• Nie Znaleziono Wyników

Uk lady nier´ owno´ sci liniowych

N/A
N/A
Info
Pobierz
Protected

Academic year: 2021

Share "Uk lady nier´ owno´ sci liniowych"

Copied!
5
0
0

Ładowanie.... (Zobacz pełny tekst teraz)

Pobierz teraz ( 5 Stron )

Pełen tekst

(1)

Wyk lad 14

Uk lady nier´ owno´ sci liniowych

1 Uk lady nier´ owno´ sci liniowych

M´ owimy, ˙ze nier´ owno´ s´ c c

1

x

1

+ . . . + c

n

x

n

≥ b jest kombinacj a liniow

,

a o nieujemnych

,

wsp´ o lczynnikach nier´ owno´ sci uk ladu

 

 

 

 

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ . . . + a

1n

x

n

≥ b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ . . . + a

2n

x

n

≥ b

2

.. . .. . .. . .. . . .. ... .. . .. . .. . a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ . . . + a

mn

x

n

≥ b

m

, (1)

gdy istniej a nieujemne liczby rzeczywiste d

, 1

, . . . , d

m

takie, ˙ze

c

1

x

1

+ . . . + c

n

x

n

= d

1

(a

11

x

1

+ . . . + a

1n

x

n

) + . . . + d

m

(a

m1

x

1

+ . . . + a

mn

x

n

) oraz

b = d

1

b

1

+ . . . + d

m

b

m

, tj.

 

 

 

 

a

11

d

1

+ a

21

d

2

+ . . . + a

m1

d

m

= c

1

a

12

d

1

+ a

22

d

2

+ . . . + a

m2

d

m

= c

2

.. . .. . .. . .. . . .. ... .. . .. . .. . a

1n

d

1

+ a

2n

d

2

+ . . . + a

mn

d

m

= c

n

i

b

1

d

1

+ b

2

d

2

+ . . . + b

m

d

m

= b.

Z definicji tej wynika od razu, ˙ze je˙zeli (a

1

, . . . , a

n

) jest rozwi azaniem uk ladu (1), to jest r´

,

ownie˙z rozwi azaniem ka˙zdej nier´

,

owno´ sci c

1

x

1

+ . . . + c

n

x

n

≥ b, kt´ ora jest kombinacj a liniow

,

a o nie-

,

ujemnych wsp´ o lczynnikach nier´ owno´ sci uk ladu (1) i og´ olniej: jest rozwi azaniem ka˙zdej takiej

,

nier´ owno´ sci c

1

x

1

+ . . . + c

n

x

n

≥ b

0

, ˙ze nier´ owno´ s´ c c

1

x

1

+ . . . + c

n

x

n

≥ b jest kombinacj a liniow

,

a

,

o nieujemnych wsp´ o lczynnikach nier´ owno´ sci uk ladu (1), dla pewnej liczby rzeczywistej b ≥ b

0

.

Przyk lad 14.1. Nier´ owno´ s´ c 0 · x

1

+ 0 · x

2

≥ 4 jest kombinacj a liniow

,

a o wsp´

,

o lczynnikach 4, 12, 4 nier´ owno´ sci uk ladu

 

 

4x

1

+ 3x

2

≥ 1

−2x

1

+ x

2

≥ −1 2x

1

− 6x

2

≥ 3

. (2)

Wynika st ad od razu, ˙ze uk lad (2) nie posiada rozwi

,

azania.

,

2

(2)

Twierdzenie 14.2. Niech

 

 

 

 

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ . . . + a

1n

x

n

≥ b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ . . . + a

2n

x

n

≥ b

2

.. . .. . .. . .. . . .. ... .. . .. . .. . a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ . . . + a

mn

x

n

≥ b

m

(3)

b edzie rozwi

,

azalnym (tzn. posiadaj

,

acym rozwi

,

azanie) uk ladem nier´

,

owno´ sci i niech

c

1

x

1

+ . . . + c

n

x

n

≥ b

0

(4)

b edzie dowoln

,

a nier´

,

owno´ sci a. Ka˙zde rozwi

,

azanie uk ladu (3) jest rozwi

,

azaniem nier´

,

owno´ sci (4) wtedy, i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba rzeczywista b ≥ b

0

, ˙ze nier´ owno´ s´ c

c

1

x

1

+ . . . + c

n

x

n

≥ b (5)

jest kombinacj a liniow

,

a o nieujemnych wsp´

,

o lczynnikach nier´ owno´ sci uk ladu (3).

