Podaj i krótko uzasadnij odpowied´z. Za ka˙zde z 15 zada ´n mo˙zna otrzyma´c maksimum 4 punkty.

LVI OLIMPIADA FIZYCZNA — ZADANIA ZAWODÓW I STOPNIA

Rozwi ˛azania zada´n I stopnia nale˙zy przesyła´c do Okr˛egowych Komitetów Olimpiady Fizy- cznej w terminach: cz˛e´s´c I — do 25 pa´zdziernika b.r, cz˛e´s´c II — do 15 listopada b.r.. O kwalifikacji do zawod/ow II stopnia b˛edzie decydowa´c suma punktów uzyskanych za rozwi ˛aza- nia zada´n cz˛e´sci I i II. Szczegóły dotycz ˛ace regulaminu oraz organizacji Olimpiady mo˙zna znale´z´c w broszurze i na afiszu rozesłanych do szk’oł ´srednich oraz na stronie internetowej http://www.kgof.edu.pl.

CZ ˛ E ´S ´ C I (termin wysyłania rozwi ˛ aza ´n — 25 pa´zdziernika 2006 r.)

Uwaga: Rozwi ˛ azania zada ´n nale˙zy zamie´sci´c w kolejno´sci zgodnej z ich numeracj ˛ a. Wszys- tkie strony pracy powinny by´c ponumerowane. Na ka˙zdym arkuszu nale˙zy umie´sci´c nazwisko i imi˛e oraz adres autora pracy. Na pierwszym arkuszu pracy dodatkowo nale˙zy poda´c nazw˛e, adres szkoły i klas˛e oraz nazwisko i imi˛e nauczyciela fizyki.

Podaj i krótko uzasadnij odpowied´z. Za ka˙zde z 15 zada ´n mo˙zna otrzyma´c maksimum 4 punkty.

Zadanie 1

Wewn ˛atrz sfery (powłoki kulistej o bardzo małej grubo´sci) o promieniu R i masie M znajduje si˛e sfera o promieniu R/2 i masie M/8. Sfer˛e puszczono bez pr˛edko´sci pocz ˛atkowej z równi pochyłej o wysoko´sci h (patrz rysunek 1, przedstawiaj ˛acy chwil˛e pocz ˛atkow ˛a), gdzie h  R.

Nast˛epnie wyj˛eto z niej mniejsz ˛asfer˛e i puszczono dokładnie w taki sam sposób jak poprzednio.

W którym przypadku pr˛edko´s´c u podstawy równi była wi˛eksza?

Pomi´n opór powietrza i tarcie toczne. Ani mi˛edzy sferami, ani mi˛edzy wi˛eksz ˛a sfer ˛a a równi ˛a nie wyst˛epuje po´slizg. Sfery nie s ˛a ze sob ˛a poł ˛aczone.

g

rys. 1 Zadanie 2

Przez nieruchom ˛abelk˛e o przekroju kołowym przewieszona jest cienka, wiotka i nierozci ˛agliwa linka o zaniedbywalnej masie. Jedna czwarta powierzchni belki jest szorstka (współczynnik tarcia liny o t˛e cz˛e´s´c belki jest równy 1), a pozostała – ´sliska (współczynnik tarcia liny o t˛e cz˛e´s´c belki jest równy 0). Do jednego ko´nca liny jest przymocowany ci˛e˙zarek o masie m

₀

. Gdy szorstka cz˛e´s´c belki znajduje si˛e w najwy˙zszym mo˙zliwym poło˙zeniu, to maksymalny ci˛e˙zar przymocowany do drugiego ko´nca belki, przy którym układ pozostaje w równowadze, ma mas˛e równ ˛a m

₁

(patrz rys. 2a)). Jaki maksymalny ci˛e˙zar, przy którym układ pozostaje w równowadze, mo˙zna powiesi´c na drugim ko´ncu liny, je´sli belka zostanie obrócona o k ˛at 45

^o

w stosunku do poprzedniego poło˙zenia (patrz rys. 2b)) ?

