(1)dr Krzysztof ›yjewski Budownictwo L¡dowe

dr Krzysztof ›yjewski Budownictwo L¡dowe; S-I⁰.in». 10 stycznia 2018

Zadania przygotowuj¡ce (przykªadowe) do kolokwium III

1. Oblicz granice poni»szych ci¡gów:

(a) a_n= ³ⁿ_2n³3⁺²ⁿ⁻⁵−n+7 (b) b_n= ²ⁿ_n5⁷−4n⁺⁴ⁿ³³+2n−5⁻³ⁿ⁺⁵ (c) c_n = ²ⁿ_4n²3⁻³ⁿ⁺¹+2n+3

(d) d_n=√

3n²+ 2n − 5 − n√

3 (e) e_n = √ⁿ

10ⁿ+ 9ⁿ+ 8ⁿ (f ) f_n= ²³ⁿ⁻²₄2n+3^−53n+32n+1

(g) gn= _4n²ⁿ2−3 cos n^{2+sin n2} (h) hn = ⁿ q 2

3

n

+ ³₅
n

(i) in = ⁿ⁻³_n
n

(j) j_n =

3n²+2 3n²+1

n²−3

(k) k_n=

n²+2 3n²+1

n²−3

2. Korzystaj¡c z odpowiednich kryteriów zbadaj zbie»no±¢ szeregów:

(a)

∞

P

n=1 n−1

n³+1 (b)

∞

P

n=1

n ⁷₃
4n

(c)

∞

P

n=1 4²ⁿ (2n−2)!

(d)

∞

P

n=1 4n−3

2n+4 (e)

∞

P

n=1 2n

4ⁿ (f )

∞

P

n=1 4n+3 6n−1

2n

(g)

∞

P

n=1

n²+1 n²+n

n²

(h)

∞

P

n=1

(−1)^{n 3n−1}_n2+4 (i)

∞

P

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ ln(n+1)

3. Zbadaj parzysto±¢, nieparzysto±¢ funkcji:

(a) f (x) = ^{cos x}_x3 − x|x| (b) f (x) = cos³x + tg x (c) f (x) = −3x⁵arctg(x²) + 4x²ln 5^x 4. Okre±li¢ zªo»enie funkcji (o ile to mo»liwe) f ◦ g, g ◦ f gdy: f(x) =√

x − 1, g(x) = x²+ 1.

5. Nie stosuj¡c reguªy de L'Hospitala Oblicz granice funkcji (lub wyka» nieistnienie granicy):

(a) lim

x→+∞

x³−2x²+x−2

x³−x²−4x+4 (b) lim

x→−∞

x²−12x

x³+64 (c) lim

x→∞

x⁴³+3x⁷−1

−2x⁴⁰+x⁴+x

(d) lim

x→2

x³−2x²+x−2

x³−x²−4x+4 (e) lim

x→−4

x³+x²−12x

x³+64 (f ) lim

x→+∞

√4x²+ 3x − 1 − 2x

(g) lim

x→0 sin 5x

3x (h) lim

x→∞

x²+3x+5 x²+2

2x

(i) lim

x→1 1 1−x²

(j) lim

x→02^|x|x (k) lim

x→0 sin 4x sin 5x

6. Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji w dziedzinie, w punktach nieci¡gªo±ci okre±l rodzaj nieci¡gªo±ci:

a)f(x) =







sin 2x

x dla x ≤ 0

x−1

|x−1| dla 0 < x < 1

x²− 2 dla x ≥ 1 b) f(x) =







2^x− 1 dla x ≤ 1 1 + log x dla 1 < x < 10

5

x dla x ≥ 10

7. Oblicz pochodne podanych funkcji:

a) f(x) = x³sin 8x + e^3xtg x, b) f(x) = arctg⁴(3x³+ 2x + 4), c) f(x) = ln(arctg e^2x)⁷, d) f(x) = sin⁵ _2x+3^x2 ,

e) f(x) = 

x³cos 5x x+2 sin x

12

, f) f(x) = ln^1+√_x^1+x2,

g) f(x) = (x² + 4x)^{2 tg x}, h) f(x) = logx²cos 4x, i) f(x) = ctg⁵pln(cos x³),

8. Korzystaj¡c z reguªy de L'Hospitala oblicz poni»sze granice funkcji:

a) lim

x→0⁻ arctg x

x² , b) lim

x→0⁺x²ln x, c) lim

x→+∞

ln²x

x³ , d) lim

x→0 sin²x x(e^x−1), e) lim

x→0 1

x − _ex¹−1
, f) lim

x→0⁺

x^{sin x} g) lim

x→^π₂⁺

(tg x)^2x−π 9. Wyznacz ekstrema lokalne i zbadaj monotoniczno±¢ funkcji

a) f(x) = _x^4x2+1² b) f(x) = xe^−3x, c) f(x) = x ln²x.

1

dr Krzysztof ›yjewski Budownictwo L¡dowe; S-I⁰.in». 10 stycznia 2018

10. Wyznacz wszystkie mo»liwe asymptoty podanych funkcji (pozioma, pionowa, uko±na):

a) f (x) = ^3x_x⁴3⁺¹ b) g(x) = ^x_x²2^−3x−4

11. (dotyczy poprawy) Zbadaj wkl¦sªo±¢, wypukªo±¢ wykresu funkcji oraz wyznacz punkty prze- gi¦cia:

a) f(x) = _1−x^x2, b) f(x) = ln(1 + x²), c) f(x) = x²e^−x.

12. (dotyczy poprawy) Korzystaj¡c z denicji ró»niczki funkcji oblicz przybli»on¡ warto±¢ wy- ra»enia √⁵

31, 98.

13. (dotyczy poprawy) Wyznacz równane prostej stycznej i normalnej do wykresu funkcji f (x) = ¹_xe^1x w punkcie x0 = −1.

2