Przyk lad 14.3. Korzystaj ac z twierdzenia 14.2 uzasadnimy, ˙ze nast

,

epuj

,

acy uk lad r´

,

owna´ n (

x

1

+ 3x

2

− 5x

3

= 2

x

1

− 4x

2

− 7x

3

= 3 (6)

nie posiada rozwi azania nieujemnego. W tym celu za l´

,

o˙zmy, ˙ze nasz uk lad posiada rozwi azanie

,

nieujemne (a

1

, a

2

, a

3

) (tzn. takie, ˙ze a

1

≥ 0, a

2

≥ 0 i a

3

≥ 0). Poniewa˙z uk lad nier´ owno´ sci

 

 

y

1

+ y

2

≥ 0 3y

1

− 4y

2

≥ 0

−5y

1

− 7y

2

≥ 0

(7)

jest rozwi azalny (np. y

, 1

= y

2

= y

3

= 0) oraz nier´ owno´ s´ c

2y

1

+ 3y

2

≥ 0 (8)

jest kombinacj a liniow

,

a nier´

,

owno´ sci uk ladu (7) o wsp´ o lczynnikach nieujemnych a

1

, a

2

, a

3

, wi ec

,

na mocy twierdzenia 14.2, ka˙zde rozwi aza-nie uk ladu (7) jest rozwi

,

azaniem nier´

,

owno´ sci (8).

Ale (1, −1) jest rozwi azaniem uk ladu (7) i nie jest rozwi

,

azaniem nier´

,

owno´ sci (8), wi ec mamy

,

sprzeczno´ s´ c. Przypuszczenie, ˙ze uk lad (6) posiada rozwi azanie nieujemne doprowadzi lo nas

,

zatem do sprzeczno´ sci. St ad uk lad (6) nie posiada rozwi

,

azania nieujemnego.2

,

2 Sprzeczne uk lady nier´ owno´ sci liniowych

Uk lad nier´ owno´ sci z niewiadomymi x

1

, x

2

, . . . , x

n

nazywamy sprzecznym, gdy nier´ owno´ s´ c 0 ·

x

1

+ . . . + 0 · x

n

≥ 1 jest kombinacj a liniow

,

a o nieujemnych wsp´

,

o lczynnikach nier´ owno´ sci tego

uk ladu.

(3)

Twierdzenie 14.4. Uk lad nier´ owno´ sci liniowych jest rozwi azalny wtedy, i tylko wtedy, gdy

,

nie jest sprzeczny.

Przyk lad 14.5. Korzystaj ac z twierdzenia 14.4 udowodnimy, ˙ze nast

,

epuj

,

acy uk lad nier´

,

owno´ sci

 

 

 

 

x

1

+ x

2

+ x

3

≥ 2 x

1

− x

2

+ x

3

≥ 1

−x

1

+ x

2

− 2x

3

≥ −1

−x

1

− x

2

+ x

3

≥ −1

(9)

nie ma rozwi azania. W tym celu wystarczy wykaza´

,

c, ˙ze uk lad r´ owna´ n

 

 

 

 

y

1

+ y

2

− y

3

− y

4

= 0 y

1

− y

2

+ y

3

− y

4

= 0 y

1

+ y

2

− 2y

3

+ y

4

= 0 2y

1

+ y

2

− y

3

− y

4

= 1

(10)

posiada rozwi azanie nieujemne. Uk lad (10) rozwi

,

azujemy metod

,

a eliminacji Gaussa. Po zasto-

,

sowaniu operacji elementarnych: r

2

− r

1

, r

3

− r

1

, r

4

− 2 · r

1

, (−

12

) · r

2

, (−1) · r

3

uzyskamy uk lad r´ ownowa˙zny postaci

 

 

 

 

y

1

+ y

2

− y

3

− y

4

= 0

y

2

− y

3

= 0

y

3

− 2y

4

= 0

− y

2

+ y

3

+ y

4

= 1

. (11)

Nast epnie wykonujemy kolejno operacje: r

, 4

+ r

2

, r

1

+ r

4

, r

3

+ 2 · r

4

, r

1

+ r

3

, r

2

+ r

3

, r

1

− r

2

i uzyskujemy, ˙ze y

1

= 1, y

2

= 2, y

3

= 2, y

4

= 1. Zatem uk lad (2) posiada rozwi azanie nieujemne,

,

wi ec z twierdzenia 14.4 uk lad nier´

,

owno´ sci (1) nie posiada rozwi azania.