O´s belki jest w obu przypadkach pozioma, a cała lina znajduje si˛e w płaszczy´znie prostopadłej

do tej osi.

http://www.kgof.edu.pl 2

(a) (b)

m₂ m₁ m₀

m0

rys. 2 Zadanie 3

Na jednej szalce wagi stoi naczynie z wod ˛a. W wodzie zanurzony jest kamie´n, zwisaj ˛acy ze statywu, którego podstawa znajduje si˛e poza szalk ˛a (patrz rysunek 3). Obok naczynia, na tej samej szalce, znajduje si˛e torba z cukrem. Na drugiej szalce wagi s ˛a odwa˙zniki. Pocz ˛atkowo waga jest w równowadze. Co si˛e stanie po wsypaniu cukru do wody i rozpuszczeniu si˛e go?

cukier

rys. 3 Zadanie 4

Dzieci siedz ˛a na obwodzie spoczywaj ˛acej karuzeli. Moment bezwładno´sci karuzeli wraz z dzie´cmi (wzgl˛edem osi obrotu karuzeli) jest równy I

K

= 180 kg·m

²

. W chwili pocz ˛atkowej pies Azor stoi na karuzeli obok swojego wła´sciciela Adasia. Po chwili Azor przeskakuje do s ˛asiedniego dziecka, potem do nast˛epnego itd., a˙z w ko´ncu dociera znowu do Adasia. Oblicz kat φ

K

, o jaki karuzela obróciła si˛e wzgl˛edem trawnika.

Przyjmij, ˙ze Azor znajdował si˛e stale w odległo´sci r = 2 m od osi karuzeli, a jego masa m = 10 kg. Pomi´n tarcie i opór powietrza.

Zadanie 5

Stworzono now ˛a konkurencj˛e pływacko-biegow ˛a: nale˙zy dosta´c si˛e z punktu A do odległego od niego o d = 3600 m punktu B w jak najkrótszym czasie, przy czym mo˙zna si˛e porusza´c po dowolnym torze. Oba te punkty znajduj ˛a si˛e w wodzie w odleglo´sci h = 1000 m od prostolin- iowego brzegu. Pewien zawodnik biega zawsze z pr˛edko´sci ˛a v

l

, a w wodzie pływa zawsze z predko´sci ˛a v

_w

= v

_l

/2 (to bardzo dobry pływak, a zły biegacz). Jak ˛a taktyk˛e powinien przyj ˛a´c zawodnik: płyn ˛a´c do brzegu (je´sli tak, to pod jakim k ˛atem?), biec po l ˛adzie, a potem płyn ˛a´c do punktu B, czy płyn ˛a´c wprost do punktu B?

Pomi´n czas potrzebny do wej´scia do wody i do wyj´scia z niej.

Zadanie 6

Cienki, masywny pr˛et umocowany jest na niewa˙zkiej, osi przechodz ˛acej przez jego ´srodek masy

i tworz ˛acej z pr˛etem k ˛at α. Pr˛et obraca si˛e ze stał ˛a pr˛edko´sci ˛a katow ˛a ω wokół tej osi. W

pewnym momencie o´s p˛eka i dalej pr˛et porusza si˛e swobodnie. Opisz dalszy ruch pr˛eta. Graw-

itacj˛e pomijamy.

Zadanie 7

Trzy metalowe przedmioty (o bardzo du˙zym przewodnictwie cieplnym): kul˛e, sze´scian oraz walec o promieniu podstawy R i długo´sci 2R, do którego podstaw przymocowane s ˛a dwie półkule o promieniu R (patrz rys. 4) znajduj ˛a si˛e w pró˙zni, w tej samej (du˙zej) odległo´sci od Sło´nca, ale daleko od siebie. Dwie ´sciany sze´scianu oraz o´s walca s ˛a prostopadłe do kierunku przedmiot – Sło´nce. Przedmioty zachowuj ˛a si˛e jak ciała doskonałe czarne i s ˛a w równowadze termodynamicznej. Który z nich ma najwy˙zsz ˛a, a który najni˙zsz ˛a temperatur˛e?

rys. 4 Zadanie 8

Mleko zostało nalane do naczynia w kształcie sto˙zka, którego podstawa znajduje si˛e u dołu. Po pewnym czasie mleko rozdzieliło si˛e na dwie cz˛e´sci – ´smietan˛e na górze i reszt˛e mleka na dole.

