Algebraiczne aspekty kryptografii
9. NIER ´OWNO´SCI BELLA. SPLA¸ TANIE. TELEPORTACJA.
1. Nier´owno´sci Bella. Za l´o˙zmy nast¸epuj¸ace zasady Bella:
1. Ka˙zdy pomiar mierzy obiektywne w lasno´sci uk ladu.
2. Pomiary niezale˙znych obserwator´ow (np. w r´o˙znych rejestrach) s¸a niezale˙zne.
Wtedy, mierz¸ac stan Bella
|Φ+ABi = 1
√2(|00i + |11i),
w uk ladzie HA⊗ HB, w polaryzacjach α1, α1 (w rejestrze A) i β1, β2 (w rejestrze B), i oznaczaj¸ac odpowiedzi przez A1, A2, B1, B2 ∈ {+1, −1}, otrzymujemy nast¸epuj¸ac¸a nier´owno´s´c dla odpowiednich warto´sci oczekiwanych E(Ai· Bj)
Nier´owno´s´c Bella : E(A1· B1) + E(A1· B2) + E(A2· B1) − E(A2· B2) ≤ 2 (zastosowali´smy r´owno´s´c
E(A1·B1)+E(A1·B2)+E(A2·B1)−E(A2·B2) = E(A1·B1+A1·B2+A2·B1−A2·B2) ).
Obliczaj¸ac warto´s´c E(A1 · B1) + E(A1 · B2) + E(A2 · B1) − E(A2 · B2) w sytuacji, gdy α1 = σ3, α2 = σ3 + σ1, β1 = (1/4)σ3 + (3/4)σ1, β1 = (3/4)σ3 + (1/4)σ1 (tzn.
odpowiednie polaryzacje s¸a wynikami zastosowania podanych kombinacji operator´ow Pauli’ego:
σ1 = |1ih0| + |0ih1| , σ2 = i|1ih0| − i|0ih1| , σ3 = |0ih0| − |1ih1| ),
gdzie ka˙zda warto´s´c oczekiwana jest obliczana wg postu lat´ow mechaniki kwantowej, otrzymujemy warto´s´c
E(A1· B1) + E(A1· B2) + E(A2· B1) − E(A2· B2) = 2√ 2.
Zad. 1. Przeprowadzi´c obliczenie podane w powy˙zszym wzorze.
2. Stany rozdzielone (separable states). Stany rozdzielone s¸a zdefiniowane przez macierze g¸esto´sci nast¸epuj¸acej postaci:
ρ =X
i
piρAi ⊗ ρBi , gdzie ρAi i ρBi s¸a macierzami g¸esto´sci w rejestrach A i B.
1
Wtedy pomiar operatora A ⊗ B jest obliczany jako T r((X
i
piρAi ⊗ ρBi )(A ⊗ B)) = X
i
piT r(ρAi A)T r(ρBi B).
Zad. 2. Pokaza´c, ˙ze nier´owno´s´c Bella zachodzi dla stan´ow rozdzielonych.
3. Stany Wernera. Niech 0 ≤ F ≤ 1 i niech ρW = F |Ψ−ABihΨ−AB| +1 − F
3 (|Ψ+ABihΨ+AB| + |Φ+ABihΦ+AB| + |Φ−ABihΦ−AB|).
Zad. 3. (a) Pokaza´c, ˙ze r´owna mieszanka dw´och maksymalnie spl¸atanych stan´ow (tzn np. postaci |Φ+ABihΦ+AB|) jest stanem rozdzielonym.
(b) Wywnioskowa´c z (a), ˙ze dla F = 1/2 stan ρW jest rozdzielony.
Uwaga. Dla F > 1/2, stan ρW jest spl¸atany, ale nier´owno´c Bella przestaje obowi¸azywa´c dopiero od F > 0.78 .
4. Teleportacja. Nadawca A i odbiorca B s¸a w zwi¸azku
|Φ+ABi = 1
√2(|00i + |11i).
˙Zeby przekaza´c stan α|0i+β|1i (w postaci niemierzonego fotonu), nadawca A przypina go do powy˙zszego stanu Bella i przeprowadza pomiar w bazie wszytkich stan´ow Bella w swoich dw´och rejestrach.
Poniewa˙z
(α|0i + β|1i) ⊗ |Φ+ABi = 1
2(|Φ+AAi ⊗ (α|0i + β|1i) + |Φ−AAi ⊗ (α|0i − β|1i)+
|Ψ+AAi ⊗ (α|1i + β|0i) + |Ψ−AAi ⊗ (α(|1i − β|0i)),
informuj¸ac odbiorc¸e (np. stosuj¸ac kodowanie g¸este) o wynikach pomiaru, przekazuje jaki operator unitarny musi zastosowa´c B w swoim rejestrze, ˙zeby otrzyma´c wys lany foton.
5. Twierdzenie. Informacja nie mo˙ze by´c przekazywana szybciej ni˙z ´swiat lo, tzn.
pomiar zredukowanego operatora stanu w rejestrze A nie ma wp lywu na zredukowany operator stanu w rejestrze B.
2
