dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 1; MatematykaS-I 0 .lic. 18 grudnia 2017

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 1; MatematykaS-I ⁰ .lic. 18 grudnia 2017

Legalna ±ci¡ga na kolokwium nr 1

Uwaga: Zabrania si¦ korzystania z innych materiaªów jak równie» dopisywania dodat- kowych informacji. Materiaª ten, je»eli kto± chce z niego skorzysta¢, nale»y wydrukowa¢

samodzielnie.

Symbole nieoznaczone: ^∞ _∞ , ⁰ ₀ , ∞ − ∞, 0 · ∞, 1 ^∞ , 0 ⁰ , ∞ ⁰ . Tabelka odczytywania warto±ci pewnych wyra»e«:

a + ∞ = ∞, −∞ < a ≤ ∞ a · ∞ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

∞ = 0, −∞ < a < ∞ ₀ ^a

= ∞, 0 < a ≤ ∞

a

0

= −∞, −∞ ≤ a < 0 ₀ ^a

= −∞, 0 < a ≤ ∞

a

0

= ∞, −∞ ≤ a < 0

a ^∞ = 0, 0 ⁺ ≤ a < 1 a ^∞ = ∞, 1 < a ≤ ∞

∞ ^a = 0, −∞ ≤ a < 0 ∞ ^a = ∞, 0 < a ≤ ∞

Tabelka odczytywania monotoniczno±ci ci¡gu:

a _n+1 − a _n ^a

_a

n

monotoniczno±¢

> 0 > 1 rosn¡cy

= 0 = 1 staªy

< 0 < 1 malej¡cy

≥ 0 ≥ 1 niemalej¡cy

≤ 0 ≤ 1 nierosn¡cy

Granice niektórych ci¡gów:

a) lim

n→∞

a

n = 0, b) lim

n→∞

1

n

= 0, α > 0 c) lim

n→∞ n ^α = +∞, α > 0 d) lim

n→∞ a ⁿ = 0, |a| < 1 e) lim

n→∞ a ⁿ = ∞, a > 1 f ) lim

n→∞

√

a = 1, a > 0 g) lim

n→∞

√

n = 1 h) lim

n→∞

n

a

= 0 α > 0, a > 1 i) lim

n→∞

log

n

n = 0, n > 1 j) lim

n→∞

n

n! = ∞ k) lim

n→∞ a ⁿ = ∞, a > 1 l) lim

n→∞ a ⁿ = 0, |a| < 1 m) lim

n→∞ (1 + ¹ _n ) ⁿ = e n) lim

n→∞ (1 − ¹ _n ) ⁿ = e ⁻¹ o) lim

n→∞ (1 + ^a _n ) ⁿ = e ^a p) lim

n→∞ (1 + _a ¹

n

) ^a

= e o ile (a n ) to ci¡g o wyrazach dodatnich zbie»ny do granicy niewªa±ciwej (∞).

Granice podstawowych wyra»e« nieoznaczonych:

a) lim

x→0 sin x

x = 1, b) lim

x→0 tg x

x = 1, α > 0 c) lim

x→0 a

−1

x = ln a, a > 0 d) lim

x→0

log

(1+x)

x = log _a e, 0 < a 6= 1 e) lim

x→±∞ 1 + ^a _x
x

= e ^a , a ∈ R f ) lim

x→0 (1 + x)

= e g) lim

x→0

(1+x)

−1

x = a, a ∈ R h) lim

x→0 arcsin x

x = 1 i) lim

x→0 arctg x

x = 1

1

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 1; MatematykaS-I ⁰ .lic. 18 grudnia 2017

Inne przydatne wzory:

a) sin 2α = 2 sin α cos α, b) cos 2α = cos ² α − sin ² α, c) sin ² α = ^{1−cos 2α} ₂ , d) cos ² α = ^{1+cos 2α} ₂ ,

e) sin α + sin β = 2 sin ^α+β ₂ cos ^α−β ₂ , f) sin α − sin β = 2 sin ^α−β ₂ cos ^α+β ₂ , g) cos α − cos β = −2 sin ^α+β ₂ sin ^α−β ₂ , h) cos α = sin ^π ₂ − α

i) a ² − b ² = (a − b)(a + b), j) a ³ − b ³ = (a − b)(a ² + ab + b ² ).

k) a ⁿ − b ⁿ = (a − b)(a ⁿ⁻¹ + a ⁿ⁻² b + . . . + a ^n−k b ^k−1 + . . . + ab ⁿ⁻² + b ⁿ⁻¹ ) l) a ⁿ + b ⁿ = (a + b)(a ⁿ⁻¹ − a ⁿ⁻² b + a ⁿ⁻³ b ² − a ⁿ⁻⁴ b ³ + . . .)

Przydatne nierówno±ci:

• ln x < x − 1 dla ka»dego x > 0;

• ln(x + 1) < x dla ka»dego x > −1;

• sin x ≤ x dla ka»dego x > 0;

• sin x ≥ ² _π x dla ka»dego x ∈ [0, ^π ₂ ].

• tg x > x dla ka»dego x ∈ (0, ^π ₂ );

• tg x ≤ _π ⁴ x dla ka»dego x ∈ [0, ^π ₄ ];

• | sin x| ≤ |x| dla ka»dego x ∈ R;

• (1 + x) ⁿ ≥ 1 + nx dla ka»dych x ∈ (−1, +∞) i n ∈ N;

• n ² < 2 ⁿ dla ka»dego n ≥ 5, n ∈ N;

• 2 ⁿ ≤ n! dla ka»dego n ≥ 4, n ∈ N;

• ²ⁿ _n
< 4 ⁿ dla ka»dego n ∈ N;

• ⁿ ₃
n

< n! < e ⁿ ₂
n

dla ka»dego n ∈ N;

• n ⁿ⁺¹ > (n + 1) ⁿ dla ka»dego naturalnego n ≥ 3;

• 1 + ¹ _n
n

≤ e < 3 dla ka»dego n ∈ N;

• |x ± y| ≤ |x| + |y| dla ka»dych x, y ∈ R;

• ||x| − |y|| ≤ |x − y| dla ka»dych x, y ∈ R;

• | √ x − √

y| ≤ p|x − y| dla ka»dych x, y ∈ R.

2