,

2

Podzbi´ or A przestrzeni afinicznej E

n

nazywamy ograniczonym, gdy podzbi´ or A jest zawarty w pewnym r´ ownoleg lo´ scianie. Mo˙zna wykaza´ c, ˙ze podzbi´ or A przestrzeni afinicznej E

n

jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka dodatnia liczba rzeczywista a, ˙ze dla ka˙zdego punktu (x

1

, . . . , x

n

) ∈ A mamy, ˙ze |x

1

| ≤ a,...,|x

n

| ≤ a.

Twierdzenie 14.6. Zbi´ or wszystkich rozwi aza´

,

n uk ladu nier´ owno´ sci

 

 

 

 

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ . . . + a

1n

x

n

≥ b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ . . . + a

2n

x

n

≥ b

2

.. . .. . .. . .. . . .. ... .. . .. . .. . a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ . . . + a

mn

x

n

≥ b

m

, (12)

jest ograniczony wtedy, i tylko wtedy, gdy uk lad nier´ owno´ sci

 

 

 

 

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ . . . + a

1n

x

n

≥ 0 a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ . . . + a

2n

x

n

≥ 0 .. . .. . .. . .. . . .. ... .. . .. . .. . a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ . . . + a

mn

x

n

≥ 0

(13)

(4)

nie ma rozwi azania r´

,

o˙znego od rozwi azania (0, . . . , 0).

,

Przyk lad 14.7. W oparciu o twierdzenia 14.4 i 14.6 zbadamy, czy nast epuj

,

acy uk lad nier´

,

ow- no´ sci:

 

 

2x

1

− 3x

2

≥ 2

−x

1

+ 2x

2

≥ −1 3x

1

− 5x

2

≥ 7

ma rozwi azanie i czy zbi´

,

or wszystkich jego rozwi aza´

,

n jest ograniczony. Gdyby nasz uk lad nier´ owno´ sci by l sprzeczny, to zgodnie z twierdzeniem 14.4 istnia lyby nieujemne liczby rzeczy- wiste y

1

, y

2

, y

3

takie, ˙ze

 

 

2y

1

− y

2

+ 3y

3

= 0

−3y

1

+ 2y

2

− 5y

3

= 0 2y

1

− y

2

+ 7y

3

= 1

.

Ale jedynym rozwi azaniem tego uk ladu r´

,

owna´ n jest y

1

= −

14

, y

2

= y

3

=

14

, wi ec mamy

,

sprzeczno´ s´ c. Wobec tego nasz uk lad nier´ owno´ sci nie jest sprzeczny, a wi ec ma rozwi

,

azanie.

,

Rozwa˙zmy teraz uk lad nier´ owno´ sci:

 

 

2x

1

− 3x

2

≥ 0

−x

1

+ 2x

2

≥ 0 3x

1

− 5x

2

≥ 0

.

Latwo zauwa˙zy´ c, ˙ze x

1

= 5, x

2

= 3 jest jego niezerowym rozwi azaniem. Wobec tego na mocy

,

twierdzenia 14.6 zbi´ or rozwi aza´

,

n uk ladu nier´ owno´ sci

 

 

2x

1

− 3x

2

≥ 2

−x

1

+ 2x

2

≥ −1 3x

1

− 5x

2

≥ 7 jest nieograniczony.

3 Zadania do samodzielnego rozwi azania

,

Zadanie 14.8. W oparciu o twierdzenia 14.4 i 14.6 zbadaj, czy nast epuj

,

acy uk lad nier´

,

ow- no´ sci:

 

 

2x

1

− 3x

2

≥ 2

−x

1

+ 2x

2

≥ −1 3x

1

− 5x

2

≥ 7

ma rozwi azanie i czy zbi´

,

or wszystkich jego rozwi aza´

,

n jest ograniczony.

Odp. Uk lad ma rozwi azanie. Zbi´

,

or wszystkich rozwi aza´

,

n nie jest ograniczony.

