Aksjomatyka Rachunku Prawdopodobie´nstwa Przypu´s´cmy, ˙ze wykonujemy pewien eksperyment losowy

ADAM OSEKOWSKI_,

1. Aksjomatyka Rachunku Prawdopodobie´nstwa

Przypu´s´cmy, ˙ze wykonujemy pewien eksperyment losowy. Powstaje natychmiast pytanie: w jaki spos´ob opisa´c go matematycznie?

Przede wszystkim, na pewno mo˙zemy m´owi´c o jego potencjalnych ,,najdrob- niejszych” wynikach, kt´ore bedziemy nazywa´_, c zdarzeniami elementarnymi. Zbi´or wszystkich zdarze´n elementarnych oznaczamy litera Ω, a do oznaczenia zdarze´_, n elementarnych bedziemy zazwyczaj u˙zywa´_, c litery ω.

Przyk lady:

1. Rzut moneta: mo˙zliwe dwa wyniki: Ω = {O, R}._,

2. Rzut kostka: mo˙zliwe sze´_, s´c wynik´ow: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Czesto nie interesuje nas konkretny wynik ω, ale to, czy nale˙zy on do wcze´_, sniej ustalonego podzbioru zbioru Ω. Takie podzbiory nazywamy zdarzeniami i oz- naczamy literami A, B, C, . . ..

Przyk lady, c.d.:

3. Rzucamy dwa razy kostka, A - suma oczek wynosi 4. W´_, owczas Ω = {(i, j) : 1 ≤ i, j ≤ 6} i A = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}.

4. Rzucamy moneta a˙z do wypadni_, ecia or la, A - wykonano co najwy˙zej trzy_, rzuty. W´owczas

Ω =(O), (R, O), (R, R, O), (R, R, R, O), . . . i A = (O), (R, O), (R, R, O) . 5. Obr´ot tarczy w ruletce, A - strza lka zatrzymuje sie w drugiej ´_, cwiartce.

W´owczas Ω = [0, 2π) i A = [π/2, π].

Szczeg´olne zdarzenia, interpretacje dzia la´n/relacji na zdarzeniach:

Ω - zdarzenie pewne,

∅ - zdarzenie niemo˙zliwe,

A ∩ B - zasz ly oba zdarzenia A, B,

A ∩ B = ∅ - zdarzenia sie wykluczaj_, a (s_, a roz l_, aczne),_, A ∪ B - zasz lo A lub B,

A⁰- nie zasz lo A (A⁰nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A, bad´_, z dope lnieniem zbioru A),

A \ B = A ∩ B⁰ - zasz lo A i nie zasz lo B, A ⊆ B - A pociaga za sob_, a B._,

Przypu´s´cmy, ˙ze mamy okre´slony zbi´or Ω i chcemy wyr´o˙zni´c rodzine F zdarze´_, n, kt´ore bedziemy bada´_, c. Pierwszy naturalny pomys l to rozwa˙zy´c 2^Ω - klase wszys-_, tkich mo˙zliwych podzbior´ow Ω. Wyb´or ten dobrze sie sprawdza w sytuacji gdy_, Ω jest zbiorem co najwy˙zej przeliczalnym. Niestety, dla |Ω| > ℵ₀ klasa 2^Ω jest zbyt du˙za - pojawiaja si_, e k lopoty z okre´_, sleniem na niej prawdopodobie´nstwa -

1

co wymusza wyb´or pewnej w la´sciwej jej podrodziny. Z drugiej strony, sensowna klasa F powinna by´c zamknieta na branie sum, iloczyn´_, ow i zdarzenia przeciwnego;

zak ladamy wiec, ˙ze F jest pewnym wyr´_, o˙znionym σ-cia lem podzbior´ow Ω. Przy- pomnijmy odpowiednia definicj_, e._,

Definicja 1.1. Rodzine F podzbior´_, ow Ω nazywamy σ-cia lem, je´sli (i) ∅ ∈ F ,

(ii) A ∈ F ⇒ A⁰∈ F , (iii) A1, A2, . . . ∈ F ⇒

∞

[

n=1

An ∈ F . Pare (Ω, F ) nazywamy przestrzeni_, a mierzaln_, a._,

Przechodzimy teraz do okre´slenia prawdopodobie´nstwa. Aby zyska´c nieco in- tuicji dotyczacej tego obiektu i jego w lasno´_, sci, wygodnie najpierw rozwa˙zy´c tzw.

czesto´_, s´c zdarze´n. Za l´o˙zmy, i˙z w pewnym do´swiadczeniu interesuje nas prawdopo- dobie´nstwo zaj´scia pewnego zdarzenia A. Powt´orzmy to do´swiadczenie n razy i zdefiniujmy

ρn(A) = liczba do´swiadcze´n w kt´orych zasz lo A

n .

Jest to czesto´_, s´c wzgledna zaj´_, scia zdarzenia A w serii n do´swiadcze´n, i spodziewamy sie, i˙z dla du˙zych n liczba ρ_{, n}(A) powinna by´c bliska szansie zaj´scia zdarzenia A w pojedynczym do´swiadczeniu. Jak latwo sprawdzi´c, ρ_n przyjmuje warto´sci w przedziale [0, 1] oraz posiada nastepuj_, ace w lasno´_, sci:

(i) ρn(Ω) = 1,

(ii) je´sli A₁, A₂, . . . sa parami roz l_, aczne, to ρ_{, n}

∞

[

k=1

A_k

!

=

∞

X

k=1

ρ_n(A_k).

Prowadzi to do nastepuj_, acej definicji._,

Definicja 1.2 (Aksjomatyka Ko lmogorowa). Niech (Ω, F ) bedzie ustalon_, a przest-_, rzenia mierzaln_, a. Funkcj_, e P : F → [0, 1] nazywamy prawdopodobie´_, nstwem, je´sli

(i) P(Ω) = 1,

(ii) dla dowolnych parami roz lacznych A_, 1, A2, . . . ∈ F zachodzi P

∞

[

k=1

Ak

!

=

∞

X

k=1

P(Ak).

Tr´ojke (Ω, F , P) nazywamy przestrzeni_, a probabilistyczn, a._, Uwagi:

1. Prawdopodobie´nstwo jest wiec miar_, a unormowan_, a na (Ω, F ). Czasami b_, e-_, dziemy m´owi´c, ˙ze P jest miara probabilistyczn, a._,

2. Nale˙zy pamieta´_, c, i˙z przy modelowaniu konkretnego do´swiadczenia losowego wyb´or przestrzeni probabilistycznej zale˙zy tylko od nas. W wielu sytuacjach z warunk´ow do´swiadczenia wynikaja pewne postulaty, kt´_, ore w mniej czy bardziej jednoznaczny spos´ob zadaja tr´_, ojke (Ω, F , P); czasami jednak tak nie jest (por._, paradoks Bertranda poni˙zej).

Twierdzenie 1.1 (Podstawowe w lasno´sci prawdopodobie´nstwa). Za l´o˙zmy, ˙ze (Ω, F , P) jest przestrzenia probabilistyczn_, a oraz A, B, A_, 1, A2, . . . ∈ F . W´owczas

(i) P(∅) = 0.

(ii) Je´sli A₁, A₂, . . . , A_n sa parami roz l_, aczne, to P_,

n

[

i=1

A_i

!

=

n

X

i=1

P(Ai).

(iii) P(A⁰) = 1 − P(A).

(iv) Je´sli A ⊆ B, to P(B \ A) = P(B) − P(A) oraz P(A) ≤ P(B).

(v) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

(vi) P

∞

[

i=1

A_i

!

≤

∞

X

i=1

P(Ai).