Czy ci´snienie na dno naczynia wzrosło, zmalało, czy te˙z nie zmieniło si˛e?

Przyjmij, ˙ze rozdział faz nie zmienia całkowitej obj˛eto´sci.

Zadanie 9

Mały klocek poło˙zono wewn ˛atrz nieruchomej, kulistej czaszy o promieniu R, w miejscu w którym k ˛at nachylenia powierzchni w stosunku do poziomu jest równy α

₀

= 50

^◦

(patrz rys. 5).

Współczynnik tarcia klocka o czasz˛e jest równy µ = 1. W którym miejscu klocek si˛e zatrzyma?

Pomi´n opór powietrza i uwzgl˛ednij, ˙ze w rozpatrywanym przypadku w ka˙zdej chwili ruchu v

²

 gR, gdzie v jest pr˛edko´sci ˛a klocka, a g – przyspieszeniem ziemskim.

α

₀

rys. 5 Zadanie 10

Metalowa struna gitarowa o długo´sci L = 0,65 m drga z cz˛estotliwo´sci ˛a f = 300 Hz. Jest to jej podstawowy mod drga´n. Amplituda drga´n w ´srodku struny jest równa A = 5 mm. Płaszczyzna drga´n jest prostopadła do pola magnetycznego Ziemi, którego indukcja w tym miejscu wynosi B = 50µT. Oblicz maksymaln ˛a sił˛e elektromotoryczn ˛a wyindukowan ˛a mi˛edzy ko´ncami struny.

Przyjmij, ˙ze struna jest wiotka.

Wskazówka: Pole S pod sinusoid ˛a o równaniu y(x) = asin πx/l, x ∈ [0, l] jest równe a2l/π.

Zadanie 11

Samochód osobowy porusza si˛e bez po´slizgu. Jak ˛a cz˛e´s´c jego energii kinetycznej stanowi energia kinetyczna ruchu obrotowego kół? Przyjmij, ˙ze masa jednego koła jest równa 1/50 całkowitej masy samochodu, a pozostałe niezb˛edne parametry oszacuj.

Pomi´n energi˛e kinetyczn ˛a ruchu obrotowego elementów silnika i układu przeniesienia nap˛edu.

Zadanie 12

Cztery jednakowe oporniki, ka˙zdy o oporze R, s ˛a poł ˛aczone "w kwadrat". Do wierzchołków

kwadratu podł ˛aczony jest pr ˛ad czterofazowy, tzn. napi˛ecie na wierzchołku o numerze i (i =

http://www.kgof.edu.pl 4

1, 2, 3, 4) jest dane wzorem

U

_i

= U

₀

cos(ωt + πi/2).

Jaki powinien by´c opór r ka˙zdego z oporników poł ˛aczonych w "gwiazd˛e" aby wydzielana moc była równa mocy wydzielanej w przypadku "kwadratu" (patrz rys. 6)?

2 1

4

3 2

3 4

1

rys. 6 Zadanie 13

Ramka z przewodnika o kształcie b˛ed ˛acym brzegiem dwóch s ˛asiednich ´scian czworo´scianu foremnego o boku a, znajduje si˛e w stałym, jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B.

Pole magnetyczne jest prostopadłe do tych kraw˛edzi czworo´scianu, które nie wchodz ˛a w skład ramki (patrz rys. 7). Wzdłu˙z przewodnika płynie pr ˛ad o nat˛e˙zeniu I. Oblicz sił˛e oraz moment siły (wzgl˛edem ´srodka czworo´scianu) działaj ˛ace na ramk˛e.

I

B

rys. 7 Zadanie 14

Trzy elementy elektryczne: AB, BC i CD (patrz rys. 8) podł ˛aczono szeregowo do ´zródła pr ˛adu.

Woltomierzem o bardzo du˙zym oporze wewn˛etrznym zmierzono napi˛ecia skuteczne mi˛edzy poszczególnymi punktami otrzymuj ˛ac: U

_AB

= 1 V, U

_BC

= 1 V, U

_CD

= 1 V oraz U

_AD

= 1 V. Gdy układ jest odł ˛aczony od ´zródła pr ˛adu, zmierzone napi˛ecie skuteczne mi˛edzy wymienionymi punktami jest ka˙zdorazowo równe 0. Jak to mo˙zliwe? Podaj przykładowy układ, realizuj ˛acy tak ˛a sytuacj˛e.

