J e r z y W A R M I Ń S K I , K a z im ie r z S Z A B E L S K I K a t e d r a M e c h a n i k i S t o s o w a n e j
P o lit e c h n ik a L u b e ls k a
D R G A N I A N I E L I N I O W E G O U K I A D U P A R A M E T R Y C Z N O - - S A M O W Z B U D N E G O W O B S Z A R Z E R E Z O N A N S U K O M B I N O W A N E G O
S t r e s z c z e n ie . W p r a c y z b a d a n o e fe k t y w z a je m n e g o o d d z ia ły w a n ia d r g a ń s a m o w z b u d n y c h i p a r a m e t r y c z n y c h n ie lin io w e g o u k ła d u p a ra m e try c z n o - s a m o - w z b u d n e g o o d w ó c h s to p n ia c h s w o b o d y w o b sz a rz e re z o n a n s u k o m b in o w a n e g o . W y z n a c z o n o a m p lit u d y i c z ę s to ś c i d rg a ń u k ła d u . B a d a n ia a n a lit y c z n e p r z e p r o w a d z o n o p r z y z a ło ż e n ia c h u p r a s z c z a ją c y c h , a u z y s k a n e w y n ik i z w e r y f ik o w a n o i u z u p e łn io n o w y n ik a m i s y m u la c ji c y f r o w e j .
V I B R A T I O N S O F N O N - L I N E A R P A R A M E T R I C - S E L F - E X C I T E D S Y S T E M I N T H E A R E A O F C O M B I N E D R E S O N A N C E
S u m m a r y . I n th is p a p e r e ffe c ts o f in t e r a c t io n b e tw e e n s e lf- e x c ite d an d p a r a m e t r ic v ib r a t io n s o f n o n - lin e a r p a r a m e tric - s e lf- e x c ite d s y s te m w it h t w o d e g re e o f fr e e d o m in c o m b in e d re s o n a n c e a re a w e r e e x a m in e d . A m p lit u d e s a n d fre q u e n c ie s o f s y s te m w e r e c a lc u la t e d . A n a ly t ic a l r e s e a rc h w a s c a r r ie d o u t w it h s im p lif ie d a s s u m p tio n s a n d a b ta in e d r e s u lts w e r e v e r if ie d an d c o m p le te d w it h d ig it a l s im u la tio n re su lts.
K.OJIEEAHHÍ4 HEJIHHEMHOH ABTOTT A P AM ET PMMECICOH CHCTEMH B GKPECHOCTM JCOMBHHHPOBAHHOrO PE30HAHCA
P e 3 « M C - B
p a f i n T e p a c c M O T p c u o e * 4 > e ic T u B 3 a n M O A t ? ñ c T B H S iatrroKotieGaHHíí h nopaMeTpH'iocKoro B03oy>KAf’HHu u iieamioftnofl CHCTOMe upa AByx cTencnax cboôoah b oicpecHocTM >coM6HHHpoBaiiiioro PP30H8HCB. OnpOAOHeHH aMiTJIHTyAH H UaCTOTU KOBe6aHKñ CHCTeMU.
AHanHTHuecKHe pe3ytiTaTU noJiyuoHu c Hcnoiib30BaHeM ynpoiąt?HHhix
M9T0A0B. FlpaBHJlbHOCTb pC3yiIT8TOB aHaJIHTHUBClCHX HCCJieAOBailHft
o6ecneiiHO npHMOHOHHOM u.H.j.ponofi CHMynHLi,Hh .
J. Warmiński, K. Szabelski
1 . W S T Ę P
W z a g a d n ie n ia c h d r g a ń m e c h a n ic z n y c h w y o d r ę b n ić m o k n ą uk-tady o z m ie n n y c h o k r e s o w o p a r a m e t r a c h z je d n o c z e s n a m o ż liw o ś c ią g e n e r o w a n ia d rg a ń s a m o w z b u d n y c h [1 3 ], C e c h a c h a r a k t e r y s t y c z n a o d d z ia ły w a n ia te g o t y p u d rg a ń je s t z a n ik a n ie d rg a ń s a m o w z b u d n y c h d la p e w n y c h o k r e ś lo n y c h w a r u n k ó w . W i ę k s z o ś ć p r a c z a jm u ją c y c h s ię t y m i p r o b le m a m i d o t y c z y g ł ó w n i e u k ła d ó w o j e d n y m s to p n iu s w o b o d y w o to c z e n iu p r o s t y c h r e z o n a n s ó w p a r a m e t r y c z n y c h . W te j p r a c y z d e c y d o w a n o s ię n a z b a d a n ie d r g a ń u k ła d u o d w ó c h s to p n ia c h s w o b o d y w o b s z a r z e re z o n a n s u k o m b in o w a n e g o .
