(1)dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 1

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 1; MatematykaS-I⁰.lic. 11 stycznia 2018

Legalna ±ci¡ga na kolokwium nr 2

Uwaga: Zabrania si¦ korzystania z innych materiaªów jak równie» dopisywania dodatkowych informacji. Materiaª ten, je»eli kto± chce z niego skorzysta¢, nale»y wydrukowa¢ samodzielnie.

Symbole nieoznaczone: ^∞_∞, ⁰₀, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰. Tabelka odczytywania warto±ci pewnych wyra»e«:

a + ∞ = ∞, −∞ < a ≤ ∞ a · ∞ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

∞ = 0, −∞ < a < ∞ ₀^a+ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

0⁺ = −∞, −∞ ≤ a < 0 ₀^a− = −∞, 0 < a ≤ ∞

a

0⁻ = ∞, −∞ ≤ a < 0

a^∞= 0, 0⁺≤ a < 1 a^∞= ∞, 1 < a ≤ ∞

∞^a= 0, −∞ ≤ a < 0 ∞^a= ∞, 0 < a ≤ ∞

Inne przydatne wzory:

a) sin 2α = 2 sin α cos α, b) cos 2α = cos²α − sin²α, c) sin²α = ^{1−cos 2α}₂ , d) cos²α = ^{1+cos 2α}₂ ,

e) sin α + sin β = 2 sin^α+β₂ cos^α−β₂ , f) sin α − sin β = 2 sin^α−β₂ cos^α+β₂ , g) cos α − cos β = −2 sin^α+β₂ sin^α−β₂ , h) cos α = sin ^π₂ − α

i) a²− b² = (a − b)(a + b), j) a³− b³= (a − b)(a²+ ab + b²).

k) aⁿ− bⁿ= (a − b)(aⁿ⁻¹+ aⁿ⁻²b + . . . + a^n−kb^k−1+ . . . + abⁿ⁻²+ bⁿ⁻¹) l) aⁿ+ bⁿ= (a + b)(aⁿ⁻¹− aⁿ⁻²b + aⁿ⁻³b²− aⁿ⁻⁴b³+ . . .)

Przydatne nierówno±ci:

a) ln x < x − 1 dla ka»dego x > 0; b) ln(x + 1) < xdla ka»dego x > −1;

c) ln n <√

ndla ka»dego n ∈ N; d) sin x ≤ x dla ka»dego x > 0;

e) sin x ≥ _π²x dla ka»dego x ∈ [0,^π₂]; f ) tg x > x dla ka»dego x ∈ (0,^π₂);

g) tg x ≤ _π⁴x dla ka»dego x ∈ [0,^π₄]; h) | sin x| ≤ |x|dla ka»dego x ∈ R;

i) (1 + x)ⁿ≥ 1 + nxdla ka»dych x ∈ (−1, +∞) i n ∈ N; j) n²< 2ⁿ dla ka»dego n ≥ 5, n ∈ N;

k) 2ⁿ≤ n!dla ka»dego n ≥ 4, n ∈ N; l) ²ⁿ_n
< 4ⁿ dla ka»dego n ∈ N;

m) ⁿ₃
n

< n! < e ⁿ₂
n

dla ka»dego n ∈ N; n) nⁿ⁺¹> (n + 1)ⁿ dla ka»dego naturalnego n ≥ 3;

o) 1 +_n¹
n

≤ e < 3 dla ka»dego n ∈ N; p) |x ± y| ≤ |x| + |y| dla ka»dych x, y ∈ R;

q) ||x| − |y|| ≤ |x − y| dla ka»dych x, y ∈ R; r) |√ x −√

y| ≤p|x − y| dla ka»dych x, y ∈ R.

kryterium Abella: Je±li ci¡g (an)jest monotoniczny i ograniczony oraz szereg P^∞

n=1

bnjest zbie»ny, to szereg

∞

P

n=1

anbn jest zbie»ny.

kryterium Dirichleta: Je±li ci¡g (an) monotonicznie d¡»y do zera i ci¡g sum cz¦±ciowych szeregu P^∞

n=1

bn

jest ograniczony, to szereg P^∞

n=1

anbn jest zbie»ny.

kryterium kondensacyjne: Je±li an ≥ 0 dla ka»dego n ∈ N i ci¡g an jest malej¡cy to szeregi P^∞

n=1

a_n i

∞

P

n=1

2ⁿa₂ⁿ s¡ jednocze±nie zbie»ne lub rozbie»ne.

1

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 1; MatematykaS-I⁰.lic. 11 stycznia 2018

kryterium Raabe'go: Je»eli wyrazy szeregu P^∞

n=1

ans¡ dodatnie oraz istnieje granica g = lim

n→∞n

 an

an+1 − 1 to:

• gdy g > 1, to szereg P^∞

n=1

an jest zbie»ny;

• gdy g < 1, to szereg P^∞

n=1

a_n jest rozbie»ny,

• gdy g = 1, to kryterium nie rozstrzyga zbie»no±ci szeregu P^∞

n=1

an. Pochodne funkcji elementarnych:

Lp. Wzór 1 Wzór 2 Uwagi

1. (c)⁰ = 0 c ∈ R

2. (x^α)⁰ = αx^α−1 (^α)⁰ = α^α−1· ⁰ α ∈ R \ {0}

3. (√ⁿ

x)⁰ = ¹

nⁿ√ xⁿ⁻¹

√n

0

= ^0

nⁿ√

ⁿ⁻¹ n ∈ N \ {0, 1}; x > 0 4. (sin x)⁰ = cos x (sin )⁰ = (cos ) · ⁰

5. (cos x)⁰ = − sin x (cos )⁰ = (− sin ) · ⁰

6. (tg x)⁰ = _cos¹2x (tg )⁰= _cos^2⁰ x 6= ^π₂ + kπ, k ∈ N 7. (ctg x)⁰ = −_sin¹2x (ctg )⁰= −_sin^2⁰ x 6= kπ, k ∈ N 8. (a^x)⁰ = a^x· ln a (a^)⁰ = a^· ln a · ⁰ a > 0 9. (e^x)⁰= e^x (e^)⁰ = e^· ⁰

10. (ln x)⁰ = ¹_x (ln )⁰ = ^_⁰ x > 0 11. (log_ax)⁰ = _{x ln a}¹ (log_a)⁰= _{ ln a}^0 a > 0, a 6= 0; x > 0 12. (arcsin x)⁰ = ^{√ 1}

1−x² (arcsin )⁰ = ^√0

1−² |x| < 1 13. (arccos x)⁰= ^√−1

1−x² (arccos )⁰ = ^√−0

1−² |x| < 1 14. (arctg x)⁰ = _1+x¹ 2 (arctg )⁰ = ^0

1+²

15. (arcctg x)⁰ = _1+x⁻¹2 (arcctg )⁰= _1+^−02

2