19 20 Σ

(1)

19 20 Σ

Nazwisko ⁰

Imię Indeks

ANALIZA 2, KOLOKWIUM nr

10

^, 14.05.2018, godz. 8:15–9:00 Wykład: J. Wróblewski

PODCZAS KOLOKWIUM NIE WOLNO UŻYWAĆ KALKULATORÓW Zadanie

19.

(10 punktów)

W każdym z zadań 19.1-19.12 podaj sumę szeregu w postaci liczby całkowitej.

Za n poprawnych odpowiedzi otrzymasz max(0, n–2) punktów.

W zadaniach 19.0 i 19.00 podane są poprawne odpowiedzi – możesz sobie rozwiązać te zadania, aby sprawdzić, czy nie popełniasz jakiegoś błędu rachunkowego.

Niech a_n=8n − 4√

3n − 2 − 1

√16n²− 15 . Wówczas:

19.0. ^X^∞

n=1

(a_n− a_n+1) = 1 19.00. ^X^∞

n=1

(a_n− a_n+2) = 0

19.1. ^X^∞

n=1

a²_n− a²_n+1= . . . .

19.2. ^X^∞

n=1

a²_n− a²_n+2= . . . .

19.3. ^X^∞

n=1

a³_n− a³_n+1= . . . .

19.4. ^X^∞

n=1

a³_n− a³_n+2= . . . .

(2)

19.5. ^X^∞

n=1

(2^aⁿ− 2^aⁿ⁺¹) = . . . .

19.6. ^X^∞

n=1

(2^aⁿ− 2^aⁿ⁺²) = . . . .

19.7. ^X^∞

n=1

(3^aⁿ− 3^aⁿ⁺¹) = . . . .

19.8. ^X^∞

n=1

(3^aⁿ− 3^aⁿ⁺²) = . . . .

19.9. ^X^∞

n=1

(4^aⁿ− 4^aⁿ⁺¹) = . . . .

19.10. ^X^∞

n=1

(4^aⁿ− 4^aⁿ⁺²) = . . . .

19.11. ^X^∞

n=1

√

24a_n− 23 −^q24a_n+1− 23= . . . .

19.12. ^X^∞

n=1

√

24a_n− 23 −^q24a_n+2− 23= . . . .

(3)

Zadanie

20.

(10 punktów)

Obliczyć współczynniki szeregu Fouriera funkcji f : R → R okresowej o okresie 2π okre- ślonej wzorem

f (x) =







1 dla x ∈ [0, π/2]

0 dla x ∈ (π/2, 2π)

Doprowadzić wzory na współczynniki szeregu Fouriera do postaci niezawierającej funkcji trygonometrycznych (czyli w ostatecznej postaci nie powinny występować w tych wzorach wyrażenia typu sinnπ czy cosnπ).