2 . M O D E L M A T E M A T Y C Z N Y . R Ó W N A N I A R Ó Ż N I C Z K O W E R U C H U
W e ź m y p o d u w a g ę u k ła d p a ra m e tr y c z n o - s a m o w z b u d n y o d w ó c h s to p n ia c h s w o b o d y z n i e l in i o w y s y m e t r y c z n y c h a r a k t e r y s t y k y s p r ę ż y s t o ś c i ( r y s . 1 ). Z a łó ż m y , ż e w u k ła d z ie w y s t ę p u je w y m u s z e n ie p a r a m e t r y c z n e t y p u M a t h i e ’ u o ra z n ie lin o w e t łu m ie n ie o p is a n e m o d e le m R a y le ig h a .
x i + Y * i
( a - p x ^ ) x 2
R y s . 1. M o d e l f iz y c z n y u k ła d u p a ra m e tr y c z n o - s a m o w z b u d n e g o F i g . 1. P h y s ic a l m o d e l o f p a r a m e tr ic a lly - s e lf- e x c ite d s y s te m
R ó w n a n i a r ó ż n ic z k o w e r u c h u u k ła d u w p o s ta c i b e z w y m ia r o w e j są n a s tę p u ją c e :
x 1+ X ( l - | i c o s 2 { t t ) ( x 1- x 2) + x i + y x , = 0
3
( 1)
x2- ( a - p x | ) x 2 - X M ( l - p c o s 2 f t T ) ( x Ł - X j ) = 0
P r z y j m i j m y , ż e w s p ó łc z y n n ik i a , 6 , y w y s tę p u ją c e w r ó w n a n iu (1 ) są m a łe i d o d a tn ie . R ó w n a n i e ( 1 ) s p r o w a d z a m y d o w s p ó łr z ę d n y c h q u a s i- n o r m a ln y c h y , , y 2
y x + i = ( e , y 2 - e j y , ) - y i Y ^ - 'V 2y ] ) 3 +
+ 5 - y 2) [ « - - y 2) 2]}
> 2 + p h i = c o s 2 0 i : ^ ~ - ^ i ) 3 +
+ S 2«p(yj - y Ą a - p c p f y , - y 2) 2]}
g d z ie :
1 <X-p,2 l+k-pl 6. 6,
b l = — , ó 2 = --- — ; W . = ---- -— ; <P2 = ---1—
1 XAf \M 5r 62 2 ój-ój
1 m
; Ej = Y , + <p; e2 = T 2 + <p
6 r ó 2( 2 )
a c z ę s t o ś c i d r g a ń w ła s n y c h u k ła d u lin io w e g o w y n o s z ą
P ? ^ = I [ l + X + M X ±v/( 1 + X + M k f - A M X \
J. Warmiński, K. Szabelski
z a le ż n o ś c i p o m ię d z y w s p ó łr z ę d n y m i u o g ó ln io n y m i a ą u a s i- n o r m a ln y m i są n a s tę p u ją c e :
y , = x , + Są ; y 2 = x , + 8 * * r
3 . D R G A N I A O K R E S O W E W O B S Z A R Z E R E Z O N A N S U K O M B I N O W A N E G O
D r g a n ia u k ła d u z b a d a m y w o b s z a r z e re z o n a n s u k o m b in o w a n e g o w o to c z e n iu c z ę s t o ś c i
N a p o d s t a w ie p r a c y [ 4 ] r o z w ią z a n ia r ó w n a n ia ( 2 ) p r z e w id u je m y w p o s ta c i:
y>j = B , ( r ) c o s w , T + B 2( x ) s in o ),T ^
y 2 = B
3
( t ) c o s U j T + B4
( x ) sina>2xg d z ie B , ( r ) ,
8
, (7
) , B j ( t ) , B4
( t ) - w o ln o z m ie n n e f u n k c je c z a s u .O z n a c z a to , ż e k a ż d a w s p ó łr z ę d n a n o r m a ln a z a w ie r a t y lk o j e d n ą s k ła d o w ą h a r m o n ic z n ą , n a t o m ia s t o t i o
