ZESZ Y TY N A U K O W E PO LITEC H N IK I ŚLĄ SK IEJ
Seria: T R A N SPO R T z. 42 N r kol. 1524
Ireneusz C ELIŃ SK I
STOCHASTYCZNE CHARAKTERYSTYKI STRUMIENI RUCHU NA SKRZYŻOWANIACH DROGOWYCH
Streszczenie. W artykule przedstaw iono w yniki badań dotyczące charakterystyk stochastycznych strum ieni ruchu podporządkow anych i uprzyw ilejow anych na skrzyżow a
niach drogow ych. W przypadku strum ieni podporządkow anych w yniki em piryczne analizo
w ano pod kątem zależności otrzym anych rozkładów statystycznych od rodzaju organizacji ruchu na w locie podporządkow anym oraz pory dnia. W yniki dotyczące strum ieni uprzyw i
lejow anych przedstaw iono w zależności od pory dnia i liczby kierunków realizow anych na drodze głów nej skrzyżow ania. W ram ach badań w ykonano ponadto obliczenia średnich param etrów otrzym anych rozkładów .
STOCHASTIC CHARACTERISTIC OF TRAFFIC STREAMS ON ROAD JUNCTIONS
Sum m ary. R esults o f researches relating stochastic characterizations o f traffic stream s, subordinated and privileged, on road ju n ctio n , has been presented in this article.
R esults one analysed under executioner o f organization o f traffic on subordinated inflow and tim es o f day. O ne passed also researches for stream s o f superior traffic.
1. W PR O W A D Z E N IE
Ruch pojazdów na skrzyżow aniu drogow ym podlega w pływ ow i w ielorakich czynników , zm ieniających charakterystyki strum ienia ruchu w czasie i przestrzeni. D otyczy to zarów no skrzyżow ań nieregulow anych, ja k rów nież skrzyżow ań regulow anych, w yposażonych w sygnalizację św ietlną. M ając na uw adze pow yższe, należy traktow ać ruch pojazdów na skrzyżow aniu ja k o proces stochastyczny [1]. L osow ym w ahaniom p odlegają takie charakterystyki strum ienia ruchu drogow ego, jak : natężenie ruchu pojazdów , gęstość ruchu pojazdów , czas oczekiw ania na w locie podporządkow anym na w łączenie się do ruchu, rozkład odstępów czasu m iędzy pojazdam i w strum ieniu ruchu itp. Z najom ość charakterystyk stochastycznych strum ieni ruchu na skrzyżow aniu je s t niezbędna celem , m odelow ania i sym ulacji kom puterow ej takich układów drogow ych. Sym ulacja kom puterow a skrzyżow ań drogow ych znajduje szerokie zastosow anie ze w zględu na fakt, że je s t m eto d ą syntetycznego eksperym entow ania o elastyczności znacznie przew yższającej badania laboratoryjne i badania em piryczne w terenie [2]. M odel sym ulacyjny je st odpow iednikiem logiczno- m atem atycznym system u (skrzyżow ania) zaprojektow anym w celu jeg o rozw iązania, w przypadku gdy takie rozw iązanie na drodze analitycznej je s t niem ożliw ie lub skom plikow ane.
84 I. Celiński R ozw iązanie otrzym ane za p om ocą m odelu sym ulacyjnego m oże m ieć na celu następujące zastosow anie:
ocenę w ydajności projektow anego lub istniejącego system u (kryterium ekonom iczne), eksperym entalne projektow anie system u (kryterium celow e),
u stalenie param etrów system u (kryterium jakościow e) [3],
M odelow anie sym ulacyjne (techniki M onte Carlo) należy stosow ać do opisu działania procesów , które zaw ierają w sposób istotny zm ienne losow e, a w ięc także sym ulacji ruchu na skrzyżow aniach drogow ych [4], W celu przeprow adzenia sym ulacji ruchu skrzyżow ania drogow ego należy dysponow ać m odelem , którego jed n y m z podstaw ow ych składników są generatory liczb losow ych, zgodnych z rozkładam i zm iennych charakteryzujących procesy stochastyczne zachodzące na skrzyżow aniu [5], W opisie procesów zw iązanych z sym ulacją ruchu drogow ego przyjęło się stosow ać następujące rozkłady zm iennych losow ych (poniżej przedstaw iono kilka przykładow ych) [1]:
rozkład odstępów czasu m iędzy pojazdam i w strum ieniu ruchu sym ulujem y za p om ocą rozkładu logarytm iczno-norm alnego
/ ( / ) = ---T = e 2u! dla l > c , v > 0
rozkład odstępów czasu m iędzy pojazdam i w strum ieniu ruchu sym ulujem y rów nież za p o m o cą rozkładu w ykładniczego przesuniętego:
f ( t ) = X e dla t > a,
\ - A a
rozkład norm alny odpow iada rozkładow i prędkości chw ilow ej pojazdów w ruchu sw obodnym :
1 2S2 •
/ ( v ) = ---/ = e ’ ' gdzie: v - prędkość średnia. W szystkie z przytoczonych powyżej rozkładów m ają z reguły zastosow anie w sym ulacji strum ieni ruchu sw obodnego (kierow ca m a m ożliw ość w yboru prędkości). W przypadku sym ulacji ruchu strum ienia, w którym część z pojazdów nie porusza się ruchem sw obodnym (porusza się ze średnią prędkością całego strum ienia), m ożna w celu je g o opisu użyć rozkładów złożonych, np.