AB BC CD

A B C D

rys. 8 Zadanie 15

Cz˛e´sciowo wypełnion ˛a wod ˛a butelk˛e zawieszono na długiej nici. Butelka swobodnie waha si˛e wraz z nici ˛a, a maksymalny k ˛at jej odchylenia od pionu wynosi α. Niech β b˛edzie k ˛atem, jaki wzgl˛edem poziomu tworzy powierzchnia wody w chwili maksymalnego odchylenia wahadła.

Który z przypadków zachodzi: a) β > α, b) β = α czy c) β < α ? Rozpatrujemy chwile po

wytłumieniu szybkich drga´n wody wewn ˛atrz butelki.

mgz = 1

2 mv

²

+ 1 2

I

r

²

v

²

= 1

2 m 1 + I

mr

²

v

²

,

gdzie

I

^jestmomentem bezwªadno± i sferywzgldem ±rodkamasy. Poniewa»

I

mr^{2 jest takiesamo}

dlaka»dejsfery,powy»szywzórozna za,»eprdko±¢sfery,azatemrównie»przyspieszenie,niezale»y

odjejrozmiarów. Bior¡ poduwagpo z¡tkoweustawieniesfer,ozna zato,»ewewntrzna sferanie

wpªywa naru h sfery zewnetrznej.

Odp. Prdko±¢bdzie taka sama.

Rozwi¡zanie zadania 2

Poniewa» lina jest niewa»ka, nie ma zna zenia k¡t ustawienia wzgldem pionu fragmentu liny

le»¡ egonaszorstkiejpowierz hni, wa»ne s¡ tylko kierunkiiwarto± isiª dziaªaj¡ y h nako« e tego

fragmentu. Zatem maksymalnamasa i»aru wdrugim przypadku te»bdzie równa

m

1^.

Rozwi¡zanie zadania 3

Poniewa»wzro±niegsto±¢ wody, wzro±niesiªawyporu. A zatemszalka zwod¡obni»y si.

Rozwiazanie zadania 4

Skoro pies wró iª do Adasia to

φ

P

− φ

^K

= 2π

^{, gdzie}

φ

P ^{jest k¡tem} odpowiadaj¡ ym zmianie poªo»eniapsa wzgldem ziemi.

Momentbezwªadno± i psa wzgldem osi obrotukaruzelijest równy

I

P

= mr

^2.

Zzasady za howania momentupdu wynika,»e

φ

K

I

K

+ φ

P

I

P

= 0,

st¡d

φ

K

= − I

P

I

K

+ I

P

2π = − 2π

IK

mr²

+ 1 = −36

^o.

Rozwi¡zanie zadania 5

Rozwa»my najpierw sytua j, w której zawodnik pªynie do brzegu, nastpnie biegnie wzdªu»

niego, a potem znowu pªynie do punktu

B

^{. Korzystaj¡ z analogiiz opty zn¡ zasad¡ Fermata, k¡t}

pod jakimpowinienpªyn¡¢ dobrzegu powinien speªnia¢ warunek

1 v

w

sin α

w

= 1 v

l

sin α

l

,

gdzie

α

w ^{jestkatemjakitworzy z±¢wodna toruznormaln¡dobrzegu(k¡t}"padania")a

α

l

=

^π₂

(k¡t"zaªamania"). Zatem

sin α

w

=

^v_v^w

l

. St¡d dªugo±¢ toru z± i wodnej wynosi

2h

cos α^w

=

^{r 2h}

1−“

vw vl

”2^,

a z± i l¡dowej 

d − 2h tg α

^w

= d − 2h

vw vl

r 1−“

vw vl

”2^{. Zatem zas dotar iado punktu}

B

^{wynosi w tym}

przypadku

2h cos α

w

/v

w

+ (d − 2h tg α

^w

) /v

l

.

