Analiza matematyczna 2
lista zada« nr 7 pochodne cz¡stkowe Rozgrzewka
1. Uzasadnij, »e je±li f(x1, x2) jest funkcj¡ dwóch zmiennych o ci¡gªych pierwszych i drugich po- chodnych cz¡stkowych, która speªnia warunki:
∂f
∂x1(p1, p2) = 0, ∂f
∂x2(p1, p2) = 0, ∂2f
∂x21(p1, p2) ·∂2f
∂x22(p1, p2) >
∂2f
∂x1∂x2(p1, p2)
2
, to f ma ekstremum lokalne w p1, p2. Jak rozpozna¢, czy to maksimum, czy minimum?
wiczenia
1. Oblicz drugie pochodne cz¡stkowe funkcji f(x1, x2) = ex1sin x2. 2. Wyznacz ∂3f
∂2x1∂x2, je±li f(x1, x2) = sin(x1x2).
3. Znajd¹ ekstrema lokalne funkcji f(x1, x2) = 3x21x2− 6x1x2+ x32. 4. Znajd¹ ekstrema lokalne funkcji f(x1, x2) = e−(x21+x22)(2x21+ x22).
5. Znajd¹ warto±¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ funkcji f(x1, x2) = x21x2(2 − x1− x2) w trójk¡cie (z brzegiem) ograniczonym prostymi x1 = 0, x2= 0, x1+ x2= 6.
6. Znajd¹ warto±¢ najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ funkcji f(x1, x2) = x21+ x22− 12x1+ 26x2 w kole danym nierówno±ci¡ x21+ x22 ≤ 25.
7. Wyznaczy¢ pochodne cz¡stkowe zªo»enia g ◦ f, je±li g(x) = e−x2, f(x1, x2) = x21+ x2 na dwa sposoby: wyznaczaj¡c zªo»enie i ró»niczkuj¡c oraz korzystaj¡c z twierdzenia o pochodnej zªo»enia.
8. (Wersja formalna) Niech ϕ(x1, x2) = (x1cos x2, x1sin x2). Dla funkcji dwóch zmiennych f (x1, x2)wyznacz ∂(f ◦ ϕ)
∂x1 oraz∂(f ◦ ϕ)
∂x2 . Na tej podstawie wyra¹ ∂f
∂x1
2
+ ∂f
∂x2
2
za pomoc¡
∂(f ◦ ϕ)
∂x1 i ∂(f ◦ ϕ)
∂x2 .
Odpowied¹: „ ∂f
∂x1
(ϕ(x1, x2))
«2
+„ ∂f
∂x2
(ϕ(x1, x2))
«2
=„ ∂(f ◦ ϕ)
∂x1
(x1, x2)
«2
+ 1 x21
„ ∂(f ◦ ϕ)
∂x2
(x1, x2)
«2
(Wersja zwyczajowa) Niech x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Dla funkcji dwóch zmiennych f(x, y) wyznacz
∂f
∂r oraz ∂f
∂ϕ. Na tej podstawie wyra¹ ∂f
∂x
2
+ ∂f
∂y
2
za pomoc¡ ∂f
∂r i ∂f
∂ϕ.
Odpowied¹: „ ∂f
∂x
«2
+„ ∂f
∂y
«2
=„ ∂f
∂r
«2
+ 1 r2
„ ∂f
∂ϕ
«2
9. Udowodnij twierdzenia Schwarza dla funkcji dwóch zmiennych f(x1, x2): je±li ∂2f
∂x1∂x2(x1, x2) oraz ∂2f
∂x2∂x1
(x1, x2) s¡ ci¡gªe w (p1, p2), to ∂2f
∂x1∂x2
(p1, p2) = ∂2f
∂x2∂x1
(p1, p2). Pierwszym krokiem jest uzasadnienie wzoru:
Z Z
[a,b]×[A,B]
∂2f
∂x1∂x2
(x1, x2)dx1dx2 = f (b, B) + f (a, A) − f (a, B) − f (A, b).
Mateusz Kwa±nicki
