O kilku klasach równań różniczkowych liniowych rzędu n-ego

A . J . S

.

0 K I L K U K L A S A C H

RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH LINIOWYCH

R Z Ę D U n-go.

KRAKÓW.

NAKŁADEM AKADEMII UMIEJĘTNOŚCI.

SK ŁA D G Ł Ó W N Y W KSIĘG ARNI S P Ó Ł K I W Y D A W N IC Z EJ P O L S K IE J.

A. J. S t o d ó ł k i e w i c z .

0 K I L K U K L A S A C H

r r

R 0W N Ä N RÓŻNICZKOWYCH LINIOWYCH

R Z Ę D U n-go.

KRAKÓW.

NAKŁADEM AKADEMII UM IEJĘTNOŚCI.

SK ŁAD G Ł Ó W N Y W KSIĘG ARNI SP Ó Ł K I W Y D A W N ICZEJ PO L S K IE J.

1893.

Osobne odbicie z Tom u X X V I. Rozpraw W ydziału matematyczno-przyrodniczego A kademii U m iejętności w Krakowie.

C A 0 V 9 It

Itra k ó w , 1893. — D ru k arn ia U niw ersy tetu Jag iello ń sk ieg o , pod zarządem A . M . K osterkiew lcza.

U kilku klasach

równań różniczkowych liniowych, rzędu n9°.

Przez

A. J . S t o d ó ł k i e w i c z a .

(Kzeez przedstaw iona n a posiedzeniu W ydz. m at.-przyr. z d. 3 p aźd ziern ik a 1892 r . ; ref. członek Z ajączkow ski).

- —■—•— ---

Weźmy równanie różniczkowe liniowe postaci ogólnej

w którem X, , X 3, , X n, X są pewne funkeye zmiennej nieza­

leżnej x , i oznaczmy

m tedy mnożąc równania (1) i (2) odpowiednio przez czynniki 1, u,, p,,....

. . . , p„_ , yn_ ,, i dodając do siebie, otrzymamy:

, d y f" ^ dy'-— 3 dy' dy

= X - X, - A, . . . (3)

. . . - X„_, y' — X„ y 1 p, yc" - ' t p2 / “- j + ... f p _ , y ”+ p„_, y ‘■

2

Załóżmy dalej, źe

(4) y(n_,) + \ \ y (n~2) + ^ yr”- J) + ... + p„_, y '+ y = u

natenczas, po wyrugowaniu z równania (3) przy pomocy związku (4) i po zrównaniu do zera spółczynników przy y ("~'J>, , . . . , y ' , y, otrzymamy następujący układ równań na wyznaczenie ilości p . , , ;j.,

= H-, (Pi — X , ) + X 2 — Pa

= = P 2 ( p l — X , ) + X , — IJ '3 )

dy-.f dx (5)

d\>-n

dx ⁼ p . - z ( p i ~ X J - f - X , , . , — p » - , ;

— P » - i ( p i — X J + X , , ,

tudzież, jedno równanie, określające funkcyę u

(6) — — X + (p, — X ,) m.

Korzystając z postaci równań (5), możemy łatwo wyprowadzić wa­

runki całkowalności dla następującej klasy równań różniczkowych:

fjn1l fln * 11 (jn ^ 11

d ^ d ^ ' ' + d ^ - ' + ' "

• • • + (a»-i X, + b„-i) + («.i X t + 6„) y = X ,

w której, ja k widzimy, wszystkie spółczynniki sa liniowe względem pe­

wnej dowolnej funkcyi X, zmiennej niezależnej; at bi , a2 b2, ..., a„ bn są liczby s*tałe.

Ze względu na równanie (7) układ (5) przybierze postać : (fx' = Pi (pi — »i X, — ^ i) + a äX t + óa —p2 ,

= P2 (Pi— ai X ,— b1)-\-ai X i -j-ó3 —|x3 ,

(8)

= p— z (pi ~ ai “ A )+ « „ _ , X, + ó „ _ , ,

= p„_, (pi —<h X, —ó,)+«,, X, + ó„,

[147] O K IL K U K L A SA C H R Ó W N A Ń R Ó Ż N IC ZK O W Y C H L IN IO W Y C H ,

skąd widoczna, że , jeżeli weźmiemy:

(Ic, (Z,, _{8_} 0/n

a ' %‘ a ' ' '" ‘ a, [A, — — , fl.s — , H, natenczas z (8) otrzymamy równania warunkowe

a» a.. /«, - - f— -

at a, \a, /

6 = ?L _ _ bA

a, a, 'a , )

(9

- 1; - 6|i •

Mówiąc innemi słowy, jeżeli w równaniu (7) liczby 6,, &3, . . ., ó„, uczynią zadość warunkom (9), natenczas to równanie (7) da się całko­

wać przez kwadratury w całej ogólności, gdyż następnem równaniem róźniczkowem (4) w tym przypadku będzie

y ( - U + y C - » ) + ^ y f - » ) + _ . + y = «

a, a, a,

równanie liniowe ze spółczynnikami stałymi.

Oczywista, źe warunki (9) stosują się także bez zmiany i do znanej klasy równań różniczkowych liniowych, których spółczynniki są liniowe względem gdyż w tym szczególnym przypadku mamy X t — x.