Z drugiej strony zas przepªyni ia od punktu

A

^do

B

^wynosi _v^d_w^{. Zatem aby nie opªa aªo si}

pªyn¡¢ dobrzegu,musiby¢

2h cos α

w

/v

w

+ (d − 2h tg α

^w

) /v

l

> d v

w

,

zyli

d

h < 2 cos α

w

1 − sin α

^w

= 2 ctg  π 4 − α

w

2



W naszym przypadku otrzymamy

α

w

= 30

^o,

2

_{1−sin α}^{cos αw}_w

= 2 √

3 <

³⁶⁰⁰₁₀₀₀^{, zatem zawodnik powinien}

pªyna¢dobrzegu,podk¡tem

60

^{0 wstosunkudoniego,przebie pol¡dzie,apotempªyn¡¢ podkatem}

60

^{0 wstosunku do brzegudo punktu}

B

^.

Rozwi¡zanie zadania 6

Zauwa»my,»ezpunktu widzeniame haniki rozwa»anyprt jestrównowa»ny dwóm identy znym

punktommaterialnym o sumary znej masie równejmasie prta, poª¡ zonymniewa»kim, sztywnym

ªa znikiemo dªugo± i

l

^{tak dobranej,»eby momenty} bezwªadno± i tego ukªadu byªy takie same jak prta. Zatem zamiast rozpatrywa¢ ru h prta, rozpatrzmy nasz ukªad punktów. W po z¡tkowej

sytua ji,ka»dyzni hporuszasipookrguopromieniu

l

2

sin α

^{zprdko± i¡owarto± i}

v = ω

₂^l

sin α

^.

Taki ru h danego

i

^{-tego (}

i = 1, 2

^{) punktu} materialnego jest wymuszany przez: siª

F ~

ik^{dziaªaj¡ ¡}

wzdªu»ª¡ znikaorazsiª

F ~

i⊥^-prostopadª¡doª¡ znikai dowektoraprdko± ipunktu (patrzrys. 1).

Sumasiª

F ~

ik ^{orazi hmomentówjestrówna}

~0

^{,natomiastsumamomentówsiª}

F ~

i⊥ ^{jestniezerowaijest}

równa momentowisiª wizów zewntrzny h w stosunku do prta i wymuszaj¡ y hrozwa»any ru h.

Gdy te wizy przestan¡ dziaªa¢ (tzn. gdy o± pknie), równie» siªy

F ~

i⊥^{stan¡ si równe zeru. Zatem}

jedynymi siªami, jakie bd¡ dziaªa¢ na nasze punkty materialne, bd¡ siªy równolegªe do ª¡ znika.

Poniewa» ªa znik jest nieroz i¡gliwy, otrzymamy ru h po okrgu o promieniu

l/2

^{. Zauwa»my jed-}

no ze±nie, »e w »adnym momen ie nie dziaªaj¡ siªy skierowane wzdªu» wektora prdko± i danego

punktu materialnego, a zatem jej warto±¢ nie ulegnie zmianie. Ru h po okrgu o promieniu

l/2

^z

prdko± i¡

ω

₂^l

sin α

^{toru hz prdko± i¡k¡tow¡}

ω

₂^l

sin α

^{. Zatem prtbdzie siobra aªzprdko± i¡}

k¡tow¡

ω sin α

^{wokóªosiobrotu} prostopadªej doprta i prze hodz¡ ej przez jego±rodek.

Rozwi¡zanie zadania 7.

Powierz hnia po hªaniaj¡ aenergi Sªo« a jestw rozwa»any hprzypadka hodpowiednio równa

πR

^2,

πR

²

+ 4R

^2,

R

^2. Powierz hnia promieniuj¡ a to odpowiednio

4πR

^2,

4πR

²

+ 4πR

^2,

6R

^{2. Sto-}

sunki powierz hni po hªaniaj¡ ej do promieniuj¡ ej wynosz¡ zatem odpowiednio

1 4^,

π+4 8π ^,

1

6^{. Zatem}

najwy»sz¡temperaturbdzie miaª "wale ",a najni»sz¡ sze± ian.