W lasno´s´c (v) z powy˙zszego twierdzenia mo˙zna uog´olni´c na przypadek sko´nczonej liczby zbior´ow. Zachodzi nastepuj_, acy fakt._,

Twierdzenie 1.2 (Wz´or w lacze´n i wy lacze´_, n). Je´sli A1, A2, . . . , An∈ F , to P(A1∪ A2∪ . . . ∪ An) =

n

X

i=1

P(Ai) −X

i<j

P(Ai∩ Aj) + X

i<j<k

P(Ai∩ Aj∩ Ak) − . . . + (−1)ⁿ⁺¹P(A¹∩ A2∩ . . . ∩ An).

Dowody powy˙zszych dw´och twierdze´n sa bardzo proste i opieraja si_, e na wyko-_, rzystaniu aksjomatyki Ko lmogorowa. Szczeg´o ly pozostawiamy czytelnikowi.

Twierdzenie 1.3 (Twierdzenie o ciag lo´_, sci). Za l´o˙zmy, ˙ze (Ω, F , P) jest przestrzenia,

probabilistyczna oraz (A_, n)^∞_n=1 jest ciagiem zdarze´_, n.

(i) Je´sli ciag ten jest wst_, epuj_, acy (tzn. A_, 1⊆ A2⊆ . . .), to P

∞

[

n=1

An

!

= lim

n→∞P(An).

(ii) Je´sli ciag ten jest zst_, epuj_, acy (tzn. A_, 1⊇ A2⊇ . . .), to P

∞

\

n=1

An

!

= lim

n→∞P(An).

Dow´od: (i) Rozwa˙zmy ciag (B_{, n})_n≥1 zdarze´n, zadany przez B₁= A₁, B₂= A₂\ A1, B₃= A₃\ A2, . . . . Jak latwo sprawdzi´c, zdarzenia B₁, B₂, . . . sa parami roz l_, aczne,_, Sk

n=1B_n= A_k dla dowolnego k ≥ 1 orazS∞

n=1B_n=S∞

n=1A_n. Zatem P

∞

[

n=1

A_n

!

= P

∞

[

n=1

B_n

!

=

∞

X

n=1

P(Bn) = lim

k→∞

k

X

n=1

P(Bn) = lim

k→∞P

k

[

n=1

Bn

!

= lim

k→∞P(Ak), gdzie w drugim przej´sciu korzystali´smy z przeliczalnej addytywno´sci miary P, a w czwartym skorzystali´smy z Twierdzenia 1 (ii).

(ii) Ciag dope lnie´_, n (A⁰_n)n≥1 jest wstepuj_, acy, a zatem, korzystaj_, ac z (i) oraz z_, praw de Morgana, mamy

P

∞

\

n=1

A_n

!

= 1 − P _∞

\

n=1

A_n

!⁰!

= 1 − P

∞

[

n=1

A⁰_n

!

= 1 − lim

n→∞P(A⁰n) = lim

n→∞P(An). 

Przyk lady:

1. (Schemat klasyczny, prawdopodobie´nstwo klasyczne). Za l´o˙zmy, ˙ze Ω jest zbiorem sko´nczonym, F = 2^Ωi wszystkie zdarzenia jednoelementowe sa jednakowo_, prawdopodobne. W´owczas, jak latwo sprawdzi´c, dla dowolnego A ∈ F ,

P(A) = |A|

|Ω|.

2. Za l´o˙zmy, ˙ze Ω = {ω₁, ω₂, . . .} jest zbiorem co najwy˙zej przeliczalnym oraz p₁, p₂, . . . - liczby nieujemne o sumie 1. W´owczas wyb´or F = 2^Ω oraz P({ωi}) = p_i, i = 1, 2, . . ., jednoznacznie zadaje przestrze´n probabilistyczna (Ω, F , P): dla_, ka˙zdego A ∈ F mamy

P(A) = X

i

1A(ωi)pi,

gdzie 1Ato funkcja wska´znikowa (charakterystyczna) bad´_, z indykator zbioru A:

1_A(ω) =

(1 je´sli ω ∈ A, 0 je´sli ω /∈ A.

3. (Prawdopodobie´nstwo geometryczne). Za l´o˙zmy, ˙ze Ω ∈ B(R^d), tzn. Ω jest podzbiorem borelowskim R^d, przy czym 0 < |Ω| < ∞ (tu | · | oznacza miare_, Lebesgue’a w R^d). Niech F = B(Ω) bedzie σ-cia lem podzbior´_, ow borelowskich Ω, a miara probabilistyczna P bedzie zadana przez,

P(A) = |A|

|Ω|.

W´owczas tr´ojka (Ω, F , P) jest przestrzenia probabilistyczn, a. Przestrze´_, n te wyko-_, rzystujemy do modelowania do´swiadczenia polegajacego na losowaniu punktu ze_, zbioru Ω.

4. (Paradoks Bertranda) Z okregu o promieniu 1 wylosowano ci_, eciw_, e AB. Jakie_, jest prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze bedzie ona d lu˙zsza ni˙z bok tr´_, ojkata r´_, ownoboczne- go wpisanego w ten okrag?_,

Przedstawimy trzy rozwiazania._,

I) Ze wzgledu na niezmienniczo´_, s´c okregu na obroty, wylosowanie ci_, eciwy AB_, mo˙zemy uto˙zsami´c z wylosowaniem miary kata ´_, srodkowego α = ∠AOB ∈ [0, 2π).

Tak wiec Ω = [0, 2π), F = B(Ω) oraz P jest prawdopodobie´_, nstwem geometrycznym.

Cieciwa spe lnia warunki zadania wtedy i tylko wtedy, gdy α ∈ (2π/3, 4π/3), a zatem_, szukane prawdopodobie´nstwo wynosi

P((2π/3, 4π/3)) =

|(2π/3, 4π/3)|

|[0, 2π)| = 1 3.

II) Wylosowanie cieciwy mo˙zna uto˙zsami´_, c z wylosowaniem jej ´srodka. Mamy wiec Ω = B(0, 1), F = B(Ω) i P jest prawdopodobie´_, nstwem geometrycznym.

Cieciwa b_, edzie spe lnia la ˙z_, adane warunki wtedy i tylko wtedy, gdy jej ´_, srodek bedzie_, le˙za l wewnatrz ko la o promieniu 1/2 wsp´_, o l´srodkowego z danym okregiem, zatem_, szukane prawdopodobie´nstwo wynosi

P([0, 1/2)) =

|B(0, 1/2)|

B(0, 1) = 1 4.

III) Tak jak w poprzednim rozwiazaniu, bierzemy pod uwag_, e po lo˙zenie ´_, srodka cieciwy, lecz tym razem patrzymy na jego odleg lo´_, s´c od ´srodka okregu. Tak wi_, ec_, Ω = [0, 1], F = B(Ω) i P jest prawdopodobie´nstwem geometrycznym. Cieciwa_, bedzie spe lnia la warunki zadania je´_, sli jej ´srodek bedzie odleg ly od ´_, srodka okregu o_, mniej ni˙z 1/2. Zatem szukane prawdopodobie´nstwo wynosi

P([0, 1/2)) = |[0, 1/2)|

|[0, 1]| = 1 2.

Tak wiec widzimy, i˙z otrzymali´_, smy trzy r´o˙zne wyniki, stad wyraz ,,paradoks”_, powy˙zej. Sprzeczno´sci jednak tu nie ma - u˙zyli´smy trzech r´o˙znych przestrzeni probabilistycznych do opisu tego samego do´swiadczenia losowego. Og´olnie rzecz uj- mujac, teoria prawdopodobie´_, nstwa nie rozstrzyga, jaki model do´swiadczenia nale˙zy wybra´c; pozwala ona oblicza´c prawdopodobie´nstwa zdarze´n dopiero w sytuacji, gdy zadano ju˙z konkretna przestrze´_, n probabilistyczna._,

2. Zadania

1. Na ile sposob´ow mo˙zna ustawi´c w ciag sze´_, s´c jedynek, pie´_,c dw´ojek oraz cztery tr´ojki?

2. Wyznaczy´c liczbe rozwi_, aza´_, n r´ownania x1+ x2+ x3+ x4= 50 a) w liczbach ca lkowitych nieujemnych x1, x2, x3, x4,

b) w liczbach ca lkowitych dodatnich x1, x2, x3, x4.

