Spójne oddziaływanie atomu dwupoziomowego ze światłem

Wstęp do optyki i fizyki materii skondensowanej

Jacek Szczytko

Wojciech Wasilewski

Spójne oddziaływanie atomu dwupoziomowego ze światłem

przyblizenie dipolowe, optyczne równania Blocha, oscylacje Rabiego, prążki Ramseya.

Relaksacja – T₁ i T₂. Stan stacjonarny.

Linia Lorentza.

Poszerzenie niejednorodne. Echo fotonowe.

od równań Blocha do równań kinetycznych.

Zasady

• Wykład

• Ćwiczenia rozszerzające lub ilustrujące

• Obowiazkowe prace domowe www.fuw.edu.pl/~wwasil/

• Egzamin

• Zasady zaliczania:

30% zadania domowe, 30% egz. pisemny, 40% egz. ustny

Plan części optycznej

• Odziaływanie atomu ze światłem:

spójnie i niespójnie

• Kwantowanie pola E-M.

• Emisja spontaniczna itp.

• Atom ze spinem i jądrem

• Efekty wielofotonowe i kolektywne

Optyka współczesna

Elektrodynamika kwantowa

(QED) Optyka

kwantowa Lasery

Impulsy femto- i attosekundowe

ultraprecyzyjna spektroskopia Czas

Quantum Enhanced Technologies Metamateriały Ultrazimne

atomy i molekuły, BEC

telekomunikacja, światłowody, optyka zintegrowana

pojedyncze jony i atomy

optyka nieliniowa

Jeden atom (wodoru)

• Było:

• Nam starczy:

i
∂ψ

∂t =

p ˆ

2m + U

 ψ

i
∂ψ

∂t = 

n

E

|nn|

  

Hˆ0

ψ

Zaburzenie od fali E-M

• Było:

• Nam starczy:

dokładne wyprowadzenie:

np. L. I. Shiff,

er = 

n,m

n|er|m

  

d_n,m

|nm|

  

σˆn,m

i
∂ψ

∂t =

(p − eA)

2m + U + φ

 ψ

i
∂ψ

∂t = ˆ H

ψ + (e  E · r + . . .)ψ

W obrazie oddziaływania

obraz oddziaływania:

tzn. bez oddziaływania c_n=const

E =  E0 cos(ωt)

dwa poziomy w rezonansie

|ψ = 

n

c

e

|n

i
∂c

∂t = 

m

E ·   d

e

c

(t)

Rotating Wave Approximation

Ω =  d ·  E

e

/2

E =  E0e^−iωt/2

  

E⁺

+ E0e^iωt/2

  

E⁻

H =
ω ˆ

σ

+ 1

2 +
(Ωσ

+ Ω

σ

) H =
ω ˆ

σ

+ 1

2 + e  E · ( dσ

+  d

σ

) ˆ

σ

= σ

± iσ

Sfera stanów - Sfera Blocha

• moglibyśmy opisywać

|ψ = c

|0 + c

|1

|ψ = cos(θ/2)|0

+ e

sin(θ/2)|1

|1

|0

|0−|1√ 2

|0+|1√ 2

|0−i|1√ 2

Ze stanu do sfery i z powrotem

• współrzędne na sferze

|1

|0

|0−|1√ 2

|0+|1√ 2

|0−i|1√ 2

x

= ψ|σ

|ψ

|ψψ| = 1 + 

i

x

σ ˆ

2

• Bardzo wygodna analiza w obrazie Heisenberga (stan stały, zmienne operatory)

Ewolucja na sferze



−




dˆ σ

dt = i[ ˆ H/
, ˆ σ

]

• Bardzo wygodna analiza w obrazie Heisenberga (stan stały, zmienne operatory)

Ewolucja na sferze

|1

|0

|0−|1√ 2

|0+|1√ 2

|0−i|1√ 2

x

= ψ|σ

|ψ

wirują z częstością

~ω₀

dx

dt = x ×



 ℜΩ ℑΩ

ω



 i
dˆ σ

dt = −[ ˆ H, ˆ σ

]

Równania Blocha w układzie wirujacym wraz z polem E-M

|1

|0

|0−|1√ 2

|0+|1√ 2

Ω Ω Ω Ω

∆

∆

∆

∆ dx

dt = x

×



 ℜΩ

ℑΩ

∆





Oscylacje Rabiego

|1

|0

|0−|1√ 2

|0+|1√ 2

Ω Ω Ω Ω

∆

∆

∆

∆

Ω

= |Ω|

+ ∆

Zastosowanie: zegar atomowy

F=4 F=3

133Cs

2S_1/2

ω0=2π^.9.192 631 770GHz_.

Prążki Ramseya

|1

|0

|0−|1√ 2

|0+|1√ 2

Ω · t = π/2

∆

∆

∆

∆

∂x_r

∂t = x_r ×



ℜΩ^r ℑΩ^r

∆





π 2

π

2 ^{P t}

Pomiar

F=4 F=3

133Cs

2S_1/2

ω0=2π^.9.192 631 770GHz_.

|ψ =

1 − p

|0 + i √

p

|1

Prążki Ramseya

ω0=2π^.9 192 631 770 Hz_.

