Spis treści
Przedmowa do części drugiej 7
Oznaczenia i podstawowe definicje 8
1 Całka Riemanna i całka oznaczona 9
1.1 Badamy całkowalność funkcji . . . . 9
1.2 Znajdujemy całkę Riemanna z definicji . . . . 19
1.3 Znajdujemy granice pewnych ciągów . . . . 27
1.4 Obliczamy różne ciekawe całki oznaczone . . . . 32
1.5 Wyjaśniamy kilka pozornych paradoksów . . . . 44
1.6 Korzystamy z twierdzenia o wartości średniej . . . . 51
1.7 Zadania do pracy własnej . . . . 56
2 Całki niewłaściwe 58 2.1 Badamy zbieżność całek z definicji . . . . 58
2.2 Stosujemy różne kryteria . . . . 64
2.3 Wykorzystujemy kryterium całkowe do badania zbieżności sze- regów . . . . 74
2.4 Zadania do pracy własnej . . . . 77
3 Całki jednowymiarowe w geometrii i fizyce 79 3.1 Znajdujemy długości krzywych . . . . 79
3.2 Obliczamy pola powierzchni . . . . 86
3.3 Obliczamy objętości i pola powierzchni brył obrotowych . . . 94
3.4 Znajdujemy różne wielkości fizyczne . . . 102
3.5 Zadania do pracy własnej . . . 111
4
4 Funkcje wielu zmiennych 113
4.1 Znajdujemy obrazy i przeciwobrazy zbiorów . . . 113
4.2 Badamy granice i ciągłość funkcji . . . 117
4.3 Zadania do pracy własnej . . . 125
5 Pochodne funkcji wielu zmiennych 126 5.1 Obliczamy pochodne cząstkowe i kierunkowe . . . 126
5.2 Badamy różniczkowalność funkcji . . . 130
5.3 Zadania do pracy własnej . . . 139
6 Wyższe pochodne, wyrażenia różniczkowe i wzór Taylora 141 6.1 Sprawdzamy istnienie drugich pochodnych . . . 141
6.2 Przekształcamy wyrażenia i operatory różniczkowe . . . 146
6.3 Rozwijamy funkcje . . . 157
6.4 Zadania do pracy własnej . . . 164
7 Ekstrema i inne ważne punkty 166 7.1 Szukamy największej i najmniejszej wartości funkcji na zbiorze zwartym . . . 166
7.2 Badamy ekstrema lokalne i punkty siodłowe funkcji . . . 174
7.3 Zadania do pracy własnej . . . 185
8 Funkcje uwikłane i odwrotne 186 8.1 Badamy istnienie i ekstrema funkcji uwikłanej . . . 186
8.2 Znajdujemy pochodną funkcji odwrotnej . . . 200
8.3 Zadania do pracy własnej . . . 204
9 Równania różniczkowe pierwszego rzędu 205 9.1 Rozwiązujemy równania o zmiennych rozdzielonych . . . 205
9.2 Rozwiązujemy równania jednorodne . . . 213
9.3 Rozwiązujemy kilka szczególnych równań . . . 218
9.4 Rozwiązujemy równania zupełne . . . 231
9.5 Zadania do pracy własnej . . . 244
10 Równania różniczkowe wyższych rzędów 246 10.1 Rozwiązujemy równania liniowe o stałych współczynnikach . 246 10.2 Wykorzystujemy różne szczególne metody . . . 259
10.3 Zadania do pracy własnej . . . 270
5
11 Układy równań różniczkowych pierwszego rzędu 272
11.1 Stosujemy metodę eliminacji zmiennych . . . 272
11.2 Rozwiązujemy układy równań liniowych o stałych współczyn- nikach . . . 277
11.3 Zadania do pracy własnej . . . 302
12 Całka w wielu wymiarach 304 12.1 Badamy całkowalność funkcji . . . 304
12.2 Obliczamy całki po zadanych obszarach . . . 312
12.3 Zamieniamy kolejność całkowania . . . 318
12.4 Zadania do pracy własnej . . . 323
13 Całki wielowymiarowe w geometrii i fizyce 325 13.1 Znajdujemy pola płaskich powierzchni . . . 325
13.2 Obliczamy objętości brył . . . 332
13.3 Znajdujemy położenie środka masy . . . 341
13.4 Obliczamy momenty bezwładności . . . 348
13.5 Znajdujemy różne wielkości fizyczne . . . 355
13.6 Zadania do pracy własnej . . . 365