3. Ile jest takich ,,sz´ostek” w Totolotku, ˙ze ˙zadne dwie z wylosowanych liczb nie sa kolejne?_,

4. Z talii 52 kart wylosowano 13 kart. Jakie jest prawdopodobie´nstwo tego,

˙ze istnieje kolor, w kt´orym a) dok ladnie siedem, b) dok ladnie sze´s´c kart jest tego samego koloru?

5. Klasa liczy 15 uczni´ow. Nauczyciel wybiera na ka˙zdej lekcji na chybi l trafi l jednego ucznia do odpowiedzi. Obliczy´c prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze w ciagu 16_, lekcji ka˙zdy ucze´n bedzie przepytany._,

6. W szafie jest n par but´ow. Wyjmujemy na chybi l trafi l k but´ow (k ≤ n).

Obliczy´c prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze

a) w´sr´od wyjetych but´_, ow jest co najmniej jedna para, b) w´sr´od wyjetych but´_, ow jest dok ladnie jedna para.

7. (Ω, F , P ) jest przestrzenia probabilistyczn_, a, A, B, C ∈ F ._,

a) Za l´o˙zmy, ˙ze P (A ∪ B) = 1/2, P (A ∩ B) = 1/4, P (A\B) = P (B\A).

Obliczy´c P (A) oraz P (B\A).

b) Za l´o˙zmy, ˙ze A ∪ B ∪ C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (A ∩ B) = P (A ∩ C) = P (B ∩ C). Wykaza´c, ˙ze 1/6 ≤ P (A) ≤ 1/4.

c) Za l´o˙zmy, ˙ze P (A) ≥ 2/3, P (B) ≥ 2/3, P (C) ≥ 2/3, P (A ∩ B ∩ C) = 0.

Obliczy´c P (A).

8. Rozdano 52 karty czterem graczom, po 13 kart ka˙zdemu. Jakie jest praw- dopodobie´nstwo, ˙ze ka˙zdy z graczy ma co najmniej jednego pika?

9. Jest N list´ow i N zaadaresowanych kopert z r´o˙znymi adresami. Ka˙zdy list odpowiada dok ladnie jednemu adresowi i na odwr´ot. W lo˙zono listy do kopert na chybi l trafi l, po jednym li´scie do ka˙zdej koperty. Obliczy´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze

˙zaden list nie trafi l do w la´sciwej koperty.

10. Udowodni´c, ˙ze ka˙zde niesko´nczone σ-cia lo jest nieprzeliczalne.

11. Kij o d lugo´sci 1 z lamano losowo w dw´och punktach. Jakie jest praw- dopodobie´nstwo, ˙ze z powsta lych trzech odcink´ow mo˙zna zbudowa´c tr´ojkat?_,

12. Na niesko´nczona szachownic_, e o boku 1 rzucono monet_, e o ´_, srednicy ²₃. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze a) moneta znajdzie sie ca lkowicie we wn_, etrzu jednego_, z p´ol; b) przetnie sie z dwoma bokami szachownicy?_,

13. Na p laszczyzne podzielon_, a na niesko´_, nczone pasy o szeroko´sci d rzucono losowo ig le o d lugo´_, sci ` (` < d). Wyznaczy´c prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze ig la przetnie brzeg kt´orego´s pasa.

3. Prawdopodobie´nstwo warunkowe i niezale ˙zno´s´c zdarze´n 3.1. Prawdopodobie´nstwo warunkowe. Zacznijmy od nastepuj_, acego przyk ladu._,

Przyk lad: W urnie jest pie´_,c bia lych kul ponumerowanych liczbami 1, 2, 3, 4, 5 oraz trzy kule czarne ponumerowane liczbami 1, 2, 3. Losujemy kule i okazuje si_, e,_,

˙ze jest bia la. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze numer na niej jest parzysty?

Oczywista odpowied´z: 2/5. Z drugiej strony, formalnie, mamy do czynienia ze schematem klasycznym na

Ω = {(1, b), (2, b), . . . , (5, b), (1, c), (2, c), (3, c)}.

Okre´slmy zdarzenia: A - wylosowano kule o numerze parzystym, B - wylosowano_, kule bia l_, a; zatem_,

A = {(2, b), (4, b), (2, c)}, B = {(1, b), (2, b), . . . , (5, b)}

i mamy

2

5 =|A ∩ B|

|B| = |A ∩ B|/|Ω|

|B|/|Ω| =P(A ∩ B) P(B)

. Sugeruje to nastepuj_, ac_, a definicj_, e._,

Definicja 3.1. Za l´o˙zmy, ˙ze (Ω, F , P) jest przestrzenia probabilistyczn, a oraz A, B_, sa zdarzeniami takimi, ˙ze P(B) > 0. Prawdopodobie´_, nstwem warunkowym (zaj´scia) zdarzenia A pod warunkiem (zaj´scia) zdarzenia B nazywamy liczbe_,

P (A|B) = P(A ∩ B) P(B)

.

Uwaga: Jak latwo sprawdzi´c, przy ustalonym zdarzeniu B takim, ˙ze P(B) > 0, prawdopodobie´nstwo warunkowe P(·|B) jest nowa miar, a probabilistyczn_, a na (Ω, F )._, Twierdzenie 3.1 (Prawdopodobie´nstwo iloczynu zdarze´n). Za l´o˙zmy, ˙ze (Ω, F , P) jest przestrzenia probabilistyczn_, a oraz A_, 1, A2, . . ., Ansa zdarzeniami spe lniaj_, acymi_, warunek P(A1∩ A2∩ . . . ∩ An) > 0. W´owczas

P(A1∩ A2∩ . . . ∩ An)

= P(An|A₁∩ A₂∩ . . . ∩ A_n−1)P(An−1|A₁∩ A₂∩ . . . A_n−2) . . . P(A2|A₁)P(A1).

Dow´od. Wystarczy zastosowa´c definicje prawdopodobie´_, nstwa warunkowego.  Przyk lad:

W urnie znajduje sie n−1 bia lych kul oraz jedna czarna. Losujemy po jednej kuli_, a˙z do momentu, gdy wylosujemy czarna kul_, e. jakie jest prawdopodobie´_, nstwo tego,

˙ze wykonamy k losowa´n je´sli a) losujemy bez zwracania b) losujemy ze zwracaniem?

Oznaczmy bia le kule przez b1, b2, . . ., bn−1, a czarna kul_, e przez c. Mamy_, Ω = {(c), (b₁, c), (b₂, c), . . . , (b_n−1, c), (b₁, b₁, c), . . .},

F = 2^Ω, a prawdopodobie´nstwo zadane jest poprzez okre´slenie mas poszczeg´olnych zdarze´n jednoelementowych (por. Przyk lad 2 z poprzedniego wyk ladu).

