(1)Prawie elementarne sumowanie szeregu o wyrazie n12 Skorzystamy po pewnym czasie ze znanej nier´owno´sci podw´ojnej sin x &lt

Prawie elementarne sumowanie szeregu o wyrazie _n¹2

Skorzystamy po pewnym czasie ze znanej nier´owno´sci podw´ojnej sin x < x < tg x , kt´ora zachodzi dla x ∈ (0,^π₂) . Najpierw jednak musimy przygotowa´c sie do jej zastosowania. Rozpoczniemy od dw´och wzor´ow

sin(mx) = ^m₁
cos^m−1xsin x − ^m₃
cos^m−3sin³x+ ^m₅
cos^m−5sin⁵x− ^m₇
cos^m−7sin⁷x+ · · · , cos(mx) = ^m₀
cos^mx− ^m₂
cos^m−2sin²x+ ^m₄
cos^m−4sin⁴x− ^m₆
cos^m−6sin⁶x+ · · · .

Te dwa wzory mo˙zna udowodni´c za pomoca indukcji, ale mo˙zna te˙z skorzysta´c z tego, ˙ze i²= −1 oraz z wzoru de Moivre’a znanego z algebry liniowej: (cos x + i sin x)^m= cos(mx) + i sin(mx) , wystarczy zastosowa´c do lewej strony tej r´owno´sci dwumian Newtona, nastepnie por´owna´c cze´sci rzeczywiste i urojone prawej i lewej strony otrzymanej to˙zsamo´sci. Korzysta´c bedziemy jedynie z pierwszego.

W pierwszej r´owno´sci podstawiamy kolejno w miejsce x liczby _2n+1^π , _2n+1^2π , _2n+1^3π ,. . . ,_2n+1^nπ a zamiast m wpi- sujemy 2n + 1 , korzystamy z tego, ˙ze dla k = 1, 2, . . . , n zachodza wzory sin_2n+1^kπ 6= 0 , sin(kπ) = 0 . Otrzymujemy

0 = sin_2n+1^kπ

sin_2n+1^π = ²ⁿ⁺¹₁
cos²ⁿ _2n+1^kπ − ²ⁿ⁺¹₃
cos²ⁿ⁻²_2n+1^kπ sin²_2n+1^kπ + ²ⁿ⁺¹₅
cos²ⁿ⁻⁴_2n+1^kπ sin⁴_2n+1^kπ −

− ²ⁿ⁺¹₇
cos²ⁿ⁻⁶_2n+1^kπ sin⁶_2n+1^kπ + · · · + (−1)^{n 2n+1}_2n+1
sin²ⁿ_2n+1^kπ =

= ²ⁿ⁺¹₁

1 − sin²_2n+1^kπ
n

− ²ⁿ⁺¹₃

1 − sin²_2n+1^kπ
n−1

sin²_2n+1^kπ + ²ⁿ⁺¹₅

1 − sin²_2n+1^kπ
n−2

sin²_2n+1^kπ
2

−

− ²ⁿ⁺¹₇

1 − sin²_2n+1^kπ
n−3

sin²_2n+1^kπ
3

+ · · · + (−1)^{n 2n+1}_2n+1

sin²_2n+1^kπ
n

. Oznacza to, ˙ze ka˙zda z liczb sin²_2n+1^π , sin²_2n+1^2π , . . . , sin²_2n+1^nπ jest pierwiastkiem r´ownania

2n+1

1
(1 − x)ⁿ− ²ⁿ⁺¹₃
(1 − x)ⁿ⁻¹x+ ²ⁿ⁺¹₅
(1 − x)ⁿ⁻²x²− ²ⁿ⁺¹₇
(1 − x)ⁿ⁻³x³+ · · · + (−1)^{n 2n+1}_2n+1
xⁿ = 0 . Podstawiajac x = ¹_y do tej r´owno´sci i mno˙zac obie strony otrzymanego wzoru przez yⁿ otrzymujemy r´owno´s´c

2n+1

1
(y − 1)ⁿ− ²ⁿ⁺¹₃
(y − 1)ⁿ⁻¹+ ²ⁿ⁺¹₅
(y − 1)ⁿ⁻²− ²ⁿ⁺¹₇
(y − 1)ⁿ⁻³+ · · · + (−1)^{n 2n+1}_2n+1
= 0 . Wynika stad, ˙ze ka˙zda z liczb _sin2¹π

