dr Krzysztof yjewski Budownictwo L¡dowe; S-I0.in». 3 grudnia 2019
Zadania przygotowuj¡ce (przykªadowe) do kolokwium II
Uwaga: To s¡ jedynie zadania przykªadowe, ilustruj¡ce przypuszczalny poziom.
Prosz¦ spodziewa¢ si¦ równie» innych zada« o podobnym stopniu trudno±ci.
1. Korzystaj¡c z twierdzenia Kroneckera-Capelliego okre±li¢ liczb¦ rozwi¡za« oraz parametrów
ukªadu równa« liniowych :
3x − y + z + 2w − t = 3 x + 6y − 3z − 8w + 3t = 9
−x + y + z − 2w + 3t = 3 4x + 5y − 2z − 6w + 2t = 12
.
2. Rozwi¡» podane ukªady równa« [ a) metod¡ Cramera, b) metod¡ eliminacji Gaussa]:
(a)
2x − y + z = 1
−4x + 2y + z = 5 3x + 3y + z = 3
(b)
x − 2y + z − 2w + 3t = 4 3x − 4y + 3z − 10w + 5t = 4 x − 4y + z + 2w + 7t = 12 2x − 3y + 3z + 4w + 2t = 6
.
3. Dla czworo±cianu ABCD, gdzie A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 3), C = (3, 2, −1), D = (−1, 3, 5) oblicz jego obj¦to±¢ i dªugo±¢ wysoko±ci poprowadzonej z wierzchoªka D.
4. Znale¹¢ równanie pªaszczyzny przechodz¡cej przez punkt P0 = (3, 2, 1) i zawieraj¡cej prost¡
l :
x = −2 + t y = 1 − 3t z = 3.
5. Wyznacz odlegªo±¢ punktu A = (1, 1, 1) od prostej l :
(2x − y + z = 3 x − 3y + 3z = 4 .
6. Zbada¢ wzajemne poªo»enie pªaszczyzny π : 2x+4y+3z−5 = 0 i prostej l :
(3x + y + 2z = −11 2y + z + 7 = 0 . W przypadku:
• równolegªo±ci wyznaczy¢ odlegªo±¢ pomi¦dzy nimi,
• je»eli maj¡ punkt wspólny wyznacz ten punkt oraz k¡t mi¦dzy prosta a pªaszczyzn¡.
7. Wyznacz punkt P00 symetryczny do punktu P0 = (7, 5, −3)wzgl¦dem pªaszczyzny przechodz¡cej przez punkt P1 = (3, 2, 2) i równolegªej do wektorów ~u1 = [1, 2, 1], ~u2 = [3, 1, 2].
8. Znale¹¢ równanie pªaszczyzny przechodz¡cej przez o± Ox i tworz¡cej z pªaszczyzn¡
π : √
5x + y + 2z − 1 = 0 k¡t π3.
9. Napisz równanie pªaszczyzny zawieraj¡cej prost¡ l1 : x−21 = y+32 = z−43 oraz jej prostok¡tny rzut na pªaszczyzn¦ π : 3x − y + 2z + 1 = 0.
1
dr Krzysztof yjewski Budownictwo L¡dowe; S-I0.in». 3 grudnia 2019
10. Napisz równanie prostej k przechodz¡cej przez punkt P0 = (2, 3, 1) i przecinaj¡c¡ proste o
równaniach: l1 :
x = 1 − 3t y = t z = −t
oraz l2 :
(x + 3y − 1 = 0 y + z = 0.
11. Na prostej l :
(2x + y + z + 8 = 0
z − 4y − 2z − 5 = 0 znale¹¢ punkt oddalony o 5 od pªaszczyzny π : 3x − 6y + 2z − 10 = 0.
12. Napisz równanie prostej k przechodz¡cej przez punkt P0 = (2, 3, 1), prostopadªej do prostej l1 : x−12 = y−32 = −12 i przecinaj¡c¡ prost¡ l2 : x = y = z.
13. Zbadaj wzajemne poªo»enie prostych
l1 : x − 7
−6 = y − 2 9 = z
12 i l2 :
(3x − 2y + 3z + 9 = 0 2x + z − 3 = 0.
W przypadku gdy:
• si¦ przecinaj¡ wyznacz punkt przeci¦cia i równanie pªaszczyzny zawieraj¡cej te proste i k¡t miedzy nimi;
• s¡ sko±ne wyznacz odlegªo±¢ miedzy nimi;
• s¡ równolegªe (ale nie pokrywaj¡ si¦ ) równanie pªaszczyzny zawieraj¡cej proste l1 i l2 oraz odlegªo±¢ pomi¦dzy nimi.
2