Rozwa˙zmy zdarzenie Ai - i-ta kula jest bia la, i = 1, 2, . . .. Korzystajac z_, powy˙zszego twierdzenia, mamy

P(A⁰k∩ A_k−1∩ A_k−2∩ . . . ∩ A₁)

= P(A⁰k|A_k−1∩ . . . ∩ A₁)P(Ak−1|A_k−2∩ . . . ∩ A₁) . . . P(A2|A₁)P(A1).

a) Z warunk´ow zadania wynika, ˙ze P(Ai|A_i−1∩ . . . ∩ A₁) = n − i

n − i + 1, P(A⁰k|A_k−1∩ . . . ∩ A₁) = 1 n − k + 1, a zatem szukane prawdopodobie´nstwo wynosi

1

n − k + 1 ·n − k + 1

n − k + 2·n − k + 2

n − k + 3 · . . . ·n − 2 n − 1·n − 1

n = 1 n. b) Tym razem mamy

P(Ai|Ai−1∩ Ai−2∩ . . . ∩ A1) =n − 1 n , a wiec szukane prawdopodobie´_, nstwo jest r´owne



1 −n − 1 n



· n − 1 n · n − 1

n · . . . · n − 1 n = 1

n

 n − 1 n

^k−1 .

Zajmiemy sie teraz analiz_, a do´_, swiadcze´n ,,wieloetapowych”, w kt´orych mamy do czynienia z losowaniem w kilku krokach, a przestrze´n probabilistyczna jest zadana poprzez specyfikacje prawdopodobie´_, nstw warunkowych zwiazanych z poszczeg´_, olnymi krokami (por. przyk lad poni˙zej). Zacznijmy od definicji.

Definicja 3.2. M´owimy, ˙ze rodzina zdarze´n (Bk)ⁿ_k=1jest rozbiciem (sko´nczonym) zbioru Ω, je´sli B1∪ B2∪ . . . ∪ Bn = Ω oraz zdarzenia B1, B2, . . . , Bn sa parami_, roz laczne. Analogicznie definiujemy rozbicie przeliczalne Ω._,

Twierdzenie 3.2 (Wz´or na prawdopodobie´nstwo ca lkowite). Za l´o˙zmy, ˙ze (Ω, F , P) jest przestrzenia probabilistyczn_, a oraz A ∈ F oraz (B_{, k})_kjest rozbiciem Ω (sko´nczonym lub przeliczalnym), takim, ˙ze P(Bk) > 0 dla wszystkich k. W´owczas

P(A) = X

k

P(A|Bk)P(B^k).

Dow´od. Zdarzenia A ∩ B₁, A ∩ B₂, . . ., sa parami roz l_, aczne i daj_, a w sumie A, a_, zatem

P(A) = X

k

P(A ∩ Bk) =X

k

P(A|Bk)P(Bk). 

Twierdzenie 3.3 (Wz´or Bayesa). Przy za lo˙zeniach jak wy˙zej, je´sli P(A) > 0, to dla ka˙zdego k,

P(Bk|A) = P(A|Bk)P(B^k) P

nP(A|Bn)P(Bn)



= P(A|Bk)P(B^k) P(A)

 .

Dow´od. Wz´or wynika natychmiast z definicji prawdopodobie´nstwa warunkowego

oraz wzoru na prawdopodobie´nstwo ca lkowite. 

Przyk lad:

Dane sa urny I oraz II. W urnie I znajduje si_, e b_, 1kul bia lych oraz c1kul czarnych, za´s w urnie II - b2 kul bia lych i c2 kul czarnych. Losujemy urne, a nast_, epnie kul_, e_, z tej urny.

a) Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze kula jest bia la?

b) Za l´o˙zmy, ˙ze wyciagni_, eta kula jest bia la. Jakie jest prawdopodobie´_, nstwo tego,

˙ze losowano z I urny?

Mamy dwa etapy do´swiadczenia: losowanie urny oraz losowanie kuli z danej urny. Wprowad´zmy zdarzenia A - wyciagni_, eto bia l_, a kul_, e, B_{, 1} - wylosowano urne I,_,

B2 - wylosowano urne II. Mamy B_, 1∩ B2= ∅, B1∪ B2= Ω, a wiec rodzina (B_, i)²_i=1 jest rozbiciem Ω. Z warunk´ow zadania wynika, ˙ze

P(B1) = P(B2) =1

2 > 0, P(A|B1) = b₁ b1+ c1

, P(A|B2) = b₂ b2+ c2

. a) Korzystajac ze wzoru na prawdopodobie´_, nstwo ca lkowite mamy

P(A) = P(A|B¹)P(B¹) + P(A|B²)P(B²) =1 2

 b1

b₁+ c₁ + b2

b₂+ c₂

 . b) Na mocy wzoru Bayesa,

P(B1|A) = P(A|B¹)P(B¹) P(A)

= b1/(b1+ c1)

b₁/(b₁+ c₁) + b₂/(b₂+ c₂).

3.2. Niezale ˙zno´s´c zdarze´n. Zacznijmy od intuicji. Za l´o˙zmy, ˙ze A, B sa zdarzeni-_, ami, przy czym P(B) > 0. W´owczas zdarzenia A, B powinny by´c niezale˙zne, je´sli informacja o tym, ˙ze zasz lo zdarzenie B nie wp lywa na prawdopodobie´nstwo zaj´scia zdarzenia A; tzn. niezale˙zno´s´c powinna by´c r´ownowa˙zna r´owno´sci P(A|B) = P(A), czyli P(A ∩ B) = P(A)P(B). Przyjmujemy to jako definicje.,

Definicja 3.3. Za l´o˙zmy, ˙ze (Ω, F , P) jest przestrzenia probabilistyczn, a. Zdarzenia_, A, B sa niezale˙zne, je´_, sli

P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Uwaga: Je´sli P(A) = 0, to dla dowolnego B ∈ F zdarzenia A oraz B sa,

niezale˙zne. Ta sama teza zachodzi gdy P(A) = 1.

Zdefiniujemy teraz niezale˙zno´s´c wiekszej liczby zdarze´_, n. Zacznijmy od przy- padku sko´nczonego. Intuicyjnie, zdarzenia A₁, A₂, . . ., A_n sa niezale˙zne je´_, sli ka˙zdy poduk lad tych zdarze´n jest niezale˙zny oraz zdarzenia A_n, A₁∩ A₂∩ . . . A_n−1 sa_, niezale˙zne. jak latwo zauwa˙zy´c, powy˙zsze warunki wymuszaja r´_, owno´s´c

P(Ai₁∩ Ai₂∩ . . . ∩ Ai_k) = P(Aⁱ1)P(Aⁱ2) . . . P(Aⁱk)

dla dowolnego k = 2, 3, . . . , n i dowolnego rosnacego ci_, agu 1 ≤ i_, 1 < i2 < . . . <

ik ≤ n. Przyjmujemy to jako definicje._,

Definicja 3.4. M´owimy, ˙ze zdarzenia A₁, A₂, . . ., A_nsa niezale˙zne, je´_, sli dla wszys- tkich 2 ≤ k ≤ n oraz dowolnego ciagu 1 ≤ i_{, 1}< i₂< . . . < i_k≤ n zachodzi r´owno´s´c

P(Ai1∩ A_i2∩ . . . ∩ A_ik) = P(Ai1)P(Ai2) . . . P(Aik).

