Szeregi liczbowe

St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 11 1

Szeregi liczbowe

Niech

( a

_n

)

b dzie ci giem liczbowym o wyrazach rzeczywistych.

Ci g sum cz ciowych

( S

_n

) : S

_n

= a

₁

+ a

₂

+ ... + a

_nnazywamy szeregiem liczbowym.

Szereg liczbowy nazywamy zbie nym, gdy ci g sum cz ciowych ma sko czon granic S:

S

_n

S

n

=

∞

lim

→ . Granic ci gu sum cz ciowych nazywamy wówczas sum szeregu niesko czonego i piszemy

∞

=

=

1 n

a

n

S

.

Fakt.

Warunkiem koniecznym na to, by szereg był zbie ny, jest by ci g jego wyrazów d ył do zera:

∞

=1 n

a

n jest zbie ny

lim = 0

∞

→ n

n

a

,

Warunkiem wystarczaj cym na to, by szereg był rozbie ny, jest by ci g jego wyrazów nie d ył do zera:

0 lim ≠

∞

→ n

n

a

∞

=1 n

a

n jest rozbie ny.

[1] Szereg

∞

=1

2 cos 1

n n jest rozbie ny, gdy

cos 0 1

2 cos 1

lim = =

∞

→ n

n .

Kryteria (warunki wystarczaj ce) zbie no ci szeregów

Kryterium całkowe zbie no ci szeregu liczbowego.

Niech funkcja

f

b dzie dodatnia i malej ca w przedziale

[ 1 , ∞ )

oraz niech a_n=f(n), n≥1. Wówczas

Szereg

∞

=1 n

a

njest zbie ny ⇔ całka

∞

1

) (x dx

f jest zbie na.

1. Korzystaj c z kryterium całkowego zbadamy zbie no szeregu

∞

= +

1 2 5 1

n n .

∞

= + + =

+ =

+ = ^{→∞ →∞ →∞}

∞ A

A A

A A

A dx x

dx x dx x

x 21 1

1 21 1

1

) 5 2 ln(

5 lim 2 lim 2 5 2 lim 1 5 2

1

Poniewa całka nie jest zbie na, wi c szereg nie jest zbie ny.

2. Korzystaj c z kryterium całkowego zbadamy zbie no szeregu

∞

=₁9 ²+4 1

n n ^.

) arctg ( ) ( arctg ) lim

( lim 1 4 9 lim 1 4 9

1

2 3 2 6 1 2 1 3 2 3 9 1 1

2 32 2 9 1 1

2 1

2 = ⋅ = −

= +

= +

+ ^{→∞ →∞ →∞ π}

∞ A

A A

A A

A dx x

dx x dx x

x

Poniewa całka jest zbie na, wi c szereg jest zbie ny.

3.

Korzystaj c z kryterium całkowego zbadamy zbie no szeregu harmonicznego

∞

=1

1

n

n

^.

( ) ^{= − = ∞}

=

=

→∞ →∞ →∞

∞

1 ln ln lim ln

1 lim 1 lim

1 1

1

A x

x dx

x dx

^A

A A

A

A Poniewa całka jest rozbie na, wi c szereg jest rozbie ny.

4. Korzystaj c z kryterium całkowego zbadamy zbie no szeregu

∞

= α 1

1

n

n

^,

1 ≠ α > 0

.

St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 11 2

>

α

−

<

α

= ∞ α

− − α

= −

=

α

− −

∞ α α →

∞

→

∞

α

1

1 1

1 )

1 ( lim 1 lim 1

1

11 1

1

1

dla

dla dx A

dx x

x

^A

A A

Fakt.

>

α

≤ α

∞

<

= α

jest zbie ny dla 1 . , 1 0 dla rozbie ny 1 jest

Szereg

1

n

n

Kryterium porównawcze:

Je li szeregi

∞

=1 n

a

n,

∞

=1 n

b

nspełniaj zało enia

0 ≤ a

_n

≤ b

_n, to

ze zbie no ci drugiego szeregu (majoranty) wynika zbie no pierwszego szeregu (minoranty);

z rozbie no ci pierwszego szeregu (minoranty) wynika rozbie no drugiego szeregu (majoranty).