Dalej, możemy utworzyć nową klasę równań różniczkowych, cał­

kowalnych pod postacią skończoną, przyjmując

P-i = « , Y-\-bt , = at Y Ą- b , , . . . , u.„_, = a„_, F + 6„_, , gdzie F jest jakąbądź funkcyą zmiennej niezależnej a:, ilości zaś «, ó,) a,, b, , , ó„_, są pewnemi liczbami. Równania (5) w tym przy­

padku dadzą nam następujące w arunki:

d Y

X ‘ = a' dx + 0, ^ + 6, - («i y + &:)(*, Y + bi - X i ), X 3 = «2 + a3 y + ^3 ~ (®S y + F + Ó, — Jf,) ,

(10)

X n~ I = an-2'J~ + «„-1 D+ ó„_, — (a„_,2 F + ó d Y F + 6, — Aj), X« — (?„_, —— («„_, F + ó„_, )(«j F + ń, — A , ).d Y

4

Stąd wnioskujemy, ź e , jeżeli spółezynniki równania (1) przy po­

mocy pewnej oznaczonej funkeyi Y i liczb stałych ó ,, a , , 6, , . . . . . . , a„_, , dadzą się wyrazić w sposób (10), natenczas równanie (1) daje się całkować przez kw adratury, jeśli tylko istnieją warunki (9).

W rzeczy samej, wynikającem z (4) równaniem różniczkowem będzie y * - ' ) -t- (a, F + 6 , ) y ( - ' ) F + & ,) y ( - ' ) + ... + ( o _ , F + ,) y = w równanie, któ re, jak widzieliśmy powyżej, dozwala się całkować pod postacią skończoną, jeżeli tylko spełnione są warunki (9).

Ażeby wyprowadzić jeszcze jedne klasę równań różniczkowych liniowych, których całka wyraża się przez kwadratury, załóżmy

a, a, an

natenczas, z układu równań (5) otrzymamy a-i ~~ *. ~ ai (ai — ) Z ,

X.,

a;

a„ —2at —ai (a, — x X t)

( U )

„ a„_, — (n —2) —x A t)

-A.«— 1 '

(n — 1) u„_, — , («, —1 )

Na zasadzie tego, cośmy powiedzieli powyżej, orzec teraz możemy, źe w przypadku, gdy spółezynniki równania ( 1 ) określają się przez związki (11) to przy zupełnie dowolnych liczbach . . . , an- , równanie dane można całkować w całej ogólności pod postacią skoń­

czoną , ponieważ wynikaj acem równaniem różniczkowem (4) będzie

równanie, k tó re , ja k wiadomo, daje się zawsze całkować przez kwa­

dratury.

Ze wszystkiego, co powyżej wyłożyłem , można w ogóle wywnio­

skować , źe, nadając różne kształty funkeyom pomocniczym p, , p2, ...

. • ., p„_, , możemy odpowiednio odnaleźć nieskończenie wiele najroz­

maitszych postaci równań różniczkowych liniowych, które można całko­

wać pod postacią skończoną. Ograniczając się jednak do tych kilku godniejszych uwagi klas, objaśnimy przykładem wyłożoną teoryę.

[ 1 4 9 ] o Ki l k u k l a s a c h r ó w n a ń r ó ż n i c z k o w y c h l i n i o w y c h. 5

Niecli będzie dane do scałkowania równanie

Ir + L - I [ * + « - ( # - * + J)(* 4- +

f - ‘2

+ [ n — 1 — (nx—x — n + T) {x. + 1 —X t) ] y — X , (12) w którem X t i X są jakiekolwiek funkcye zmiennej x.

Spółczynniki tego równania czynią zadość warunkom (10), kiedy

( t y = l J ( t ę ~ ^ . ( t ę = 3 j . • . J , — f i ^ ,

6, = b, = bs = . . . = b„_3 = i ; ó„_, = — (n—1), tudzież F" = #.

W skutek tego będzie

p., = ar+JZ, [A2 = 2 z ) + i , [a3 = 3 a r+ i, [a„_2 = (n—2) x + l , 1a„_, = (n — 1) x —n -j- 1.

Podług wyłożonej teoryi wynikającem równaniem różniczkowem (4) będzie

+ { x + l) y(n_2) + (2x+T) /" " 3) + . . . + [ ( « - 2)a? + 2 ] / + + l ( « —i)* —w + i] y — u , (13) gdzie w wyznacza się z równania (6)

f (* + 1 - I T , ) d r I / x + i — X y ) f l ł j

( ci + e . J (14)

u — e

Ponieważ dla równania (13) spełniają się warunki (9), przeto we­

dług tej samej teoryi następnem równaniem różniczkowem będzie 4. 2y{n~s> + + . . . + (n — 1) y = w,. (15) Równanie (6) dla tego ostatniego równania różniczkowego przy­

biera postać

du. .. .

fa T = u + (-*—*) Mi i z którego mamy

ar — *

2"

+

⁺¹

ft A. j . STOKÓŁKlUWICŹ. [150]

Wstawiając w ostatni wzór wartość na u (14), otrzymamy -«+ ”L + j C* + l —-r i ) *»

(16) m, = e 2 |_ c2 + _{(ci +}

—/ (*+ 1 —-V, J dx~l e Xdx) dx

J

Jeżeli następnie, pierwiastki równania

r —' + 2r n- J + + . . . + (w- 2) r + n - l = 0 oznaczymy przez

natenczas całka równania (15) będzie r„

y = e

- r „ _ 2a:+r„_„.T,

£ C» + f + 6 |Cn-2 +

t c

. . . (Cg +

, |

M,e daj... ! rtej dx I

Po wyrugowaniu z ostatniego wzoru funkcyi ii, przy pomocy równania (16), łatwo otrzymamy szukaną całkę ogólną danego równa­

nia (12).

I I

I

i

l

I # I

' j