Definicja 3.5. M´owimy, ˙ze zdarzenia A1, A2, . . ., An sa niezale˙zne parami, je´_, sli dla dowolnych r´o˙znych i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, zdarzenia Ai oraz Aj sa niezale˙zne._,

Oczywi´scie niezale˙zno´s´c ,,zespo lowa” (czy te˙z ,, laczna”) zdarze´_, n A1, A2, . . ., An pociaga za sob_, a ich niezale˙zno´_, s´c parami. Implikacja w druga stron_, e nie jest_, prawdziwa, co ilustruje nastepuj_, acy przyk lad._,

Przyk lad:

Rzucamy dwa razy kostka. Niech A - za pierwszym razem wypad la parzysta_, liczba oczek, B - za drugim razem wypad la parzysta liczba oczek, C - suma oczek jest parzysta. Bezpo´srednio wyliczamy, i˙z

P(A) = P(B) = P(C) = 1

2, P(A ∩ B) = P(B ∩ C) = P(C ∩ A) = 1 4,

a wiec zdarzenia A, B, C s_, a niezale˙zne parami. Nie s_, a jednak niezale˙zne zespo lowo:_, mamy A ∩ B ⊂ C, a wiec P(A ∩ B ∩ C) = P(A ∩ B) = 1/4 6= P(A)P(B)P(C)._,

W przypadku dowolnej (by´c mo˙ze niesko´nczonej) liczby zdarze´n, niezale˙zno´s´c definiujemy nastepuj_, aco._,

Definicja 3.6. Za l´o˙zmy, ˙ze {Ai}i∈I jest pewna rodzin_, a zdarze´_, n. M´owimy, i˙z zdarzenia te sa niezale˙zne, je´_, sli dla ka˙zdego n oraz parami r´o˙znych i1, i2, . . ., in∈ I zdarzenia Ai₁, Ai₂, . . ., Ai_n sa niezale˙zne._,

Zdefiniujemy teraz pojecie niezale˙zno´_, sci σ-cia l.

Definicja 3.7. Za l´o˙zmy, ˙ze (Ω, F , P) jest przestrzenia probabilistyczn, a oraz F_, 1, F2, . . . , Fn sa σ-cia lami zawartymi w F . M´_, owimy, ˙ze σ-cia la te sa niezale˙zne, je´_, sli dla dowolnych A1∈ F1, A2∈ F2, . . ., An∈ Fn zachodzi warunek

P(A1∩ A2∩ . . . ∩ An) = P(A¹)P(A²) . . . P(Aⁿ).

Twierdzenie 3.4. Przy za lo˙zeniach powy˙zszej definicji, σ-cia la F₁, F₂, . . ., F_n sa_, niezale˙zne wtedy i tylko wtedy, gdy dowolne A₁ ∈ F1, A₂ ∈ F2, . . ., A_n ∈ Fn sa_, niezale˙zne.

Dow´od. ⇐ oczywiste.

⇒ Mamy dowie´s´c, ˙ze dla dowolnego 2 ≤ k ≤ n oraz dowolnego ciagu 1 ≤ i_, 1<

i2< . . . < ik ≤ n zachodzi r´owno´s´c

(∗) P(Aⁱ1∩ Ai₂∩ . . . ∩ Ai_k) = P(Aⁱ1)P(Aⁱ2) . . . P(Aⁱk).

Rozwa˙zmy zdarzenia B1, B2, . . ., Bn dane przez B_i=

(A_i je´sli i = i<sub>`</sub> dla pewnego `, Ω w przeciwnym przypadku.

W´owczas B₁∈ F1, B₂∈ F2, . . ., B_n∈ Fn, a zatem

P(B1∩ B2∩ . . . ∩ Bn) = P(B¹)P(B²) . . . P(Bⁿ),

co jest r´ownowa˙zne (*). 

Przyk lady:

1. Rzucamy dwa razy kostka. Wprowad´_, zmy standardowa przestrze´_, n proba- bilistyczna opisuj_, ac_, a to do´_, swiadczenie (por. poprzedni wyk lad). Rozwa˙zmy σ-cia la

F1= {A × {1, 2, 3, 4, 5, 6} : A ⊆ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}, F₂= {{1, 2, 3, 4, 5, 6} × B : B ⊆ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}.

W´owczas F₁, F₂ ⊂ F i F1, F₂ sa niezale˙zne: istotnie, dla dowolnych zdarze´_, n A × {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∈ F₁, B × {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∈ F₂mamy

P(A × {1, 2, 3, 4, 5, 6}) =

|A| · 6 36 = |A|

6 , P({1, 2, 3, 4, 5, 6} × B) = 6 · |B|

36 =|B|

6 oraz

P((A × {1, 2, 3, 4, 5, 6}) ∩ ({1, 2, 3, 4, 5, 6} × B)) = P(A × B) =

|A| · |B|

36 . 2. Za l´o˙zmy, ˙ze σ(A1), σ(A2), . . ., σ(An) bed_, a σ-cia lami generowanymi przez_, zdarzenia A₁, A₂, . . ., A_n, odpowiednio (przypomnijmy: σ(A) = {A, A⁰, ∅, Ω}).

W´owczas je´sli A₁, A₂, . . ., A_n sa niezale˙zne, to σ(A_{, 1}), σ(A₂), . . ., σ(A_n) te˙z sa_,

niezale˙zne. Aby to wykaza´c, musimy sprawdzi´c, ˙ze dla dowolnych Bi ∈ Fi, i = 1, 2, . . . , n, zachodzi

P(B1∩ B2∩ . . . ∩ Bn) = P(B¹)P(B²) . . . P(Bⁿ).

Je´sli co najmniej jedno ze zdarze´n Bi jest zbiorem pustym, to powy˙zsza r´owno´s´c jest spe lniona: obie strony sa r´_, owne 0. Je´sli dla pewnego j mamy Bj = Ω, to mo˙zemy to zdarzenie pomina´_,c po obu stronach. Zatem, wystarczy dowie´s´c, ˙ze dla dowolnego ciagu 1 ≤ i_, 1< i2< . . . < ik≤ n mamy

P(Bi₁∩ Bi₂∩ . . . ∩ Bi_k) = P(Bⁱ1)P(Bⁱ2) . . . P(Bⁱk), gdzie dla ka˙zdego j, zdarzenie B_ij jest r´owne A_ij lub A⁰_i

j. Poprzez prosta indukcj_, e,_, wystarczy wykaza´c, ˙ze

P(A⁰i1∩ Ai₂∩ Ai₃∩ . . . ∩ Ai_k) = P(A⁰i1)P(Aⁱ2)P(Aⁱ3) . . . P(Aⁱk), co natychmiast wynika z niezale˙zno´sci zdarze´n A₁, A₂, . . ., A_n: istotnie,

P(A⁰i₁∩ Ai2∩ Ai3∩ . . . ∩ Ai_k)

= P(Aⁱ2∩ Ai₃∩ . . . ∩ Ai_k) − P(Aⁱ1∩ Ai₂∩ Ai₃∩ . . . ∩ Ai_k)

= P(Aⁱ2)P(Aⁱ3) . . . P(Aⁱk) − P(Aⁱ1)P(Aⁱ2)P(Aⁱ3) . . . P(Aⁱk)

= P(A⁰i₁)P(Ai2)P(Ai3) . . . P(Aik).

Rozwa˙zmy teraz nastepuj_, acy problem. Za l´_, o˙zmy, ˙ze mamy N do´swiadcze´n, przy czym i-te do´swiadczenie jest opisywane przez przestrze´n probabilistyczna (Ω_, i, Fi, Pⁱ).

W jaki spos´ob mo˙zemy zbudowa´c przestrze´n (Ω, F , P) dla do´swiadczenia pole- gajacego na niezale˙znym przeprowadzeniu tych N do´_, swiadcze´n?

Oczywi´scie, jako zbi´or Ω bierzemy Ω1× Ω2× . . . ΩN. Aby okre´sli´c F , zwr´o´cmy uwage, i˙z σ-cia lo F_, i jest reprezentowane, w kontek´scie powy˙zszego zbioru Ω, przez klase_,

F_i⁰ = {Ω1× Ω2× . . . × Ωi−1× Ai× Ωi+1× . . . × ΩN : Ai ∈ Fi}.