Rozwi¡zanie zadania 8

Ozna zmy nastpuj¡ o:

ρ

^{ gsto±¢ mleka przed} rozdziaªem,

h

^{- wysoko±¢ sªupa mleka przed}

rozdziaªem,

ρ

₂ ^{ gsto±¢ mleka po rozdziale,}

ρ

₁ ^{ gsto±¢ ±mietany,}

V

₁ ^{ objto±¢ ±mietany,}

V

₂ ^

objto±¢ mleka po rozdzieleniu faz,

h

1 ^{- wysoko±¢ sªupa ±mietany,}

h

2 ^{ wysoko±¢ sªupa mleka po}

rozdzieleniufaz.

Poniewa»rozdziaªfaz nie zmienia aªkowitejobjto± i imasy,mamy:

ρ(V

1

+ V

2

) = ρ

1

V

1

+ ρ

2

V

2^,

st¡d

(ρ

₂

− ρ) V

2

= (ρ − ρ

1

) V

₁

.

(ρ

2

− ρ) h

²

< (ρ − ρ

¹

) h

1

.

Tnierówno±¢mo»na przepisa¢ w posta i

ρ

1

h

1

g + ρ

2

h

2

g < ρ (h

1

+ h

2

) g

^,

gdzie

g

^jestprzyspieszeniem ziemskim.

Ci±nieniehydrostaty zneprzedpodziaªemjestrówne

ρhg

^,apopodziale

ρ

1

h

1

g +ρ

2

h

2

g

^{. Poniewa»}

aªkowita objto±¢ nie ulega zmianie, mamy

h = h

1

+ h

2^{. Zatem powy»sza nierówno±¢ ozna za, »e}

porozdziale faz i±nienie nadnie na zynia zmaleje.

Rozwi¡zanie zadania 9.

Pra a wykonana przezsiª tar iajestrówna

µ∆xgm

^{, gdzie}

∆x

^jestpoziomymprzemiesz zeniem klo ka. Pra a wykonana przez grawita j jest równa

∆ygm

^{, gdzie}

∆y

^{jest pionowym}przemiesz ze- niem klo ka. Zzasady za howania energii

∆ygm = µ∆xgm

^{, zyli ∆y}_∆x

= µ

^{. Zatem punkt, wktórym}

klo ek si zatrzyma, jest prze i iem prostej o k¡ ie na hylenia

−µ

^{z torem, po którym porusza si}

klo ek. W rozpatrywanym przypadku ozna za to, »e klo ek zatrzyma si w miejs u, w którym k¡t

na hyleniawzgldem poziomujest równy

40

^o.

Rozwi¡zanie zadania 10

Ru h drgaj¡ y struny jest równowa»ny rzutowi obra aja ej si z prdko± i¡ katow¡

ω = 2π · f

wokóª osi

x

^sinusoidy

y = A sin π

^x_L

, x ∈ [0, L]

^{. Z prawa induk ji Faradayanajwiksza warto±¢ siªy}

motory znejjest równa

E =BSω = 4BALf ≈ 2 · 10

^−4V

.

Rozwi¡zanie zadania 11

Energia kinety zna ru hu postpowego samo hodu jest równa

E

pos.

=

¹₂

M v

^{2, gdzie}

M

^{jest jego}

aªkowit¡ mas¡ (wª¡ znie z mas¡ kóª), a

v

^ prdko± i¡. Energia kinety zna ru hu obrotowego kóª to

E

obr.

= 4 ·

¹₂

Iω

^{2, gdzie}

I

^jestmomentem bezwªadno± i jednego koªa, a

ω

^{ prdko± i¡ k¡tow¡jego}

ru hu obrotowego. Skoro samo hód porusza si bez po±lizgu, to

ω =

_R^{v, gdzie}

R

^{jest promieniem}

koªa. Z drugiej strony

I = αmR

^{2, gdzie}

α

^{jest pewnym} bezwymiarowym parametrem, a

m

^{ mas¡}

koªa. Zatem

E

obr.

E

pos.

= 4 m M α

^.

Dlapeªnegokr¡»ka

α = 0, 5

^{. Wprzypadkugdybymasabyªatylkonajegobrzegu}

α = 1

^{. Warto±¢}

α

^{dla danego koªajestzatem zapewne warto± i¡ po±redni¡midzy tymidwiema. Zatemprzyjmuja}

M = 50m

^otrzymamy

1

25 < E

obr.

E

pos.