∆

∆ ∆

∆ [Hz][Hz][Hz][Hz]

zegar NIST-F1, około roku 2000

Macierz gęstości

ˆ

ρ = 

n

p_n|ψⁿψⁿ| _|1

|0

|0−|1√ 2

|0+|1√ 2

∆ ∆

∆ ∆

Sfera: stany czyste

Wnętrze kuli: stany mieszane

ˆ

ρ = 1 + 

i x_iσˆ_i 2

Relaksacja podłużna – T

|1

|0

|0−|1√ 2

|0+|1√ 2

˙x

= − x

T

Relaksacja podłużna – T

ale stan przestaje być czysty…

|ψ = α|0 + β|1

|β|² → (1 − τ /T¹)|β|²

σ_z → (1 − _T^τ₁ )σ_z

σ_x → (1 − 2T^τ1 )σ_x

T

<2T

1 − ₂^τ_T1  β

|ψψ| → 

α|0 + (1 − 2^τT1 )β|1

(. . .)^† + _T^τ

1 |00|

Równania Blocha z relaksacją

|1

|0

|0−|1√ 2

|0+|1√ 2

dx

dt = x

×



 ℜΩ

ℑΩ

∆



 −





x

/T

x

/T

(x

+ 1)/T





Stan stacjonarny

|1

|0

|0−|1√ 2

|0+|1√ 2

Ω Ω Ω Ω

∆ ∆ ∆

∆

0 = x_r ×



ℜΩ^r ℑΩ^r

∆



 −





x1/T2

x²/T²

(x3 + 1)/T1





Stan stacjonarny

dla słabych pól x_r ≃ [Ω∆, Ω/T2] 1/T₂² + ∆²

0 = x_r ×



ℜΩ^r ℑΩ^r

∆



 −





x¹/T² x2/T2

(x3 + 1)/T1





x_r = 1

1/T₂² + ∆² + ΩT1/T2





Ω∆

Ω/T2

−(1/T²² + ∆²)





Polaryzacja atomowa

d = ˜σ^x cos(ωt) + ˜σ^y sin(ωt)

Część dyspersyjna Część absorpcyjna

Polaryzacja

x_r ≃ [Ω∆, Ω/T2] 1/T₂² + ∆²

nd = χǫ⁰E

E = ℜ{E⁰e^{−iωt+ik·r}}

k = √

1 + χ

∇² − _c¹² _∂t^∂22 

E = _c2¹ǫ0

∂²

∂t² P

Profil Lorentza

σ^x = _∆^Ω _1+∆^∆2T22_T^{2 2}

2

σ^y = ΩT² _1+∆¹²_T ²

2

Część dyspersyjna Część absorpcyjna

Poszerzenie niejednorodne Inhomogeneous broadening

np. Cr³⁺:Al₂O₃

Poszerzenie dopplerowskie

p(v_x) = e⁻

mv2x 2kT

profil Voighta

α(ω) ∝



dω0p(ω0) 1

1 + (ω − ω⁰)²T₂²

Poszerzenie niejednorodne – T

*

|1

|0

|0−|1√ 2

|0+|1√ 2

∆ ∆

∆ ∆

Echo

fotonowe

Równania kinetyczne

|1

|0

|0−|1√ 2

|0+|1√ 2

T2 ≪ T¹

dx_r

dt = x_r ×



 Ω_r

0 0



 −





x1/T2

x2/T2

(x3 + 1)/T1





Równania kinetyczne

A B

˙n1 = IB(n0 − n¹) − An¹

˙n0 = IB(n1 − n⁰) + An1

x3 = n1 − n⁰ N

dx3

dt = − Ω²T2

  

2R

x3 − x3 + 1 T1

Absorpcja promieniowania

B

prawd. absorpcji

dla każdego atomu/s

∆z

I = cǫ0E²

2 [W/cm²]

moc absorbowana N R ·
ω N = nA∆z

absorption cross section

attenuation coefficient

R = Ω²T2

2 = E²d²T2

2
²

∆I

∆z = −nR ·
ω = −Ind²T2ω

ǫ0c = −Iα = −Inσ

W domu

1. Wyprowadzić równania Blocha bez tłumienia z Hamiltonianu

2. Narysować trajektorje stanów z przekroju sfery blocha pod wpływem relaksacji z T₂=2T₁

3. Co będzie jeśli złamiemy nierówność?

4. Znaleźć stan stacjonarny z tłumieniem

5. Znaleźć szerokość 1/e linii [MHz] dla par

Rubidu w temperaturze pokojowej. λ=795nm, T₂=35ns.

Obliczanie momentów dipolowych

• http://quantummechanics.ucsd.edu/ph130 a/130_notes/node422.html

• http://mathworld.wolfram.com/SphericalHa rmonic.html