5. Szereg

∞

=₂

( − 1 ) 1

n

n n

jest rozbie ny, gdy

n n n

n

1 1 ) 1 (

1

2

=

− >

i minoranta

∞

=1

1

n

n

jest rozbie na.

6. Szereg

∞

=₁

⋅ 3

−¹

1

n

n

n jest zbie ny, gdy _{1 1}

3

1 3 1

−

−

<

⋅

^{n n}

n

i majoranta

∞

= −

1

3

1

1

n n jest zbie na (jako szereg geometryczny).

Kryterium porównawcze ilorazowe:

Je li dla szeregów

∞

=1 n

a

n,

∞

=1 n

b

no wyrazach dodatnich istnieje sko czona granica

lim = > 0

∞

→

k

b a

n n

n , to

rozpatrywane szeregi s jednocze nie zbie ne albo jednocze nie rozbie ne.

7. Szereg

∞

=1

sin 1

n

n

jest rozbie ny, gdy

1 1 sin 1

lim =

∞

→

n n

n (korzystali my ze wzoru

sin 1

lim

0

=

→

x

x

x ) i szereg

∞

=1

1

n

n

jest rozbie ny.

8. Szereg

∞

=

+

+

1 2 2

1 ln 2

n

n

n

jest zbie ny, gdy

1

1 1

1 ) 1 1 ln(

lim 1 1 1 ln 2 lim

2 2 2

2 2

= + + +

= +

+ +

∞

→

∞

→

n n n

n n

n

n (korzystali my ze wzoru

lim ln( 1 ) 1

0

+ =

→

x

x

x ) i szereg

∞

=₁ ²

+ 1 1

n

n

jest zbie ny.

Kryterium pierwiastkowe Cauchy’ego.

Je li w szeregu

∞

=1 n

a

n o wyrazach dodatnich ⁿ

a

_n

g

n

=

∞

lim

→ , to

<

∞

>

=

jest zbie ny dla 1 . , 1 dla rozbie ny szereg jest

1

g

a g

n n Kryterium nie orzeka o zbie no ci szeregu, gdy

lim = 1

∞

→ n n

n

a

.

9. Szereg

∞

=₁

+

2

3 1 1

n

n n

n

n

jest zbie ny, gdy

( ) ^{1 1 3 1 1}

3 lim 1 1 3 lim 1 1 3 lim 1

lim

1 1

= <

⋅ +

=

⋅ + =

=

→∞ →∞ + →∞

∞

→

n e

a n

_n

n n n nn n n n

n n

n .

St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 11 3 10. Szereg

∞

=2

(ln ) 1

n

n

n jest zbie ny, gdy

0 1

ln lim 1

lim = = <

∞

→

∞

→

a n

n n n

n .

Kryterium ilorazowe d’Alemberta.

Je li w szeregu

∞

=1 n

a

n o wyrazach dodatnich

g a a

n n

n ⁺

=

∞

→

lim

1 , to

<

∞

>

=

jest zbie ny dla 1 . , 1 dla rozbie ny szereg jest

1

g

a g

n n

Kryterium nie orzeka o zbie no ci szeregu, gdy

lim

⁺¹

= 1

∞

→ n

n

n

a

a

.

11. Szereg

∞

=1

! 3

n n

n

n

n

jest rozbie ny, gdy

( ) ^{3 lim} ( ) ^{1 3 3 1}

! lim 3 ) 1 ( ) 1 (

) 1 (

! 3 lim 3

! 3 ) 1 (

)!

1 ( lim 3

lim

1 1 1

1 1

= >

= +

⋅ =

⋅

⋅ +

⋅ +

⋅ +

⋅

⋅

= ⋅ + ⋅

= +

∞

→ +

∞

→

∞ + →

+

∞

→ +

∞

→

n n n n e

n n n n

n n

n a

a

n n n n

n n n n

n

n n

n n n n n n n

n

n .

