ˛ a jest lekko zaokr ˛ aglona. Do niej jest przymoco-

wana krótka rurka o ´srednicy wewn ˛etrznej nieco wi ˛ekszej od ´srednicy sznurka, gwarantuj ˛ aca swo- bodne przesuwanie si ˛e sznurka od jednej ´sciany do drugiej bez odrywania si ˛e od której´s z nich. K ˛ at nachylenia bocznej ´sciany wzgl ˛edem poziomu jest równy α. Przyspieszenie ziemskie wynosi g.

Koniec sznurka znajduj ˛ acy si ˛e na pochyłej ´scianie ci ˛ agni ˛eto powoli w dół do momentu, a˙z zacz ˛ał si ˛e zsuwa´c, a nast ˛epnie sznurkowi pozwolono porusza´c si ˛e swobodnie. Przyjmij, ˙ze pr ˛ed- ko´s´c sznurka w chwili rozpocz ˛ecia zsuwania jest równa 0. Obie cz ˛e´sci sznurka s ˛ a stale proste i prostopadłe do kraw ˛edzi ł ˛ acz ˛ acej górn ˛ a ´scian ˛e ze ´scian ˛ a pochył ˛ a.

Wyznacz pr ˛edko´s´c sznurka wzgl ˛edem klocka w chwili, gdy w cało´sci znajdzie si ˛e na pochyłej

´scianie klocka.

Zadanie 3.

Pewna planeta gazowa jest statyczna (nie ma makroskopowych ruchów gazu), sferycznie symetryczna i składa si ˛e z gazu doskonałego o stałej temperaturze T i masie molowej µ. Masa gazu zawartego w kuli o promieniu r i ´srodku pokrywaj ˛ acym si ˛e ze ´srodkiem planety jest — w pewnym danym zakresie R w ≤ r ≤ R z — dana wzorem

M (r) = M z ·

r R z

 ^α .

a) Przyjmuj ˛ ac, ˙ze R z jest dane, wyznacz paramet- ry M z oraz α.

b) Wysłano sond ˛e, b ˛ed ˛ ac ˛ a kul ˛ a o masie m s

i promieniu r s , do wn ˛etrza tej planety. W jakiej

odległo´sci od ´srodka planety taka sonda mo˙ze si ˛e

w niej unosi´c swobodnie i bez ruchu? Wykorzystaj

wyniki punktu a). Załó˙z, ˙ze ta szukana odległo´s´c

znajduje si ˛e mi ˛edzy R _w a R _z i ˙ze jest znacznie

wi ˛eksza od r s .

Rozwi ˛ azanie zadania 1.

Układ ma symetri ˛e obrotow ˛ a wokół osi przechodz ˛ acej przez ładunki dodatnie, zatem moment p ˛edu wzgl ˛edem tej osi jest zachowany

mr ^d v ^d = mr ⁰ v 0 , (1)

gdzie v ^d jest pr ˛edko´sci ˛ a pocz ˛ atkow ˛ a, a v ⁰ — ko´ncow ˛ a. Poniewa˙z i na pocz ˛atku, i na ko´ncu ciało porusza si ˛e po okr ˛egu, obowi ˛ azuj ˛ a równania

mv d ²

r ^d = F ^d , mv 0 ²

r ⁰ = F ⁰ , (2)

gdzie

F ^d = 2q ² r ^d

4πε ⁰ (d ² + r ² d ) ^{3 /2} , (3)

F ⁰ = 2q ² 4πε ⁰ r 0 ²

. (4)

St ˛ ad szukany promie´n okr ˛egu wynosi

r ⁰ = r _d ⁴

(d ² + r _d ² ) ^{3 /2} . (5)

Uwaga:

Poniewa˙z przy przesuwaniu ładunków musimy wykona´c prac ˛e zarówno przeciw sile odpychaj ˛acej ładunki dodatnie, jak i przeciw siłom oddziaływania ładunków dodatnich z ładunkiem ujemnym, energia układu nie jest zachowana.

Punktacja zadania 1

Wykorzystanie zasady zachowania momentu p ˛edu (wzór (1)) — 3 pkt.

Warunki ruchu po okr ˛egu (wzór (2)) — 2 pkt.

Radialna składowa siły elektrostatycznej w przypadku odległo´sci 0 (wzór (4)) — 1 pkt.

Radialna składowa siły elektrostatycznej w przypadku odległo´sci 2d (wzór (3)) — 2 pkt.

Wynik ko´ncowy (wzór (5)) — 2 pkt.

Rozwi ˛ azanie zadania 2

Niech l ⁰ oznacza długo´s´c sznurka pozostałego na górnej ´scianie w momencie, gdy sznurek zaczyna si ˛e swobodnie zsuwa´c. W tej granicznej sytuacji siła tarcia jest równowa˙zona przez sił ˛e ´sci ˛agaj ˛ac ˛a, a zatem

l ⁰

L mgf = L − l ⁰

L mg sin α. (6)

St ˛ ad

l 0 = sin α

f + sin α L. (7)

Je´sli przyjmiemy, ˙ze poło˙zenie górnej ´sciany klocka odpowiada zerowej energii potencjalnej, to pocz ˛ atkowa energia sznurka (przed rozpocz ˛eciem zsuwania) wynosi

E pocz = −mg L − l 0

L

L − l 0

2 sin α. (8)

Ko´ncowa energia sznurka wynosi

E kon = m

2 v ² − mgL sin α

2 , (9)