< 2 25

Rozwi¡zanie zadania 12

Ró»ni anapi¢ midzy

i

^{-tym oraz}

i + 1

^-tymwierz hoªkiemjest równa

U

o

cos 

ωt + i π 2



− U

^o

cos h

ωt + (i + 1) π 2

i = −2U

^o

sin 

ωt + i π 2 + π

4

 sin π 4 .

Jestto napi iesinusoidalne oamplitudzie

2U

0

sin

^π₄

= √

2U

0^{. Mo} wydzielaj¡ asina oporniku

ooporze

R

^bdzierówna

(

^√2U0

)

²

2R ^{. W przypadkupoª¡ zeniawgwiazdró»ni a napi¢nako« a h}

i

^-

tegoopornika wynosi

U

i^{, azatem wydzielanamo jestrówna} (U0)² 2r ^.

Poniewa»

(U0)²

2r

= (

^√2U0

)

²

2R ^{,dostajemy st¡d}

r = R 2 .

Rozwi¡zanie zadania 13

Caªkowita siªadziaª¡ a na ukªad zªo»ony z prostoliniowy hfragmentów przewodników

~l

i ^(zwrot

wektora jest okre±lony przez przepªywaj¡ y pr¡d) znajduj¡ y si w staªym polu magnety znym o

induk ji

B ~

^wynosi

F = ~ X

i

I~l

i

× ~ B = I X

i

~l

i

!

× ~ B.

Poniewa»dla obwodu zamknitego

P

i

~l

i

= ~0

^{, ozna zato,»e tasiªajest równa}

~0.

Naszukªad mo»emy traktowa¢jakoukªad dwó hpoª¡ zony hzesob¡ jednym bokiemtrójk¡tów

równobo zny h. Po obwodzie ka»dego trójk¡ta pªynie pr¡d

I

^{o kierunku tak dobranym, »eby}

sumary zny pr¡d pªyn¡ y wzdªu» wspólnej krawdzi trójk¡tów byª równy

0

^{. Caªkowity moment}

siªydziaªaj¡ y na nasz ukªad jest równy

M = ~

2

X

i=1

I ~ S

i

× ~ B = I

2

X

i=1

S ~

i

!

× ~ B,

gdzie

S ~

i ^{jest wektorem} prostopadªym do trójk¡ta

i

^{, o dªugo± i równej polu trójk¡ta, a zwro ie}

okre±lonym zgodnie z reguªa ±ruby prawoskrtnej przez kierunek pr¡du opªywaj¡ ego dany trójkat

(patrzrys. 3). Zauwa»my,»erzuty

P

2

i=1

S ~

i ^nakierunkiprostopadªedo

B ~

^{,okre±loneprzezkrawdzie}

zworo± ianu,któreniew hodz¡wskªadramki,s¡równe

0

^{. Zatem aªkowitymomentsiªydziaªaj¡ y}

naramk jestrówny

~0

^.

Rozwi¡zanie zadania 14

Tasytua jajest mo»liwa,gdy pr¡dpªyn¡ yprzez ukªad jestpr¡demzmiennym. Posz zególnymi

elementami ukªadu powinny by¢ (wdowolnejkolejno± i): kondensator, ewka oraz dowolny element

o zawadzie równej

Z

^{(np. opornik,} kondensator, ewka), przy zym i h odpowiednio pojemno±¢, induk yjno±¢ i

Z

^{powinny speªnia¢ warunek}

Z =

_ωC¹

= ωL

^{, gdzie}

ω

^jest zstotliwo± i¡ pr¡du.

Rozwi¡zanie zadania 15

W nieiner jalnym ukªadzie odniesienia zwiazanym z butelk¡, efektywne przyspieszenie ziemskie

jestrówne

~g

ef

= ~g − ~a

^{, gdzie}

~a

^jest przyspieszeniembutelki. Poniewa»butelkawaha siswobodnie,

~a

^{jest równe} prostopadªej do kierunku ni i skªadowej przyspieszenia ziemskiego. To ozna za, »e

~g

ef

jestskierowane wzdªu»ni i. Powierz hniawody wbutel e bdzie prostopadªa do

~g

ef^{, o ozna zab)}

β = α

^.