rozkład H ypererlanga [1]:
n\
gdzie:
t0i , t l , t 02, t 2 - odpow iednio: min. i średni odstęp czasu pojazdów z grupy sw obodnych i niesw obodnych,
1 - a , a , k - odpow iednio: udziały w strum ieniu poj. sw obodnych i niesw obodnych oraz param etr korygujący zanik cech stochastycznych w strum ieniu ruchu niesw obodnego.
Z najom ość typów rozkładów odpow iadających procesom zachodzącym na skrzyżow aniu je st jed n y m z podstaw ow ych w arunków skonstruow ania efektyw nego m odelu sym ulacyjnego.
•_ MII Ję •_ '»2
P (h > / ) = ( ! - a ) e + a e h ~‘m £
2. B A D A N IE ST O C H A ST Y C Z N Y C H C H A R A K TER Y STY K RU CH U PO JA ZD Ó W N A S K R Z Y ŻO W A N IA C H , W Y NIK I PO M IA RÓ W
W ram ach badań charakterystyk stochastycznych procesów zachodzących na skrzyżow aniach drogow ych zw eryfikow ane zostały hipotezy o zgodności rozkładów pew nych procesów zachodzących na tych obiektach z podstaw ow ym i rozkładam i statystycznym i:
Poissona, Erlanga, G am m a, przesuniętym w ykładniczym , w ykładniczym , norm alnym , trójkątnym itp. Do w eryfikacji hipotez użyto testów zgodności chi-square i lam bda- K ołm ogorow a [6]. W testach zgodności dla w eryfikacji hipotez przyjęto poziom istotności a = 0,05 . B adania przeprow adzono w październiku i listopadzie 2001 na terenie ścisłego śródm ieścia K atow ic. B adano zarów no charakterystyki strum ieni ruchu na w lotach podporządkow anych, ja k rów nież charakterystyki strum ieni ruchu nadrzędnego. D la strum ieni ruchu podporządkow anego dokonano pom iaru następujących charakterystyk:
- w ielkość kolejki na w locie podporządkow anym ,
czas oczekiw ania poszczególnych pojazdów na w locie podporządkow anym , - odstęp czasu pom iędzy pojazdam i na w locie podporządkow anym (czas następstw a), - lukę pom iędzy pojazdam i w strum ieniu uprzyw ilejow anym (zobacz: rys. 1).
R y s. 1. O p is b a d a n y c h p a r a m e tr ó w F ig . 1. D e s c r ip tio n o f p a r a m e te r s
C harakterystyki pow yższe sporządzono dla 129 w ybranych obiektów o różnej organizacji ruchu d la strum ienia podporządkow anego:
„ustąp pierw szeństw a przejazdu” (30 obiektów ), - „znak ST O P” (33 obiekty),
- „zielona strzałka w praw o” (33 obiekty),
„zielona strzałka w lew o” (33 obiekty).
K ażdy obiekt został poddany badaniu w trzech okresach pom iarow ych: szczytu porannego (6.30-8.30), szczytu popołudniow ego (13.30-17.00) oraz w czasie od 9.30-12.30. D okładność pom iaru w ynosiła 1 [s]. Tablica 1 przedstaw ia zw eryfikow ane hipotezy (liczbę pom yślnych w eryfikacji) odnośnie do zgodności rozkładów em pirycznych z rozkładam i teoretycznym i w zależności od organizacji ruchu na w locie podporządkow anym (różnice w liczbie obiektów w ynikają z przyczyn technicznych zw iązanych z algorytm em obliczeniow ym ).