Stad naturalny pomys l, by wzi_, a´_,c F = σ(F₁⁰, F₂⁰, . . . , F_N⁰ ), σ-cia lo generowane przez F₁⁰, F₂⁰, . . . , F_N⁰ . Innymi s lowy, jako F bierzemy σ-cia lo produktowe F1⊗ F2⊗ . . . ⊗ FN. Przejd´zmy do okre´slenia miary probabilistycznej P. Z powy˙zszych postu- lat´ow, σ-cia la F₁⁰, F₂⁰, . . ., F_N⁰ maja by´_, c niezale˙zne, a zatem poszukujemy takiego prawdopodobie´nstwa P, ˙ze dla dowolnych Aⁱ∈ Fi, i = 1, 2, . . . , N ,

P(A1× A2× . . . × AN) =

P (A1× Ω2× . . . × ΩN) ∩ (Ω1× A2× . . . × ΩN) ∩ . . . ∩ (Ω1× . . . × ΩN −1× AN)

=

N

Y

i=1

P(Ω1× . . . × A_i× . . . × Ω_N).

Ponadto, chcemy by P(Ω1× . . . × A_i× . . . × Ω_N) = Pi(A_i) dla ka˙zdego i. Pod- sumowujac, poszukujemy takiego P, by dla dowolnych zdarze´_, n A₁, A₂, . . . , A_N jak wy˙zej zachodzi la r´owno´s´c

P(A1× A2× . . . × AN) = P1(A₁)P2(A₂) . . . PN(A_N).

Z teorii miary wiadomo, ˙ze istnieje dok ladnie jedno takie prawdopodobie´nstwo P na F₁⊗ F2⊗ . . . ⊗ FN, i jest ono r´owne P1⊗ P2⊗ . . . ⊗ PN - produktowi miar P1, P2, . . ., PN.

Analogiczne rozumowanie mo˙zna przeprowadzi´c w przypadku gdy mamy do czy- niania z niesko´nczona liczb_, a do´_, swiadcze´n modelowanych przez przestrzenie proba- bilistyczne (Ωi, Fi, Pⁱ).

Przyk lad: Schemat Bernoulliego. Za l´o˙zmy, i˙z dla ka˙zdego i = 1, 2, . . . , N mamy Ωi = {0, 1}, Fⁱ = 2^Ωi oraz Pⁱ({1}) = p, gdzie p ∈ [0, 1] jest ustalonym parametrem. Widzimy, i˙z ka˙zda pojedyncza przestrze´n (Ω_i, F_i, Pi) modeluje do´swiadczenie w kt´orym sa dwa mo˙zliwe wyniki: 0 i 1, interpretowane jako pora˙zka i sukces_, (podkre´slmy: prawdopodobie´nstwo sukcesu jest r´owne p i nie zale˙zy od numeru do´swiadczenia). Takie pojedyncze do´swiadczenie nazywamy pr´oba Bernoulliego._, Na mocy powy˙zszej konstrukcji, przestrze´n probabilistyczna

({0, 1}^N, 2^Ω, P) = (Ω¹× Ω2× . . . × ΩN, F1⊗ F2⊗ . . . ⊗ FN, P¹⊗ P2⊗ . . . ⊗ PN) modeluje ciag niezale˙znych N powt´_, orze´n pr´oby Bernoulliego. Ciag ten nazywamy_, schematem Bernoulliego.

Zauwa˙zmy, i˙z dla dowolnego ω = (ω1, ω2, . . . , ωN) ∈ Ω mamy P({ω}) = p^k(1 − p)^{N −k}, gdzie k jest liczba jedynek w ci_, agu ω._, Wynika stad, i˙z je´_, sli okre´slimy zdarzenie Ak= {liczba sukces´ow jest r´owna k}, to

P(Ak) = X

ω∈A_k

P({ω}) = |Ak|p^k(1 − p)^{N −k}=N k



p^k(1 − p)^{N −k}.

Za l´o˙zmy, ˙ze A₁, A₂, . . . sa pewnymi zdarzeniami; w´_, owczas T∞ n=1

S∞ m=nA_m mo˙zemy interpretowa´c jako ,,zasz lo niesko´nczenie wiele spo´sr´od zdarze´n A₁, A₂, . . .”. Okazuje sie, ˙ze przy pewnych za lo˙zeniach, zdarzenie to ma prawdopodobie´_, nstwo 0 lub 1. ´Sci´slej, zachodzi nastepuj_, acy fakt._,

Lemat 3.1 (Borela-Cantelli). Za l´o˙zmy, ˙ze (Ω, F , P) jest przestrzenia probabilisty-,

czna oraz A_{, 1}, A₂, . . . ∈ F . (i) Je´sliP∞

n=1P(An) < ∞, to P

\^∞

n=1

∞

[

m=n

A_m

= 0

(a zatem z prawdopodobie´nstwem 1 zachodzi sko´nczenie wiele spo´sr´od Ai).

(ii) Je´sli A1, A2, . . . sa niezale˙zne i_, P∞

n=1P(An) = ∞, to P

\^∞

n=1

∞

[

m=n

Am



= 1.

Dow´od. (i) Mamy P

 \^∞

n=1

∞

[

m=n

Am

≤ P [^∞

m=n

Am

≤

∞

X

m=n

P(Am)−−−−→ 0.^n→∞

(ii) Udowodnimy, ˙ze zdarzenie przeciwneS∞ n=1

T∞

m=nA⁰_mma prawdopodobie´nstwo 0. Wystarczy wykaza´c, i˙z P(T∞

m=nA⁰_m) = 0 dla wszystkich n (w´owczas rozwa˙zane zdarzenie przeciwne bedzie przeliczaln_, a sum_, a zbior´_, ow miary 0, a zatem tak˙ze bedzie_, mia lo miare 0). Korzystaj_, ac z twierdzenia o ci_, ag lo´_, sci, mamy i˙z dla dowolnego n,

P

 \^∞

m=n

A⁰_m

= P \^∞

k=n k

\

m=n

A⁰_m

= lim

k→∞P

 \^k

m=n

A⁰_m ,

co na mocy niezale˙zno´sci zdarze´n A1, A2, . . . jest r´owne lim

k→∞

k

Y

m=n

P(A⁰m) = lim

k→∞

k

Y

m=n

(1 − P(A^m)) ≤ lim sup

k→∞

e^{−Pkm=nP(Am)}= 0. 

Na zako´nczenie zaprezentujemy pewien przydatny fakt, tzw. lemat o π − λ uk ladach. Aby poda´c pewna motywacj_, e, za l´_, o˙zmy, ˙ze µ, ν sa miarami probabilisty-_, cznymi na pewnej przestrzeni mierzalnej (Ω, F ). Przypu´s´cmy, i˙z chcemy wykaza´c, i˙z te miary sa sobie r´_, owne: mamy wiec sprawdzi´_, c, czy dla dowolnego A ∈ F zachodzi r´owno´s´c

µ(A) = ν(A).

Powstaje bardzo naturalne pytanie: czy wystarczy zweryfikowa´c powy˙zsza to˙zsamo´_, s´c dla pewnej szczeg´olnej klasy zdarze´n A, np. dla generator´ow σ-cia la F ? Okazuje sie_,

˙ze zbi´or generator´ow nie jest na og´o l dobrym wyborem: mianowicie trzeba za lo˙zy´c,

˙ze klasa ta jest dodatkowo π-uk ladem.

Definicja 3.8. Za l´o˙zmy, ˙ze K jest niepusta klas_, a podzbior´_, ow Ω. M´owimy, ˙ze K jest π-uk ladem, je´sli klasa ta jest zamknieta ze wzgl_, edu na branie sko´_, nczonych iloczyn´ow: z tego, ˙ze A, B ∈ K wynika, ˙ze A ∩ B ∈ K.

Definicja 3.9. Za l´o˙zmy, ˙ze L jest pewna klas_, a podzbior´_, ow Ω. M´owimy, ˙ze L jest λ-uk ladem, je´sli sa spe lnione nast_, epuj_, ace warunki:_,

(i) Ω ∈ L,

(ii) je´sli A, B ∈ L i A ⊆ B, to B \ A ∈ L,

(iii) je´sli A1, A2, . . . jest wstepuj_, acym ci_, agiem element´_, ow L, toS∞

n=1An∈ L.

