(1)dr Krzysztof ›yjewski Zarz¡dzanie

dr Krzysztof ›yjewski Zarz¡dzanie; 8 grudnia 2019

Legalna ±ci¡ga kolokwium 2

Uwaga: Zabrania si¦ korzystania z innych materiaªów jak równie» dopisywania dodatkowych informacji.

Symbole nieoznaczone: ^∞_∞, ⁰₀, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰. Tabelka odczytywania warto±ci pewnych wyra»e«:

a + ∞ = ∞, −∞ < a ≤ ∞ a · ∞ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

∞ = 0, −∞ < a < ∞ ₀^a+ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

0⁺ = −∞, −∞ ≤ a < 0 ₀^a− = −∞, 0 < a ≤ ∞

a

0⁻ = ∞, −∞ ≤ a < 0

a^∞= 0, 0⁺≤ a < 1 a^∞= ∞, 1 < a ≤ ∞

∞^a= 0, −∞ ≤ a < 0 ∞^a= ∞, 0 < a ≤ ∞ Podstawowe wzory:

1) (f ± g)⁰(x₀) = f⁰(x₀) ± g⁰(x₀);

2) (f · g)⁰(x₀) = f⁰(x₀) · g(x₀) + f (x₀) · g⁰(x₀);

3) ^f_g
0

(x₀) = ^f0(x0)g(x_g⁰2^{)−f (x}(x0) ^0)g0(x0), o ile g(x0) 6= 0;

Pochodne funkcji elementarnych:

Lp. Wzór 1 Wzór 2 Uwagi

1. (c)⁰ = 0 c ∈ R

2. (x^α)⁰ = αx^α−1 (^α)⁰ = α^α−1 · ⁰ α ∈ R \ {0}

3. (√ⁿ

x)⁰ = ¹

nⁿ

√ xⁿ⁻¹

√n

0

= ¹

nⁿ

√

ⁿ⁻¹ · ⁰ n ∈ N \ {0, 1}; x > 0 4. (sin x)⁰ = cos x (sin )⁰ = (cos ) · ⁰

5. (cos x)⁰ = − sin x (cos )⁰ = (− sin ) · ⁰

6. (tg x)⁰ = _cos¹2x (tg )⁰ = _cos¹2 · ⁰ x 6= ^π₂ + kπ, k ∈ N 7. (ctg x)⁰ = −_sin¹2x (ctg )⁰ = −_sin¹2

 · ⁰ x 6= kπ, k ∈ N 8. (a^x)⁰ = a^x· ln a (a^)⁰ = a^· ln a · ⁰ a > 0 9. (e^x)⁰ = e^x (e^)⁰ = e^· ⁰

10. (ln x)⁰ = _x¹ (ln )⁰ = _¹ · ⁰ x > 0

11. (log_ax)⁰ = _{x ln a}¹ (log_a)⁰ = _{ ln a}¹ · ⁰ a > 0, a 6= 0; x > 0 12. (arcsin x)⁰ = ^{√ 1}

1−x² (arcsin )⁰ = ^{√ 1}

1−² · ⁰ |x| < 1 13. (arccos x)⁰ = ^√−1

1−x² (arccos )⁰ = ^√−1

1−² · ⁰ |x| < 1 14. (arctg x)⁰ = _1+x¹ 2 (arctg )⁰ = ¹

1+² · ⁰ 15. (arcctg x)⁰ = _1+x⁻¹2 (arcctg )⁰ = _1+⁻¹2 · ⁰

Równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) w punkcie (x0, f (x0)) : y − y₀= f⁰(x₀)(x − x₀).

Inne przydatne wzory:

a) a²− b²= (a − b)(a + b), b) a³± b³ = (a ± b)(a²∓ ab + b²).

a) Asymptota pionowa: lim

x→x⁻₀

f (x) = ±∞ ( lim

x→x⁺₀

f (x) = ±∞) b) Asymptota pozioma: lim

x→−∞f (x) = y0



x→+∞lim f (x) = y0,



c) Asymptota uko±na: prosta y = ax + b gdzie (a, b ∈ R, a 6= 0) oraz a = lim

x→∓∞

f (x)

x i b = lim

x→∓∞[f (x) − ax].

Uwaga. Granice a, b musz¡ by¢ wªa±ciwe.

1