86 I. Celiński
Tablica 1
Org
ruchu* Rozkład czasu
Poissona Chi- square
Erlanga EXP Fishera Gamma Log
normal
Normal. Triang. Uniform W eibulla
A 7 oczekiwania 1 1 5 7 7 4
odstępu 2 7 4 8 5 4
B 2 0 oczekiwania 3 6 2 1 8 4 I 1 3
odstępu 1 4 7 14 3 2
S 2 oczekiwania 2 2 1 5 6 10 2 4
P odstępu 6 3 11 6 1 6
S2 oczekiwania 2 2 2 2 2 4 14 2 2
L odstępu 3 4 3 9 7 7
* - „ u s tą p p ie r w s z e ń s tw a p r z e ja z d u ” - A 7 ; „ S T O P ” - B 2 0 ; „ z ie lo n a s tr z a łk a w le w o ” S 2 L;
„ z ie lo n a s tr z a łk a w p r a w o ” S 2 P Ź r ó d ło : O p r a c o w a n ie w ła s n e .
T ablica 2 przedstaw ia zw eryfikow ane hipotezy (liczbę pom yślnych w eryfikacji) odnośnie do zgodności rozkładów em pirycznych z rozkładam i teoretycznym i bez uw zględnienia organizacji ruchu na w locie podporządkow anym .
Tablica 2
Rozkład czasu
Poissona Chi- square
Erlanga EXP Fishera Gamma Log
normal
Normal. Triang. Uniform Weibulla
oczekiwania 7 1 1 4 14 , 3 25 35 3 3 13
odstępu 1 9 24 1 0 42 21 1 17
Ź r ó d ło : O p r a c o w a n ie w ła s n e .
Z najom ość typu rozkładu teoretycznego zw iązanego z danym procesem stochastycznym pow inna się w iązać rów nież z określeniem param etru(ów ) takiego rozkładu. Poniżej w tablicy 3 podano średnie w artości poszczególnych param etrów rozkładów określonych podczas badań.
T ablica 3
Okres pomiarowy Kolejka - wartość średnia Ipoj]
(po zaokrągleniu)
Czas oczekiwania wartość średnia
[s]
Odstęp czasu - wartość średnia ls]
B 20 2 6,12 «6,1
06.30-08.30 2 6,07 58,9
09.30-12.30 2 5,64 54,3
13.30-17.00 2 6,64 52,3
A 7 2 9,6« 63
06.30-08.30 1 9,64 59,6
09.30-12.30 2 8,21 78,4
13.30-17.00 2 10,8 50,9
S 2 P 2 14 82
06 30-08.30 1 11.5 74
09.30-12.30 2 16,4 102
13.30-17.00 3 14,2 69
9 2 1 1 11 60
06.30-08.30 1 7,3 100
09.30-12.30 1 15,1 79
13.30-17.00 1 10,7 60
Ź r ó d ło : O p r a c o w a n ie w ła s n e .
N a rysunkach 2, 3 i 4 przedstaw iono w ykresy param etrów badanych rozkładów w funk
cji czasu.
C z a * o c z a k l w a n i a
Rys. 2. Czas oczekiwania na wlocie w zależności od organizacji ruchu i pory dnia
Fig. 2. Time o f expectation on inflow in dependences from traffic organization and times o f day
O d i t f p m i a d z y p o j .
2 5 0
2 0 0
1 5 0 1 0 0
5 0 0
Rys. 3. Odstęp czasu pomiędzy pojazdami na wlocie w zależności od organizacji ruchu i pory dnia
Fig. 3. Distance o f time between vehicles on inflow in dependences from traffic organization and times o f day
K o l i j k I
Rys. 4. Rozmiar kolejki na wlocie w zależności od organizacji ruchu i pory dnia Fig. 4. Size o f queue on inflow in dependences from traffic organization and times o f day
Pom iary w ykonano rów nież dla strum ienia ruchu nadrzędnego (uprzyw ilejow anego) odnośnie do 54 obiektów , w analogicznych przedziałach czasow ych, gdzie badano lukę pom iędzy dw om a pojazdam i w strum ieniu nadrzędnym , którą m ógłby w ykorzystać pojazd w łączający się do ruchu z w lotu podporządkow anego. Badania przeprow adzono dla dróg jednokierunkow ych i dw ukierunkow ych. Tablica 4 przedstaw ia zw eryfikow ane hipotezy (liczbę pom yślnych w eryfikacji) odnośnie do zgodności rozkładów em pirycznych z rozkła
dam i teoretycznym i tej luki.
88 I. Celiński
Tablica 4
Rozkład czasu
Poissona Chi- square
Erlanga EXP Fishera Gamma Log
normal
Normal. Triang. Uniform Weibulla Drogajedno
kierunkowa 3 6 1 10 5
Droga dwu
kierunkowa 9 1 3 8
Źródło: Opracowanie własne.
