Analiza Matematyczna 1
WPPT, matematyka stosowana, 2013/14 Lista 3
1. Obliczyć lub wykazać, że nie istnieja granice:, (a) lim
x→a
cos x − cos a sin x − sin a; (b) lim
x→−1(1 + x) tg πx 2 ; (c) lim
x→+∞ (√
x2+ 6x − x);
(d) lim
x→−∞ (√
x2+ 6x + x);
(e) lim
x→0x 1 x
;
(f) lim
x→1
tg(√ x − 1) sin(x − 1) ; (g) lim
x→+∞
√2 − cos x;
(h) lim
x→0
e1/x+ 1 e1/x− 1; (i) lim
x→8
√x + 1 − 3
√3
x − 2 .
2. Korzystajac z własności funkcji wykładniczych i odpowiedniej definicji granicy funk-, cji wykazać, że
x→+∞lim ax= +∞, gdy a > 1.
Wywnioskować stad wartości granic, (a) lim
x→+∞ax, gdy 0 < a < 1;
(b) lim
x→−∞ax, gdy 0 < a < 1, i gdy a > 1.
3. Korzystajac z własności funkcji logarytmicznych i odpowiedniej definicji granicy, funkcji wykazać, że
x→+∞lim logax = +∞, gdy a > 1.
Wywnioskować stad wartości granic, (a) lim
x→+∞logax, gdy 0 < a < 1;
(b) lim
x→0+logax, gdy 0 < a < 1, i gdy a > 1.
4. Wiedzac, że,
x→+∞lim
1 + 1
x
x
= e, obliczyć granice (a) lim
x→−∞
1 + 1
x
x
;
1
(b) lim
x→0(1 + x)1/x.
5. Zbadać ciagłość nast, epuj, acych funkcji (α ∈ R):, (a) fα(x) =
(xαsin x2 dla x 6= 0, 0 dla x = 0;
(b) g(x) =
(x dla x ∈ Q, 0 dla x 6∈ Q;
(c) hα(x) =
√5
x − 1
√x − 1 dla x 6= 1, α dla x = 1.
6. (?) Niech funkcja f : R → R bedzie określona nast, epuj, aco:, (·) jeśli x 6∈ Q, to f (x) = 0;
(··) jeśli x = p
q ∈ Q, p ∈ Z, q ∈ N i p
q jest ułamkiem nieskracalnym, to f (x) = 1 q. Wykazać, że f jest funkcja ci, agł, a w punktach niewymiernych i nieci, agł, a w punktach, wymiernych.
7. Załóżmy, że funkcje f, g : D → R sa ci, agłe. Wykazać, że funkcja h : D → R, określona warunkiem h(x) = max {f (x), g(x)} dla wszystkich x ∈ D jest również ciagła. Jak st, ad wywnioskować, że |f | jest funkcj, a ci, agł, a ?,
8. Załóżmy, że funkcje f, g : I → R, I - przedział, sa ci, agłe i f (x) = g(x) dla dowolnego, x ∈ Q ∩ I. Wykazać, że f (x) = g(x) dla dowolnego x ∈ I.
9. Udowodnić, że funkcja liniowa f (x) = ax, x ∈ R, jest jedyna funkcj, a ci, agł, a na R, spełniajac, a warunki f (1) = a oraz f (x + y) = f (x) + f (y) dla dowolnych x, y ∈ R., 10. Niech f : [a, b] → [a, b] bedzie funkcj, a ci, agł, a. Pokazać, że istnieje punkt c ∈ [a, b],
taki, że f (c) = c.
11. Niech f : [a, b] → R bedzie funkcj, a ci, agł, a i niech f (x) > 0 dla wszystkich x ∈ [a, b]., Dowieść, że istnieje liczba rzeczywista p > 0 taka, że f (x) > p dla każdego x ∈ [a, b].
12. Niech f : [a, +∞) → R bedzie funkcj, a ci, agł, a. Załóżmy, że istnieje skończona granica,
x→+∞lim f (x). Udowodnić, że funkcja f jest ograniczona.
13. Dla podanej niżej funkcji f wyznaczyć jej obraz, sprawdzić ciagłość i różnowarto-, ściowość. Znaleźć funkcje do niej odwrotn, a f, −1, jeśli istnieje.
(a) f (x) = x
1 − x, Df = (−∞, 1);
(b) f (x) = arc cos(ex− 2), Df jest dziedzina naturaln, a funkcji g.,
14. Na przykładzie funkcji f (x) = (1 + x2) · sgn x, x ∈ R wykazać, że funkcja odwrotna do funkcji nieciagłej może być ci, agła. [Przypomnijmy, że funkcja sgn jest określona, nastepuj, aco: sgn x = 1, gdy x > 0, sgn x = −1, gdy x < 0 i sgn 0 = 0.],
2
15. Sprawdzić czy funkcja f jest ciagła jednostajnie na podanym przedziale, jeśli, (a) f (x) = [x] sin πx, [a, b];
(b) f (x) = sin1
x, (0, 1];
(c) f (x) =√
x, [0, +∞).
16. Niech f : D → R, D ⊂ R, bedzie funkcj, a jednostajnie ci, agł, a na D. Pokazać, że, jeśli (xn) jest ciagiem Cauchy’ego punktów zbioru D, to (f (x, n)) też jest ciagiem, Cauchy’ego.
17. Funkcja f : (0, ∞) → R jest jednostajnie ciagła na (0, ∞). Czy st, ad wynika istnienie, granic lim
x→0+
f (x) i lim
x→∞f (x)?
18. Korzystajac tylko z definicji wyst, epuj, acych tu funkcji, udowodnić tożsamości:, (a) arc sin x + arc cos x = π
2 dla −16 x 6 1;
(b) arctg x + arcctg x = π
2 dla x ∈ R.
19. Skorzystać miedzy innymi z Zad. 4 i pokazać, że, (a) lim
x→0
ln(1 + x)
x = 1,
(b) lim
x→0
ex− 1 x = 1.
20. Uzasadnić, że podane równania maja rozwi, azania leż, ace we wskazanych przedziałach, (a) x arctg x − 1 = 0, (1,√
2 );
(b) x22x = 1, (−∞, +∞), tutaj chodzi o rozwiazanie inne niż x = −2;, (c) (1 − x) cos x = sin x, (0, 1).
Ile jest takich rozwiazań?,
21. Podać przykład funkcji określonej i majacej własność Darboux na przedziale dom-, knietym, ale nieb, ed, acej funkcj, a ci, agł, a.,
22. Niech f : R → R bedzie funkcj, a ci, agł, a i różnowartościow, a. Wykazać, że f jest w, całej swojej dziedzinie albo funkcja rosn, ac, a albo malej, ac, a.,
3