Lemat 3.2 (o π − λ uk ladach). Je´sli L jest λ-uk ladem zawierajacym π-uk lad K,_, to L zawiera tak˙ze σ-cia lo generowane przez K.

Dow´od. Rozumowanie podzielimy na trzy cze´_,sci.

1) Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli L jest λ-uk ladem oraz A, B ∈ L spe lniaja A ∩ B = ∅, to_, A ∪ B = (A⁰\ B)⁰∈ L,

korzystajac z (i) i (ii)._,

2) Je´sli L jest jednocze´snie π-uk ladem oraz λ-uk ladem, to jest σ-cia lem. Aby to wykaza´c, zauwa˙zmy, i˙z je´sli A, B ∈ L, to

A ∪ B = A ∪ (B \ (A ∩ B)) ∈ L,

na mocy 1) oraz warunk´ow definiujacych π-uk lad i λ-uk lad. Wobec tego, przez_, prosta indukcj_, e, L b_, edzie zamkni_, ete ze wzgl_, edu na branie sko´_, nczonych sum, a zatem je´sli A₁, A₂, . . . jest dowolnym ciagiem element´_, ow z L, to

∞

[

n=1

A_n=

∞

[

n=1 n

[

k=1

A_k

!

∈ L.

W ostatnim kroku skorzystali´smy z tego, ˙ze A1, A1∪ A2, A1∪ A2∪ A3, . . . jest wstepuj_, acym ci_, agiem element´_, ow L.

3) Niech Λ bedzie klas_, a wszystkich λ-uk lad´_, ow zawierajacych K i po l´_, o˙zmy L0= T

L∈ΛL. W´owczas L0∈ Λ oraz K ⊆ L0⊆ L. Wystarczy wiec udowodni´_, c, ˙ze L0jest σ-cia lem: na mocy 2), wystarczy wykaza´c, ˙ze L0jest π-uk ladem. We´zmy dowolne A ∈ K i rozwa˙zmy klase_,

K1= {B : A ∩ B ∈ L₀}.

Oczywi´scie K1⊇ K, gdy˙z K jest π-uk ladem. Ponadto K1jest λ-uk ladem:

(i) Ω ∈ K1, bo A ∩ Ω = A ∈ K ⊆ L0; (ii) je´sli B1, B2∈ K1, B1⊆ B2, to

A ∩ (B2\ B1) = (A ∩ B2) \ (A ∩ B1) ∈ L0, a wiec B_{, 2}\ B1∈ K1;

(iii) B₁⊆ B₂⊆ . . . ∈ K₁, to

A ∩

∞

[

n=1

B_n

!

=

∞

[

n=1

(A ∩ B_n) ∈ L₀,

skad wynika, i˙z_, S∞

n=1Bn∈ K1.

Zatem K1 zawiera L0, gdy˙z L0 jest najmniejszym λ-uk ladem zawierajacym K._, Wykazali´smy wiec, ˙ze dla dowolnego A ∈ K oraz dowolnego B ∈ L_, 0, A ∩ B ∈ L0. Nastepnie powtarzamy rozumowanie: ustalamy B ∈ L_, 0 i definiujemy K2 = {A : A ∩ B ∈ L0}. Mamy K2⊇ K oraz K2 jest λ-uk ladem, skad wynika, i˙z K_, 2⊇ L0, a wiec dla dowolnych A, B ∈ L_, 0zachodzi A ∩ B ∈ L0. Dow´od jest zako´nczony. 

Jako zastosowanie, udowodnimy nastepuj_, acy fakt._,

Twierdzenie 3.5. Za l´o˙zmy, ˙ze (Ω, F , P) jest przestrzenia probabilistyczn, a. Przy-_, pu´s´cmy, i˙z rodzine {F_, γ}∈Γniezale˙znych σ-cia l podzielono na n podrodzin {Fγⁱ}γⁱ∈Γⁱ, i = 1, 2, . . . , n. W´owczas σ-cia la

σ {F_γ1}_γ1∈Γ¹
, σ {Fγ²}_γ2∈Γ²
, . . . , σ ({Fγⁿ}_γn∈Γⁿ) , generowane przez poszczeg´olne podrodziny te˙z sa niezale˙zne._,

Dow´od. Przeprowadzimy dow´od dla n = 2; dla wiekszych n rozumowanie jest ana-_, logiczne. Mamy wiec dwie rodziny {F_{, γ}}γ∈Γ, {G_δ}δ∈∆niezale˙znych pod-σ-cia l F i musimy wykaza´c, ˙ze dla dowolnych A ∈ σ({F_γ}γ∈Γ), B ∈ σ({G_δ}δ∈∆) zachodzi

(∗) P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Na mocy niezale˙zno´sci σ-cia l, wz´or (*) zachodzi dla zbior´ow postaci A = Aγ¹∩ Aγ²∩ . . . ∩ A_γk, Aγⁱ ∈ Fγⁱ, i = 1, 2, . . . , k,

B = B_δ1∩ B_δ2∩ . . . ∩ B_δ`, B<sub>δ</sub>j ∈ G<sub>δ</sub>j, j = 1, 2, . . . , `.

Ustalmy A jak wy˙zej i rozwa˙zmy klase K = {B : zachodzi (*)}._, Mamy wiec_, K ⊇ {B_δ1 ∩ B_δ2 ∩ . . . ∩ B_δ` : B_δj ∈ G_δj}, i ta ostatnia klasa jest, rzecz jasna, π-uk ladem generujacym σ({G_{, δ}}_δ∈∆). Ponadto K jest λ-uk ladem:

(i) Ω ∈ K, bo P(A ∩ Ω) = P(A)P(Ω).

(ii) je´sli B₁, B₂∈ K i B1⊆ B2, to B₂\ B1∈ K: istotnie, P(A ∩ (B2\ B₁)) = P (A ∩ B2) \ (A ∩ B₁)

= P(A ∩ B2) − P(A ∩ B1)

= P(A) P(B2) − P(B1)
= P(A)P(B2\ B₁).

(iii) Je´sli B1⊆ B2⊆ . . . ∈ K, toS∞

n=1Bn∈ K, gdy˙z z twierdzenia o ciag lo´_, sci, P A ∩

∞

[

n=1

Bn

!!

= P

∞

[

n=1

(A ∩ Bn)

!

= lim

n→∞P(A ∩ Bn)

= lim

n→∞P(A)P(Bn) = P(A)P

∞

[

n=1

Bn

! .

Zatem na mocy lematu o π − λ uk ladach, K zawiera σ({Gδ}δ∈∆), czyli (*) za- chodzi dla dowolnego zbioru A postaci Aγ¹∩ Aγ²∩ . . . ∩ A_γk oraz B ∈ σ({Gδ}δ∈∆).

Nastepnie, powtarzamy rozumowanie: ustalamy B ∈ σ({G_, δ}δ∈∆) i definiujemy L = {A : zachodzi (*)}. Klasa L zawiera wszystkie zbiory postaci Aγ¹∩ Aγ²∩ . . . ∩ A_γk, kt´ore tworza π-uk lad generuj_, acy σ({F_{, γ}}γ∈Γ). Tak jak wy˙zej, sprawdzamy, ˙ze L jest λ uk ladem, a zatem z lematu o π − λ uk ladach, L ⊇ σ({F_γ}γ∈Γ). Wobec tego (*) zachodzi dla wszystkich A ∈ σ({F_γ}_γ∈Γ) oraz B ∈ σ({G_δ}_δ∈∆), skad dostajemy_,

˙zadan_, a niezale˙zno´_, s´c σ-cia l. 