2n+1 , _sin2¹2π 2n+1

, . . . , _sin2¹nπ

2n+1 jest pierwiastkiem r´ownania z niewiadoma y . Lewa strona tego r´ownania to wielomian n –tego stopnia zmiennej y . Wskazali´smy n r´o˙znych pierwiastk´ow tego wielomianu, czyli wszystkie. Sume pierwiastk´ow mo˙zemy znale´z´c korzystajac z wzoru Viet´e’a. Wsp´o lczynnik przy yⁿ w tym wielomianie to ²ⁿ⁺¹₁
= 2n + 1 . Wsp´o lczynnik przy yⁿ⁻¹ to − ²ⁿ⁺¹₁
n

1
− ²ⁿ⁺¹₃
= −2n(n+1)(2n+1)

3 . Stad

wynika, ˙ze _sin2¹π

2n+1 +_sin2¹2π 2n+1

+ · · · +_sin2¹nπ

2n+1 = 2n(n+1)(2n+1)

3(2n+1) = ^2n(n+1)₃ .

Jak wiadomo zachodza r´owno´sci _sin¹2t = ^cos2_sin^t+sin2t ^2t = ctg²t+ 1 . Z tej r´owno´sci i poprzednio otrzymanego wzoru wnioskujemy, ˙ze ctg²_2n+1^π + ctg²_2n+1^2π + · · · + ctg²_2n+1^nπ = ^2n(n+1)₃ − n= ^n(2n−1)₃ .

Mamy te˙z ctg²_2n+1^kπ =_tg2¹kπ 2n+1

< ¹

kπ 2n+1

² < ¹

sin²_2n+1^kπ dla k = 1, 2, 3, . . . , n . Sumujemy stronami otrzymane n nier´owno´sci, korzystamy ze znalezionych formu l na sumy lewej i prawej strony, nastepnie wszystkie trzy strony mno˙zymy przez _2n+1^π
2

i oczom naszym ukazuje sie nier´owno´s´c:

π 2n+1

2

·^n(2n−1)₃ <₁¹2 +₂¹2 +₃¹2 + · · · + _n¹2 < _2n+1^π
2

· ^2n(n+1)₃ . Korzystajac z oczywistych r´owno´sci lim

n→∞

π 2n+1

2

·^n(2n−1)₃ = ^π₆² = lim

n→∞

π 2n+1

2

·^2n(n+1)₃ i z twierdzenia o trzech

ciagach stwierdzamy, ˙ze

∞

X

n=1 1

n² = lim

n→∞

1

1² +₂¹2 +₃¹2 + · · · +_n¹2
= ^π2

6

Jest to najprostszy dow´od jaki znam. Nie pisze najkr´otszy, lecz najprostszy: stosowali´smy tu ´srodki dowodowe dostepne ju˙z w pierwszym semestrze I roku dowolnych studi´ow, na kt´orych nauczana jest matematyka. Dow´od mo˙zna powa˙znie skr´oci´c u˙zywajac bardziej zaawansowanych narzedzi matematycznych.

Zaprezentowane rozumowanie pochodzi ze znakomitej ksia ˙zki „Biblioteka k´o lka matematycznego, Arytmetyka i algebra” autorstwa D.O.Szklarskiego, N.N.Czencowa oraz I.M.Jag loma, w jezyku rosyjskim, Moskwa . O Szklarskim pozostali autorzy pisza, ˙ze by l wspania lym matematykiem dydaktykiem, zgina l walczac w obronie swej ojczyzny z Niemcami, w pisaniu ksia ˙zki ju˙z udzia lu nie bra l, jednak zosta ly u˙zyte jego notatki, jego wk lad w dzia lalno´s´c k´o lka matematycznego dla uczni´ow szk´o l ´srednich przy Moskiewskim Uniwersytecie Pa´nstwowym im. M. Lomonosowa by l bardzo du˙zy, wiec wystepuje na li´scie autor´ow tej i dwu innych ksia ˙zek z zadaniami jako pierwszy.