Funkcje wielu zmiennych o wartościach rzeczywistych (ciągłość funkcji, pochodne kierunkowe)
1 Przydatne definicje i pojęcia
Definicja 1.1.
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej w otoczeniu punktu O(x0), x0 ∈Rn. Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
x→xlimof(x) = f(x0) dla x = x0, x ∈ O(x0).
Twierdzenia dotyczące działań arytmetycznych na funkcjach ciągłych w punkcie przenoszą się bez zmian na funkcje wielu zmiennych.
Definicja 1.2.
Funnkcjaf jest ciągła na pewnym zbiorze otwartym D ⊂Rn, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
W podobny sposób można zdefiniować ciągłość funkcji w punkcie skupienia dowolnego zbioru na płaszczyźnie oraz ciągłość na tym zbiorze.
Twierdzenie 1.1. Weierstrassa o osiąganiu kresów
Jeżeli funkcja f jest ciągła na zbiorze D domkniętym i ograniczonym w przestrzeni Rn (czyli zwartym), to istnieją punkty a ∈ D oraz b ∈ D, dla których
f(a) = sup
x∈Df(x), oraz f(b) = inf
x∈Df(x).
Definicja 1.3.
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej w otoczeniu punktu O(x0), x0 ∈Rn. Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie x0 w kierunku wektora v = [v1, v2, . . . , vn] określamy wzorem
limt→0
f(x0+tv) − f(x0) t
i oznaczamy symbolem fv(x0) albo ∂f∂v(x0).
W przypadku granicy przyt → 0+ pochodna kierunkowa jest przeniesieniem na funkcje wielu zmiennych pochodnej jednostronnej funkcji jednej zmiennej.
Pochodna kierunkowa określa szybkość zmiany wartości funkcji f w kierunku wektora v.
Interpretacja geometryczna (w R3):
Jeśli wykres funkcji f przekroimy półpłaszczyzną (albo płaszcyzną) przechodzącą przez punkt (x0, y0) równoległą dov, to na powierzchni wykresu orzymamy pewną krzywą. Półstyczna (albo styczna) do tej krzywej jest nachylona do płaszczyzny Oxy pod pewnym kątem γ. Wtedy
tgγ = fv(x0, y0) Strona 15
2 Zadania
1. Zbadać ciagłość funkcji f : R2 →R określonej f(x, y) =
0, dlay x,
√1
2|x − y| , y > x.
2. Wyznaczyć zbiory punktów ciągłości funkcji:
(i)f(x, y) =
√1− x2− y2 dla x2+y2 1
0 dla x2+y2 > 1 (ii) f(x, y) =
sinx dla y 0, x ∈R
1 dla y < 0, x ∈ R (iii)f(x, y) =
1−√
x2 +y2 dla x2+y2 < 1
x2+y2− 1 dla x2+y2 1 (iv)f(x, y) =
x + y dla x > 0, y ∈R
√x2+y2 dla x 0, y ∈R
(v) f(x, y) =
xx+y2−y2 dla |x| = |y|
2 dla |x| = |y|
3. Określić oraz narysować zbiór punktów nieciągłości funkcji:
(i)f(x, y) = x2+y12−1, (ii) f(x, y, z) = x2+y12+z2.
4. Obliczyć pochodna kierunkow a funkcji f : R2 →Rlub f :R3 →R: (i)f(x, y) = xy w punkcie (0, 0) w kierunku (1, 0) ( oraz (1, 1)), (ii) f(x, y) = x2y3 w punkcie (1, 2) w kierunku (2, 3),
(iii) f(x, y) = x2− y2 w punkcie (0, 0) w kierunku (1, 0) ( oraz (0, 1), (1, 1)), (iv) f(x, y) = x2 +y2 w punkcie (0, 0) w kierunku (a, b),
(v) f(x, y, z) = ex+y+z w punkcie (0, 0, 0) w kierunku (1/√ 3, 1/√
3, 1/√ 3).
5. Wykazać, że f :R2 →Rokreślona f(x, y) =
xy(x+y)
x2+y2 , (x, y) = Θ, 0, (x, y) = Θ
ma w (x0, y0) = Θ pochodna kierunkow a w kierunku dowolnego wektora, ale nie zachodzi rów- ność fa(x0, y0) +fb(x0, y0) =fa+b (x0, y0).
6. Wykazać, że f :R2 →Rokreślona f(x, y) =
xy2
x2+y2, (x, y) = Θ, 0, (x, y) = Θ
ma w (x0, y0) = Θ pochodna kierunkow a w dowolnym kierunku a ∈ R2, ale nie zależy ona liniowo od a. Zbadać ciagłość f w (x 0, y0).
7. Wykazać, że f :R2 →Rokreślona f(x, y) =
x4y2
x8+y4, (x, y) = Θ, 0, (x, y) = Θ
ma pochodna kierunkow a w Θ, zależn a liniowo od kierunku. Zbadać ci agłość f w (x 0, y0).
Strona 16
