Cwiczenie 2. Wykaza´ ´ c, ˙ze

ALGEBRA I R

Zadania do egzaminu Javier de Lucas Cwiczenie 1. Poda´ ´ c interpretacj¸e geometryczn¸ a liczby

arg  z ₁ − z ₃ z ₂ − z ₃

 , gdzie z ₁ , z ₂ , z ₃ s¸ a r´ o˙znymi liczbami zespolonymi.

Cwiczenie 2. Wykaza´ ´ c, ˙ze

|z 1 − z 2 | ≤ ||z 1 | − |z 2 || + min{|z 1 |, |z 2 |}|argz 1 − argz 2 |.

Cwiczenie 3. Za l´ ´ o˙zmy, ˙ze P r

k=1 e ^λ

^t ϕ _k (t) = 0 dla ka˙zdego t ∈ R i ϕ 1 (t), . . . , ϕ _r (t) s¸ a wielomianami z C n [t], za´s liczby λ ₁ , . . . , λ _r s¸ a r´ o˙znymi parami. Dowie´s´ c, ˙ze

ϕ 1 = . . . = ϕ r = 0.

Cwiczenie 4. Oblicz wszystkie macierze A ∈ M ´ ₃ (C) takie, ˙ze A ³ = 0 i A ² 6= 0.

Cwiczenie 5. Dane odwzorowanie liniowe F : C ´ ³ → (C ³ ) ^∗ postaci

[F ] ^B _B

=





3 2 1

1 −1 1 0 −1 1





w bazach B (kanoniczna) i B ^∗ , oblicz macierz tego morfizmu w bazach E i E ^∗ , gdzie

E =





 e ₁ =



 1 1 1



 , e ₂ =



 1 0

−i



 , e ₃ =



 0 1

−i









 .

1

ALGEBRA I R

Cwiczenie 6. Wyka˙z, ˙ze b : M ´ _n (C) ⊕ M n (C) → C postaci b(A, B) = Tr(AB) to forma dwuliniowa. Dowie´s´ c, ˙ze funkcja ˆ b : A ∈ M _n (C) 7→ b(A, ·) ∈ (M n (C)) ^∗ jest dobrze zdefiniowana i oblicz jej j¸ adro.

Cwiczenie 7. Niech T : R ´ ³ → R ³ b¸edzie odwzorowaniem takim, ˙ze

T



 1 2 3



 = λ



 1 2 3



 , λ ∈ R i T dzia la jako identyczno´s´ c na podprzestrzeni

W = {v = [x ₁ , x ₂ , x ₃ ] ^T ∈ R ³ : x ₁ + x ₂ + x ₃ = 0}.

Podaj macierz morfizmu F w bazach kanonicznych.

Cwiczenie 8. Dany operator T : E → F , udowodnij, ˙ze T = ι ◦ φ ◦ π gdzie ´ π : v ∈ E 7→ [v] ∈ E/ ker T, φ : [v] ∈ E

ker T 7→ T (v) ∈ ImT, ι : w ∈ ImT → w ∈ F s¸ a odwzorowaniami liniowymi i φ jest izomorfizmem.

Cwiczenie 9. Oblicz annihilator podprzestrzeni ´

W = [0 3 1 0 1] ^T , [2 3 1 0 − 2] ^T , [2 3 1 0 − 1] ^T 

i sprzawd´ z czy W ^◦ ⊕ V dla V = h[1 1 2 0 1], [1 0 0 0 1], [0, 0, 1, 0, 0]i. Podaj macierz rzutowania na podprzestrze´ n W ^◦ wzd luz V (i odwrotnie) w bazach B ^∗ gdzie B to baza kanoniczna w R ⁵ .

2