1

gdzie − ^{mgl sin α} 2 jest grawitacyjn ˛ a energi ˛ a potencjalna sznurka w rozwa˙zanym momencie — przyj ˛eli´smy tu, ˙ze poło˙zenie górnej ´sciany klocka odpowiada zerowej energii potencjalnej. W trakcie zsuwania si ˛e siła tarcia działaj ˛ aca na sznurek zmienia si ˛e liniowo z przesuni ˛eciem od ^l _L

mgf do 0, zatem straty energii wynosz ˛ a

1 2

l ⁰

L mgf · l ⁰ . (10)

Rozwa˙zania energetyczne prowadz ˛a do równo´sci E kon − E pocz = − ¹ 2 l

L mgf · l ⁰ , czyli m

2 v ² − mgL sin α 2

1 −

 1 − l 0

L

 ² 

= − 1 2

l 0

L mgf · l ⁰ . (11)

Z tego równania, uwzgl ˛edniaj ˛ ac wzór (7), wyznaczamy szukan ˛ a pr ˛edko´s´c v =

 gL

f + sin α sin α. (12)

Punktacja zadania 2

Warunek na poło˙zenie sznurka, od którego zaczyna si ˛e zsuwanie (wzór (6)) — 2 pkt.

Energia pocz ˛ atkowa (wzór (8)) — 1 pkt

Energia ko´ncowa (wzór (9)) — 2 pkt (w tym energia potencjalna —1 pkt., energia kinetyczna — 1 pkt.).

Praca wykonana przeciw siłom tarcia (wzór (10)) — 2 pkt.

Zasada zachowania energii z uwzgl ˛ednieniem strat zwi ˛ azanych z tarciem (wzór (11) lub równowa˙zny)

— 1 pkt.

Szukana pr ˛edko´s´c (wzór (12)) — 2 pkt.

Rozwi ˛ azanie zadania 3

a) Rozwa˙zmy cienk ˛a warstw ˛e planety w odległo´sci r od jej ´srodka; grubo´s´c tej warstwy oznaczmy przez dr. Wówczas g ˛esto´s´c planety w odległo´sci r od ´srodka mo˙zemy wyznaczy´c, dziel ˛ac mas ˛e takiej warstwy przez jej obj ˛eto´s´c dV = 4πr ² dr; ze wzoru na M (r) otrzymujemy:

ρ(r) = α M z

4πr ² R z ·

 r R z

 _α−1

= α M z

4πR ³ _z ·

 r R z

 _α−3

. (13)

Z równania stanu gazu doskonałego zale˙zno´s´c ci´snienia od r jest opisywana wzorem p(r) = RT

µ ρ (r) = α RT µ

M _z 4πR ³ _z ·

 r R z

 α−3

. (14)

Nat ˛e˙zenie pola grawitacyjnego w odległo´sci r od ´srodka planety wynosi g = GM (r)

r ² = GM z

R ² _z ·

 r R z

 α−2

. (15)

Przy małym zwi ˛ekszaniu odległo´sci od ´srodka planety o dr ci´snienie zmniejsza sie o dp, gdy˙z zmniejsza si ˛e nacisk słupa gazu. Zatem:

dp = −ρg dr. (16)

Taki przyrost ci´snienia obliczamy analogicznie do przyrostu masy niezb ˛ednego do wyznaczenia g ˛esto´sci. Podstawiaj ˛ ac uzyskany wynik oraz zwi ˛ azki (13) i (15) do wzoru (16) otrzymujemy:

α (α − 3) RT µ

M Z

4πR _z ⁴ ·

 r R z

 α−4

= −α M Z

4πR ³ _z ·

 r R z

 α−3

GM Z

R ² _z ·

 r R z

 α−2

(17)

= −α GM _Z ² 4πR ⁵ _z ·

 r R z

 ² _α−5

. (18)

2

Porównuj ˛ ac współczynniki i wykładniki funkcji pot ˛egowych po obu stronach uzyskanej równo´sci, stwierdzamy, ˙ze:

α = 1, (19)

M z = 2 RT

µG R z . (20)

b) Zgodnie z prawem Archimedesa sonda b ˛edzie si ˛e unosi´c, gdy jej g ˛esto´s´c b ˛edzie równa g ˛esto´sci gazu, czyli gdy

m s 4

3 πr ³ _s = α M Z

4πR _z ³ ·

 r R _z

 α−3

= M Z

4πR z · r ⁻² . (21)

St ˛ ad

r =

 M Z r _s ³ 3R z m s

=

 2RT 3µG

r _s ³ m s

. (22)

Punktacja zadania 3

G ˛esto´s´c gazu w zale˙zno´sci od odległo´sci od ´srodka planety (wzór (13)) — 2 pkt.

Ci´snienie gazu w zale˙zno´sci od odległo´sci od ´srodka planety (wzór (14)) — 1 pkt.

Nat ˛e˙zenie pola grawitacyjnego w zale˙zno´sci od odległo´sci od ´srodka planety (wzór (15)) — 1 pkt.

Zwi ˛ azek zmiany ci´snienia ze zmian ˛ a odległo´sci (wzór (16)) — 2 pkt.

Wyznaczenie parametru α (wzór (19)) — 1 pkt.

Wyznaczenie parametru M z (wzór (20)) — 1 pkt.

Prawo Archimedesa zastosowane w przypadku b) (wzór (21) lub równowa˙zny) — 1 pkt.

Odległo´s´c sondy od ´srodka planety (wzór (22)) — 1 pkt.

3