>2
są n ie z n a n y m i c z ę s t o ś c ia m i d rg a ń u k ła d u . D o a n a liz y z a s to s o w a n o m e to d ę u p r o s z c z o n ą , w k t ó r e j s p e łn io n e są t y lk o c z t e r y s p o ś r ó d o ś m iu w a r u n k ó w b ila n s u h a r m o n ic z n y c h . D l a s ta n u u s ta lo n e g o :d B x( x ) q d B 2( x ) _ d B ^ r ) q d B Ą( x )
d x d x d x d x
o t r z y m u je m y u k ła d a lg e b r a ic z n y c h r ó w n a ń n ie lin io w y c h
+ fl2 - a < p 6 1Ci>1+ -^ 6 1P ( p 3<i>1(( o 2,R1J +2ii>2Ji£ )
(4 a )
1 2
+ = 0
B ,
(4 b )
B * v ł> iP 1C1 = 0+ B:
p l - i Ą + + ^ f o 2) + B ,a (p S2ci>2 - — 6 2p<p3« 2(&>2/?^ + 2co^Bf)
(4 c )
= 0
^ 6 J , 2 t 2B i + f i | - a < p 6 2«*>2 + -^62P<p3" 2(<*>2^ + 2 0 ) [ B f )
+ f i | p 2 - o ) 2 ^ 7 , ( 2 7 ^
4 =
(4 d )
B 2 + B 2 - r\\ B 2 + B 2 - Ą
W r ó w n a n ia c h ( 4 ) w y s t ę p u je s z e ś ć n ie w ia d o m y c h B l( B j , B , , B „ o ra z w , , w 2. R ó w n a n i a te w r a z z z a le ż n o ś c ią w , + o>2 = 2 n ie d a ją je s z c z e m o ż liw o ś c i w y z n a c z e n ia n ie z n a n y c h w i e l k o ś c i . D o d a t k o w e z a le ż n o ś c i z n a jd u je m y p o d n o sz ą c r ó w n a n ia 4 a i b o ra z 4 c i d d o k w a d r a t u o r a z d o d a ją c j e s tr o n a m i. Z w a r u n k u is tn ie n ia r o z w ią z a ń n ie t r y w ia ln y c h n a R 12 i R
22
o t r z y m u je m y sz ó ste r ó w n a n ie . R o z w ią z a n ia te g o u k ła d u s z e ś c iu r ó w n a ń z n a le z io n o n u m e r y c z n ą m e to d ą N e w to n a - R a p h s o n a .330
J. Warmiński, K. Szabelski
4 . P R Z Y K ł A D O W E L I C Z B Y S Y M U L A C Y J N E B A D A N I A N U M E R Y C Z N E G O . A N A L I Z A W Y N I K Ó W B A D A Ń
P r z y k ł a d o w e o b lic z e n ia d r g a ń u k ła d u w y k o n a n o d la n a s tę p u ją c y c h d a n y c h l ic z b o w y c h :
a = 0.1, B = 0.05, y = 0,1; ¿i = 0.2; M = 0,5, X = 4.
C z ę s t o ś c i d r g a ń w ł a s n y c h u k ła d u lin io w e g o w y n o s z ą p, = 0 ,5 4 6 , p j = 2 .5 8 9 , n a to m ia s t S i = 2 . 3 5 1 , = - 0 .8 5 1 , 7 , = 0 . 7 3 4 , ? 2 = - 0 .2 6 6 , e , = 1 . 0 4 7 , e 2 = 0 . 0 4 7 , <p = 0 .3 1 2 .
A n a li z ę d r g a ń p r z e p r o w a d z o n o w o to c z e n iu c z ę s t o ś c i (p , + p2)/ 2 = 1 .5 6 8 . R e z o n a n s k o m b in o w a n y u j a w n i ł się z g o d n ie z z a ło ż e n ia m i w p o s ta c i w y s t ę p o w a n ia d w ó c h w s p ó łr z ę d n y c h ą u a s i- n o r m a ln y c h y , o c z ę s t o ś c i <o, (r y s . 2 a , b ) i y 2 o c z ę s t o ś c i o>2 (r y s . 2 c , d ) .