12. Szereg

∞

=1 2

2

2

)

! (

n n

n

jest zbie ny, gdy

0 1

2 ) 1 lim (

!

! 2 2

)!

1 ( )!

1 lim (

lim

_{2 1}²

) 1 ( 1

2

2

= + = <

⋅ ⋅ +

⋅

= +

₊

∞ + →

∞

→ +

∞

→ n n

n n n

n n n

n n

n n n a

a

.

Kryterium Leibniza dla szeregów naprzemiennych.

Szereg postaci

∞

=

−

− 1

)

1

1 (

n

n

a

n, gdzie (a_n) jest ci giem o dodatnich wyrazach (a_n >0), malej cym do zera (lim =0

∞

→ n

n a ) nazywa si

szeregiem naprzemiennym. Ka dy szereg naprzemienny jest zbie ny i ₁ 1

2 1

1

a ( 1 ) a a

a

n

n n

<

−

<

−

∞

=

−

13. Szeregami naprzemiennymi s :

2 ln 6 ...

1 5 1 4 1 3 1 2

1 − 1 + − + − + =

(szereg anharmoniczny),

... 4 11

1 9 1 7 1 5 1 3

1 − 1 + − + − + = π

,

3 ... 2 32

1 16

1 8 1 4 1 2

1 − 1 + − + − + =

(jako geometryczny).

Zbie no bezwzgl dna i zbie no warunkowa.

Je li szereg

∞

=1

|

|

n

a

n jest zbie ny, to i szereg

∞

=1 n

a

njest zbie ny. W tym przypadku szereg

∞

=1 n

an nazywamy bezwzgl dnie

zbie nym.

Implikacja odwrotna nie zachodzi.

Je li szereg

∞

=1

|

|

n

a

n nie jest zbie ny, ale szereg

∞

=1 n

a

n jest zbie ny, to szereg

∞

=1 n

a

n nazywamy warunkowo zbie nym.

14. Szereg

∞

=

−

+ 1

1

1 ) 1 (

n n

n

jest zbie ny warunkowo.

St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 11 4 15. Szereg

∞

=

−

+ 1

3 1

) 2 ( ) 1 1 (

n n

n

jest zbie ny bezwzgl dnie (porówna z

∞

=1 3

1

n

n

^).

Fakt.

Je li szereg jest zbie ny bezwzgl dnie, to dowolna zmiana kolejno ci wyrazów nie narusza zbie no ci szeregu ani nie zmienia sumy szeregu.

Fakt (twierdzenie Riemanna).

Je li szereg jest warunkowo zbie ny, to zmieniaj c kolejno jego wyrazów mo na otrzymywa ze szeregi o dowolnie pomy lanych sumach a tak e szeregi rozbie ne.

Zadania.

Zbada zbie no szeregu:

1.

∞

=1

ln

n

n

n

2.

∞

=₁ ²

+ 9 1

n

n

^3.

∞

=2

ln 1

n

n n

^4.

∞

=1 2

ln

n

n

n

5.

∞

=1

! 100

n n

n

^6.

∞

=

π

1 2

sin 2

n

n

n 7.

∞

=1 3

3

n n

n

^8.

∞

=

π

1

tan 2

n

n

n

9.

∞

=

+

+

1

4 1

1 2

n

n

n

n

10.

∞

=

+

π +

1

2

2 1

n

n n

n

n

_11. ^∞

=

+

+

1 2

2

) 1 2 (

) 1 (

n n

n

n

n

12.

∞

=1 2

arccos 1

n

n

n

13.

∞

=₁ ²

+ 3 3

n

n

^14.

∞

=

+

+

1 2

9 3

n

n

n

15.

∞

=

−

+ +

1 3

2

1 2

1

n

n

n

n

16.

∞

=1 2

arctan 1

n

n

17.

∞

=

−

1

sin 1 ) 1 (

n n

n

^18.

∞

= +

+

−

1 1

9 2

) 1 (

n n

n

19.

∞

=

+

−

1

2 9

3

n

n

n

n

20.

∞

=

+

−

1 2

9 ) 1 (

n n

n

n