W tablicy 5 przedstaw iono średnią długość luki krytycznej w strum ieniu ruchu uprzyw ilejow anego w rozbiciu na poszczególne okresy pom iarow e.
Tablica 5
Organizacja mchu 6.30-8.30 9.30-12.30 13.30-17.00 Średnia
Droga
jednokierunkowa
29,15 13,84 11,68 18,22
Droga dwukierunkowa 14,29 7,21 6,96 9,49
Źródło: Opracowanie własne.
3. A N A LIZA W Y N IK Ó W
W eryfikacja hipotez statystycznych dotyczących em pirycznego rozkładu, zarów no czasu oczekiw ania, ja k rów nież odstępu pom iędzy pojazdam i w strum ieniach podporządkow anych, nie przyniosła zaskakujących rezultatów . W obu przypadkach rozkłady te zostały zw eryfikow ane, n a poziom ie istotności a =0.05, jak o rozkłady logarytm iczno-norm alne bądź norm alne. Przy czym rozkład odstępów m iędzy pojazdam i został zw eryfikow any jak o rozkład logarytm iczno-norm alny, natom iast rozkład czasu oczekiw ania został zw eryfikow any jako zgodny z norm alnym , w jed n y m przypadku ja k o logarytm iczno-norm alny. Z w raca uw agę, co było do przew idzenia, w ysoki w skaźnik w eryfikacji hipotez, odnośnie do odstępów m iędzy pojazdam i, ja k o rozkładu zgodnego z rozkładem przesuniętym w ykładniczym (tablice 1 i 2).
Przeprow adzone badania w ykazały, że sposób organizacji ruchu na w locie podporządkow a
nym nie m a istotnego w pływ u na typ rozkładu generow anego na tym w locie, zarów no jeżeli chodzi o czas oczekiw ania, ja k i odstępy czasu m iędzy pojazdam i. Średni czas oczekiw ania na w łączenie się do ruchu z w lotu podporządkow anego oscyluje w granicach od 6 do 14 sekund w zależności od organizacji ruchu i rośnie w raz ze w zrostem natężenia ruchu. Zw raca uw agę w ysoka w artość tego param etru dla organizacji ruchu za p o m o cą znaku A 7, w stosunku do organizacji ruchu za pom ocą znaku B20. Jest to jed n ak podyktow ane faktem nagm innego łam ania przez kierow ców bezw zględnego nakazu zatrzym ania się na linii „stop” , przy znaku B 20 (prow adzone były pod tym kątem osobne badania). Średnia kolejka pojazdów na w locie podporządkow anym , bez w zględu na organizację ruchu, nie przekracza trzech sam ochodów , przy czym z reguły w iększa kolejka, co było do przew idzenia, utrzym uje się na w lotach o organizacji ruchu za pom ocą znaku B20. Średnie odstępy czasu m iędzy pojazdam i na w lotach podporządkow anych w ahają się w granicach od 55 do 80 s, przy czym odstępy te m aleją w m iarę w zrostu natężenia ruchu. R easum ując, w m odelach sym ulacyjnych m ożna pom inąć sposób organizacji ruchu na w locie podporządkow anym bez istotnego w pływ u na otrzym yw ane w yniki.
Poniżej przedstaw iono proponow ane rozkłady i ich param etry do w ykorzystania w m odelach sym ulacyjnych:
czas oczekiw ania na w locie podporządkow anym , rozkład norm alny, o średniej z przedzia
łu 6-14 s, odchylenie standardow e należy przyjąć w zależności od średniej tak, aby max.
czas oczekiw ania nie przekroczył najw yższej zaobserw ow anej w artości 45 s,
Stochastyczne charakterystyki strum ieni ruchu na skrzyżow aniach drogow ych
odstęp czasu pom iędzy pojazdam i na w locie podporządkow anym , rozkład logarytm iczno- norm alny, o średniej z przedziału 5 5 -8 0 s, odchylenie standardow e należy dobrać tak, aby m in. odstęp czasow y nie był m niejszy od 1+2 s, a m aksym alny w iększy od 213 s (w artości zaobserw ow ane). W przypadku rozkładu przesuniętego w ykładniczego należy stosow ać podobne ograniczenia.
P roponow ane rozkłady i ich param etry odnośnie do sym ulacji procesów na w lotach p odporządkow anych zestaw iono w tablicy 6.
Tablica 6
Rozkład Czas oczekiwania Odstęp czasowy
logarytm iczno-norm alny - m -5 5 -8 0 s
x e (1,213)
norm alny m =6..14s
x 6 (0,45)
przesunięty wykładniczy - m =55-80 s
x e (1,213) Zródto: Opracowanie własne.