4. Zadania

1. Grupa n os´ob (n ≥ 3), w´sr´od kt´orych sa osoby X, Y i Z, ustawia si_, e losowo_, w kolejce. Jakie jest prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze

a) X stoi bezpo´srednio przed Y , je´sli Y stoi bezpo´srednio przed Z?

b) X stoi przed Y , je´sli Y stoi przed Z?

2. Z talii 52 kart losujemy 5 kart bez zwracania. Obliczy´c prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze mamy dok ladnie 3 asy, je˙zeli wiadomo, ˙ze

a) mamy co najmniej jednego asa;

b) mamy asa czarnego koloru;

c) mamy asa pik;

d) pierwsza wylosowan_, a kart_, a jest as;_, e) pierwsza wylosowan_, a kart_, a jest czarny as;_, f) pierwsza wylosowan_, a kart_, a jest as pik._,

3. W urnie znajduja si_, e trzy bia le i cztery czarne kule. Losujemy kul_, e, wyrzu-_, camy bez ogladania, a nast_, epnie losujemy kolejn_, a kul_, e z urny._,

a) Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze druga kula jest bia la?

b) Za l´o˙zmy, ˙ze za drugim razem wyciagni_, eto bia l_, a kul_, e. Jakie jest prawdopodo-_, bie´nstwo, ˙ze za pierwszym razem wylosowano czarna kul_, e?_,

4. W populacji jest 15% dyslektyk´ow. Je´sli w te´scie diagnostycznym ucze´n pope lni 6 lub wiecej b l_, ed´_, ow, to zostaje uznany za dyslektyka. Ka˙zdy dyslektyk na pewno pope lni co najmniej 6 b led´_, ow w takim te´scie, ale r´ownie˙z nie-dyslektyk mo˙ze pope lni´c wiecej ni˙z 5 b l_, ed´_, ow – dzieje sie tak z prawdopodobie´_, nswem 0,1. Jasio pope lni l w te´scie 6 b led´_, ow. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze jest dyslektykiem?

Jakie jest prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze w kolejnym te´scie te˙z pope lni co najmniej 6 b led´_, ow?

5. W pewnej fabryce telewizor´ow ka˙zdy z aparat´ow mo˙ze by´c wadliwy z praw- dopodobie´nstwem p. W fabryce sa trzy stanowiska kontroli i wyprodukowany_, telewizor trafia na ka˙zde ze stanowisk z jednakowym prawdopodobie´nstwem. i- te stanowisko wykrywa wadliwy telewizor z prawdopodobie´nstwem pi (i = 1, 2, 3).

Telewizory nie odrzucone w fabryce trafiaja do hurtowni i tam poddawane s_, a do-_, datkowej kontroli, kt´ora wykrywa wadliwy telewizor z prawdopodobie´nstwem p0.

a) Obliczy´c prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze dany nowowyprodukowany telewizor znajdzie sie w sprzeda˙zy (tzn. przejdzie przez obie kontrole)._,

b) Przypu´s´cmy, ˙ze telewizor jest ju˙z w sklepie. Jakie jest prawdopodobie´nstwo,

˙ze jest on wadliwy?

6. Rzucamy dwa razy kostka. Rozwa˙zmy zdarzenia: A – za pierwszym razem_, wypad la liczba oczek podzielna przez 3; B – suma wyrzuconych oczek jest parzysta;

C – za ka˙zdym razem uzyskali´smy te sam_, a liczb_, e oczek. Czy zdarzenia A, B s_, a_, niezale˙zne? Czy A, B, C sa niezale˙zne?_,

7. Na n kartonikach zapisano n r´o˙znych liczb rzeczywistych. Kartoniki w lo˙zono do pude lka, starannie wymieszano, a nastepnie losowano kolejno bez zwracania._, Niech A_k – k-ta wylosowana liczba jest wieksza od poprzednich._,

a) Udowodni´c, ˙ze P(Ak) = 1/k, k = 1, 2, . . . , n.

b) Udowodni´c, ˙ze zdarzenia A₁, A₂, . . . , A_n sa niezale˙zne._,

8. Dane sa liczby ca lkowite dodatnie m, n oraz liczby p, q ∈ (0, 1) spe lniaj_, ace_, warunek p + q = 1. Dowie´s´c, ˙ze

(1 − pⁿ)^m+ (1 − q^m)ⁿ ≥ 1.

9. Wyznaczy´c najbardziej prawdopodobna liczb_, e sukces´_, ow w schemacie n pr´ob Bernoulliego z prawdopodobie´nstwem sukcesu p.

10. Rzucono 10 razy kostka. Jakie jest prawdopodobie´_, nstwo tego, ˙ze w pier- wszym rzucie otrzymano sz´ostke, je´_, sli wiadomo, ˙ze

a) otrzymano trzy sz´ostki?

b) w nastepnych dziewi_, eciu rzutach otrzymano same sz´_, ostki?

11. Rzucamy kostka a˙z do momentu gdy wyrzucimy pi_, atk_, e b_, ad´_, z trzy razy sz´ostke ( l_, acznie, niekoniecznie pod rz_, ad). Jakie jest prawdopodobie´_, nstwo, ˙ze rzucimy dok ladnie n razy?

12. Prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze w urnie znajduje sie k kostek, wynosi_, ²_k!^ke⁻², k = 0, 1, 2, . . .. Losujemy kolejno bez zwracania wszystkie kostki z urny i wykonu- jemy rzuty ka˙zda z nich. Jakie jest prawdopodobie´_, nstwo, ˙ze uzyskamy l sz´ostek?

13. Jakie jest prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze liczba sukces´ow w schemacie Bernoul- liego n pr´ob z p = ¹₂ bedzie podzielna_,

a) przez 3?

b) przez 4?

14. Niech (Ω, F , P) bedzie przestrzeni_, a probabilistyczn_, a dla schematu n pr´_, ob Bernoulliego z prawdopodobie´nstwem sukcesu p. Dla dowolnego 0 ≤ k ≤ n, niech A_k oznacza zdarzenie, i˙z jest dok ladnie k sukces´ow. Wykaza´c, ˙ze dla dowolnego B ∈ F oraz ka˙zdego k, prawdopodobie´nstwo warunkowe P(B|Ak) nie zale˙zy od p.

15. Rzucamy niesko´nczenie wiele razy moneta, dla kt´_, orej prawdopodobie´nstwo wypadniecia or la wynosi p 6= 1/2. Dla n = 2, 4, . . ., rozwa˙zmy zdarzenie A_{, n} - do rzutu n w lacznie wypad lo tyle samo or l´_, ow co reszek. Udowodni´c, ˙ze z praw- dopodobie´nstwem 1 zajdzie sko´nczenie wiele spo´sr´od zdarze´n A₁, A₂, . . ..

16. Rzucamy niesko´nczenie wiele razy moneta, dla kt´_, orej prawdopodobie´nstwo wypadniecia or la wynosi p ∈ (0, 1]._, Udowodni´c, ˙ze z prawdopodobie´nstwem 1 wystapi niesko´_, nczenie wiele serii z lo˙zonych ze 100 or l´ow pod rzad._,

17. Dane sa dwie miary probabilistyczne µ, ν na (R, B(R))._,

a) Za l´o˙zmy, ˙ze dla dowolnej liczby t > 0 mamy ν([−t, t]) = µ([−t, t]). Udowodni´c,

˙ze je´sli A ∈ B(R) jest symetryczny wzgledem 0, to µ(A) = ν(A).,

b) Przypu´s´cmy, ˙ze K jest pewna klas_, a generuj_, ac_, a B(R) (tzn. spe lniaj_, ac, a σ(K) =_, B(R)). Czy z tego, ˙ze µ(A) = ν(A) dla ka˙zdego A ∈ K, wynika, i˙z µ = ν?