R y s . 2 . A m p lit u d y i c z ę s t o ś c i d r g a ń u k ła d u ; b a d a n ia a n a lit y c z n e F i g . 2 . V ib r a t io n s a m p litu d e s a n d fr e q u e n c ie s ; a n a ly t ic a l r e s e a r c h
a ) S =1.50 b ) & =1.55
R y s . 3 . P r z e b ie g i c z a s o w e d rg a ń , b a d a n ia n u m e r y c z n e ( R K G ) F i g . 3 . V ib r a t io n s t im e c o tirs e , n u m e r ic r e s e a rc h ( R K G )
W z a k r e s ie c z ę s t o ś c i fr » 1.4 5 -r- 1 .5 4 o t r z y m u je m y r o z w ią z a n ia 1 lu b 2 w z a le ż n o ś c i d o z a d a n y c h w a r u n k ó w p o c z ą t k o w y c h . G d y a m p litu d a u s ta la s ię na p o z io m ie 2 , w ó w c z a s z d e c y d o w a n ie d o m in u je w s p ó łr z ę d n a y , , a y 2 o sią g a w a r t o ś c i z n a c z n ie m n ie js z e . D l a c z ę s t o ś c i 0 = 1 .5 5 -t- 1 .5 8 m o ż liw y je s t t y lk o je d e n ro d z a j r o z w ią z a n ia ( k r z y w a 1 ), n a to m ia s t g d y ft = 1 .5 8 -s- 1 .7 0 a m p litu d a m o ż e z m ie n ia ć s ię w e d łu g k r z y w e j 1 lu b 2.
P r z e p r o w a d z o n e b a d a n ia w y k a z u ją w y s t ę p o w a n ie w o b s z a r z e re z o n a n s u k o m b in o w a n e g o d w ó c h m o ż liw y c h s t a n ó w d rg a ń o z n a c z o n y c h n a r y s . 2 . o d p o w ie d n io p r z e z 1 i 2. D l a w a r t o ś c i p a r a m e t r u 6 = 1 .5 , 0 = 1 .5 5 , © = 1 .5 9 , 0 = 1.6 5 sp o r z ą d z o n o p r z e b ie g i c z a s o w e d r g a ń w e w s p ó łr z ę d n y c h ą u a s i- n o r m a ln y c h o tr z y m a n e z s y m u la c ji n u m e r y c z n e j m e to d ą R K G ( r y s . 3 ) . Z p r z e p r o w a d z o n e j a n a liz y w i d a ć , że d r g a n ia u k ła d u s k ła d a ją s ię z d w u d o m in u ją c y c h s k ła d o w y c h o c z ę s t o ś c ia c h o>[ i o>2. W a r t o ś c i c z ę s t o ś c i i a m p lit u d y d r g a ń u k ła d u w y z n a c z o n e a n a lit y c z n ie są z g o d n e z w y n ik a m i s y m u la c ji c y f r o w e j p o m im o z a s t o s o w a n ia a n a lit y c z n e j m e to d y u p ro s z c z o n e j.
332
J. Warmiński, K. Szabelski
L I T E R A T U R A
[2 ] Y a n o S . : A n a li t ic re s e a r c h o n d y n a m ie p h e n o m e n a o f p a r a m e t r ic a lly a n d s e lf- e x is te d m e c h a n ic a l s y s te m . In g e n ie u r - A r c h iv , 5 7 , 1 987, s. 51-60.
[ 2 ] T o n d l A . : O n th e in t e r a c t io n b e tw e e n s e lf- e x cite d a n d p a r a m e tr ic v ib r a t io n s . P r a g u e : N a t io n a l R e s e a r c h In s titu te f o r M a c h in e D e s ig n . M o n o g r a p h s an d M e m o r a n d a N o 2 5 1978.
[3 ] S z a b e ls k i K . : T h e v ib r a t io n s o f s e lf- e x c ite d s y s te m w it h p a r a m e t r ic e x c ita tio n an d non- s ju n m e tr ic e la s t ic it y c h a r a c t e r is t ic . M e c h a n ik a te o r e ty c z n a i S t o s o w a n a 2 9 , 1, 1991 s,
[41 S z e m p liń s k a - S t u p n ic k a W . : U o g ó ln ie n ie m e to d y b ila n s u h a r m o n ic z n y c h d o w y z n a c z a n ia p a r a m e t r y c z n y c h r e z o n a n s ó w k o m b in o w a n y c h . P r a c e I P P T P A N 7 1 /1 9 7 7 .
R e c e n z e n t: p r o f, d r h a b . i n t . A . O lę d z k i
W p ł y n ę ł o d o R e d a k c j i w g r u d n iu 1994 r.