Przeprow adzone badania odnośnie do luki na drodze uprzyw ilejow anej, zarów no jedno-, ja k i dw ukierunkow ej w ykazały co następuje. O brazem rozkładu luk pom iędzy pojazdam i na drodze nadrzędnej je s t rozkład logarytm iczno-norm alny bądź rozkład w ykładniczy przesunięty. W yniki w skazują na fakt istnienia m niejszej średniej luki na drodze dw ukierunkow ej w stosunku do luki w ystępującej na drodze jednokierunkow ej. Stosunek średniej luki na drodze jednokierunkow ej do luki na drodze dw ukierunkow ej m a się ja k 2:1 (18,22:9,49). N ajm niejsza średnia luka odnotow ana na drodze jednokierunkow ej i dw ukierunkow ej to odpow iednio 7,69 s i 3,96 s. W yniki dotyczące luki w strum ieniu nadrzędnym pokryw ają się z danym i odnośnie do granicznych odstępów czasu ig[s]
zam ieszczonym i w pracy [1], W pracy tej podano, w zależności od organizacji ruchu na w locie podporządkow anym i relacji ruchu, zakres zm ienności tg od 4,8 do 6,5 s.
4. P O D SU M O W A N IE
P rzeprow adzone badania potw ierdziły dotychczasow ą bazę w iedzy odnośnie do charakterystyk stochastycznych strum ieni ruchu podporządkow anego i nadrzędnego na skrzyżow aniach drogow ych [1], O znacza to, że w m odelach sym ulacyjnych czas oczekiw ania na w locie podporządkow anym należy sym ulow ać za pom ocą rozkładu norm alnego bądź w ykładniczego przesuniętego. O dstępy czasu pom iędzy zgłoszeniam i pojazdów na w lotach podporządkow anych należy sym ulow ać z w ykorzystaniem rozkładu logarytm iczno- norm alnego. L uka pom iędzy pojazdam i w strum ieniu uprzyw ilejow anym z kolei pow inna być sym ulow ana za p o m o cą rozkładu logarytm iczno-norm alnego ew entualnie przesuniętego w ykładniczego. W ram ach przeprow adzonych badań stw ierdzono pew ne anom alie, ja k chociażby dłuższy średni czas oczekiw ania przed znakiem A7 aniżeli przed znakiem B20.
W ynika to jed n ak w głów nej m ierze ze specyfiki w ybranych obiektów , ja k rów nież nagm innego łam ania przepisów „Praw a o ruchu drogow ym ” .
90 I. C eliński
L it e r a t u r a
1. D atka S., Suchorzew ski W., Tracz M.: Inżynieria ruchu. W KiŁ, W arszaw a 1999.
2. M artin F.F.: W stęp do m odelow ania cyfrow ego. PW N , W arszaw a 1976.
3. E w ans G .W ., W allace G. F., Sutherland G.L.: Sym ulacja na m aszynach cyfrow ych. WNT, W arszaw a 1973.
4. N ievergelt J., Farrar C.J., Reingold E.M .: Inform atyczne rozw iązyw anie zadań m atem atycznych. PW N, W arszaw a 1978.
5. W ińkow ski J.: Program ow anie sym ulacji procesów. PW N , W arszaw a 1974.
6. Praca zespołow a: Laboratorium statystyki system ów i procesów transportow ych.
W ydaw nictw o Politechniki Śląskiej, G liw ice 1997.
7. K om ar Z., W olek Cz.: Inżynieria ruchu drogow ego - w ybrane zagadnienia. W ydaw nictw o Politechniki W rocław skiej, W rocław 1994.
8. K rystek R. i inni: Sym ulacja ruchu potoków pojazdów - w ybrane zagadnienia. WKiŁ, W arszaw a 1980.
9. H ighw ay C apacity M anuał. T ransportation R esearch B oard Special R eport 209.
W ashington, D.C. 1994.
Recenzent: Doc. dr inż. Z.G inalski
A b s t r a c t
R esults o f researches relating stochastic characterizations o f traffic stream s, subordinated and privileged, on road ju n ctio n , has been presented in this article. R esults one analysed under executioner o f organization o f traffic on subordinated inflow and tim es o f day. O ne passed also researches for stream s o f superior traffic. For every stream s one represended statistical distribution and param eters. Tim e expectations in subordinated strem is peaceable w ith norm al distribution and distances o f tim e w ith lognorm al distribution. G ap in superior stream is peaceable w ith lognorm al distribution.
Prace w ykonano w ram ach BW - 4 2 9 /R M 10/2001