Zadanie 14.9. W oparciu o twierdzenie 14.2 zbadaj, czy nast epuj

,

acy uk lad r´

,

owna´ n:

(5)

( 2x

1

− x

2

+ 4x

3

= 1

−x

1

+ 2x

2

− 3x

3

= −1 posiada rozwi azanie nieujemne.

,

Odp. Uk lad nie posiada rozwi azania nieujemnego.

,

Zadanie 14.10. Rozwi a˙z graficznie uk lad nier´

,

owno´ sci:

 

 

3x

1

− 2x

2

≥ −2 3x

1

+ x

2

≥ 1

−3x

1

+ x

2

≥ −2 .

Odp. Rozwi azaniem jest tr´

,

ojk at o wierzcho lkach (0, 1), (

, 12

, −

12

), (2, 4).

Zadanie 14.11. Wyznacz wszystkie nieujemne rozwi azania uk ladu r´

,

owna´ n:

( x

1

+ 3x

2

− 5x

3

= 8 x

1

− 4x

2

− 7x

3

= 7 Odp. x

1

=

21−41t2

, x

2

= t, x

3

=

1−7t2

, gdzie t ∈ h0,

17

i.

Zadanie 14.12. W oparciu o twierdzenie 14.4 zbadaj, czy nast epuj

,

acy uk lad nier´

,

owno´ sci:

 

 

 

 

 

 

x

1

− x

2

+ x

3

+ 2x

4

≥ 1

−x

1

+ x

2

− 2x

3

− 2x

4

≥ 3 2x

1

− x

2

− 3x

3

+ x

4

≥ −1 3x

1

+ x

2

+ 5x

3

− x

4

≥ 1

−4x

1

+ 2x

2

+ 7x

3

− 2x

4

≥ 1 ma rozwi azanie.

,

Odp. Uk lad nie posiada rozwi azania.

,

Cytaty

Pobierz teraz ( PDF - 5 Stron - 66.32 KB )

Powiązane dokumenty

1. Elementy logiki i teorii mnogo´ sci

Zbiorem rozwi aza´ , n uk ladu nier´ owno´sci liniowych o n niewiadomych, kt´ ory nie zawiera nier´ owno´sci trywialnych, jest zbi´ or pusty, zbi´ or nieograniczony lub

Przedyskutowa´c otrzymane rozwi¸azania w zale˙zno´sci od warto´sci odleg lo´sci r

Znale´z´c si l¸e wywieran¸a przez tak¸a mas¸e na mas¸e punktow¸a znajduj¸ac¸a si¸e w odleg lo´sci x od ´srodka kuli.. Znajd´z energi¸e potencjaln¸a tego

(1)Prawie elementarne sumowanie szeregu o wyrazie n12 Skorzystamy po pewnym czasie ze znanej nier´owno´sci podw´ojnej sin x &lt

O Szklarskim pozostali autorzy pisza, ˙ze by l wspania lym matematykiem dydaktykiem, zgina l walczac w obronie swej ojczyzny z Niemcami, w pisaniu ksia ˙zki ju˙z udzia lu nie bra

(10 pkt) Rozwi¸aza˙c uk lad r´owna´n

[r]

Wyk lady z uk lad´ ow dynamicznych

Je˙zeli pole wektorowe jest Morse’a-Smale’a to jest Kupki Smale’a..

Macierz g¸esto´sci ρ jest stanem czystym wtedy i tylko wtedy, gdy ρ2 = ρ

Utrata zwi¸ azk´ ow fazowych (tzw. koherencji) zredukowanego opera- tora stanu w wyniku ewolucji uk ladu rozszerzonego jest nazywana dekoherencj¸

NIER ´OWNO´SCI BELLA

(a) Pokaza´ c, ˙ze r´ owna mieszanka dw´ och maksymalnie spl¸ atanych stan´ ow (tzn np3. Informacja nie mo˙ze by´ c przekazywana szybciej ni˙z ´ swiat

NIER ´OWNO´SCI BELLA

(a) Pokaza´ c, ˙ze r´ owna mieszanka dw´ och maksymalnie spl¸ atanych stan´ ow (tzn np3. Informacja nie mo˙ze by´ c przekazywana szybciej ni˙z ´ swiat